精品解析：四川省平昌中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

平昌中学2025-2026学年度秋季学期高二第一次月考 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（   ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 4. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 5. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中正确的是（    ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则 D. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为 7. 已知是空间一点，直线过点且一个方向向量为，则到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，…，9}.若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为(　　) A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，错选多选不得分，少选得部分分） 9. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 在方向上的投影向量是 D. 与的夹角为 10. 下列说法正确的有（ ） A. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，则题被解出的概率是 B. 若A，B是互斥事件，则 C. 已知事件A，B发生的概率分别为，且，则事件A，B相互独立 D. 一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是 11. 在正方体中，，为的中点，是正方形内部及边界上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 当时，点的轨迹长度为 C. 存在直线与平面内的直线成角 D. 若，分别为的三等分点，则的最小值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 某种心脏手术，成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，我们用0表示手术不成功，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为___________. 13. 设平面，的法向量分别为，，若，则______； 14. 在长方体中，，分别是棱的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为______. 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15. 如图，在长方体中，，，，点、、分别是棱、、的中点． （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离． 16. 将一次考试所有学生的成绩，做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在第五组成绩在 （1）求图中的值，估计本次考试成绩的平均分； （2）老师准备将在本次考试中成绩排名在前的同学定为优秀，发奖鼓励，估计此次考试成绩优胜的分数线； （3）若本次考试共20人参加，现计划从分数低于70分的同学中随机抽取2人谈心，求2人分数都在的概率. 17. 某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． （1）求甲得10分的概率； （2）求甲得3分的概率； 18. 如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点. （1）若对角线的长度为时，求的值. （2）求证：. 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平昌中学2025-2026学年度秋季学期高二第一次月考 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算的坐标表示求解. 【详解】向量，，则. 故选：A 2. 若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角得到斜率，由两点斜率公式得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得. 故选：A 3. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（   ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用互斥事件和对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A：当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误； 对于选项B：事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，所以B正确； 对于选项C：当向上的点数是2或4时，事件A与事件C同时发生，所以C错误； 对于选项D：当向上的点数是6时，事件A与事件B能同时发生，所以D错误. 故选：B． 4. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 5. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出余弦值即可. 【详解】以点为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系 ， 由异面直线夹角的范围为，则异面直线与所成角的余弦值为 故选：A 6. 下列命题中正确的是（    ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则 D. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量对称性知识来判断A，利用直线方向向量与法向量垂直，结合线与面的位置关系来判断B，利用空间四点共面的性质来判断C，利用直线方向向量与法向量夹角来判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误； 对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，因为，所以，则或，B选项错误； 对于C ，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则，解得，C选项错误； 对于D，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为，D选项正确； 故选：D. 7. 已知是空间一点，直线过点且一个方向向量为，则到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】运用空间点到线的距离公式计算即可. 【详解】由题知，，， 则到直线的距离为． 故选：C. 8. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，…，9}.若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得甲乙两人各猜一个数字，共有种，再由一一列举出满足的所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解． 【详解】由题意，可知甲乙两人各猜一个数字，共有 (种)猜字结果， 其中满足的有： 当时，；当时，；当 时，； 当 时，；当 时，；当 时，； 当 时，；当 时，；当 时，； 当 时，，共有种， 所以他们“心有灵犀”的概率为，故选A. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据题意，得出基本事件的总数和找出事件所包含的基本事件的个数（列举法）是解答的关键，同时注意认真审题，合理作答，着重考查了推理与运算能力． 二、多选题（每小题6分，共18分，错选多选不得分，少选得部分分） 9. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 在方向上的投影向量是 D. 与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据共线向量的定义判断A，结合单位向量和共线向量的定义判断B，根据投影向量的定义判断C，根据向量垂直的坐标关系判断D. 【详解】已知空间中三个向量，， 对于A选项，因为，故、不共线，A错； 对于B选项，与同向的单位向量是，B对； 对于C选项，在方向上的投影向量是， 所以在方向上的投影向量是，C对； 对于D选项，因为， 则、不垂直，D错. 故选：BC. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，则题被解出的概率是 B. 若A，B是互斥事件，则 C. 已知事件A，B发生的概率分别为，且，则事件A，B相互独立 D. 一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对立事件概率公式和独立事件乘法公式求解概率判断A和 C；根据互斥事件的定义判断B；根据古典概型概率公式求解概率判断D. 【详解】对于A，因为题没被解出的概率为，故题被解出的概率为，故A正确； 对于B，由互斥事件的定义知，而仅在A，B独立时成立， 互斥与独立没有必然联系，故B错误； 对于C，由题意，，，因， 则事件，B相互独立，从而A，B相互独立，故C正确； 对于D，设男生为甲，女生为乙和丙，则将这3人排成一排， 有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（丙，甲，乙）， （丙，乙，甲），共有6种排法， 其中女生相邻有：（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（丙，乙，甲） 共有4种排法， 由古典概型，可得两位女生相邻的概率为，故D错误. 故选：AC. 11. 在正方体中，，为的中点，是正方形内部及边界上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 当时，点的轨迹长度为 C. 存在直线与平面内的直线成角 D. 若，分别为的三等分点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先证明平面，再利用面面垂直的判定定理即可判断；对于B，确定点F在以H为圆心，半径为的圆上运动，结合弧长公式即可判断；对于C，求出与平面所成角的最小值，即可判断；对于D，建立空间直角坐标系，求出关于平面的对称点为，再由空间两点间距离公式可得. 【详解】对于A，连接，则,     又平面平面，故, 平面，故平面， 平面，故，同理， 平面，故平面， 平面，故平面平面，A正确； 对于B，取的中点为H，连接， 则平面，平面，故，        由于，故， 即点F在以H为圆心，半径为的圆上运动， 结合题意知F轨迹为该圆在平面内的圆弧，如图圆弧， 则，则， 故F轨迹长度为，B正确； 对于C，从正方体中分离出四棱锥，的中点为H，     平面，则， ， 则与平面所成角的最小值为，, 即，故平面内不存在一条直线与直线成角，C错误； 对于D，以D为原点建立空间直角坐标系，如图： 则， 因为，分别为的三等分点，所以， 设关于平面的对称点为，则， 由三点共线可知的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 某种心脏手术，成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，我们用0表示手术不成功，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为___________. 【答案】0.8## 【解析】 【分析】根据题意和数据即可求出“3例心脏手术全部成功”的概率. 【详解】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907， 表示“3例心脏手术全部成功”的有812,832,569,683,271,989,537,925，共8个， 故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为. 故答案为：0.8. 13. 设平面，的法向量分别为，，若，则______； 【答案】4 【解析】 【分析】根据两平面平行，可得其法向量互相平行，列出方程，即可得答案. 【详解】因为， 所以平面，的法向量互相平行， 所以，解得. 故答案为：4 14. 在长方体中，，分别是棱的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据空间数量积公式结合二次函数计算求出最值. 【详解】如图，分别以方向为轴建立空间直角坐标系可得： ， ， 设平面的法向量，则，得， 令，即. 由于直线与平面平行，则，得：， 即：. ， ， 可知，由于，当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15. 如图，在长方体中，，，，点、、分别是棱、、的中点． （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离． 【答案】（1） 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，． 所以，． 又平面，且平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）通过题意建立空间直角坐标系，得到，即可证明. （2）求面的法向量，再利用点到面的距离公式即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面， 点到平面的距离即为直线到平面的距离． 设平面的法向量为，则， 取，则是平面的一个法向量． 所以点到平面的距离为． 即直线到平面的距离为． 16. 将一次考试所有学生的成绩，做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在第五组成绩在 （1）求图中的值，估计本次考试成绩的平均分； （2）老师准备将在本次考试中成绩排名在前的同学定为优秀，发奖鼓励，估计此次考试成绩优胜的分数线； （3）若本次考试共20人参加，现计划从分数低于70分的同学中随机抽取2人谈心，求2人分数都在的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的面积之和为1即可求得，利用频率分布直方图平均分的计算方法可求得平均分的估计值； （2）根据频率分布直方图的百分位数的求法即可求解； （3）先求得和低于70分的人数，利用枚举法求得总的取法，及2人分数都在的取法，利用古典概型概率公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得，解得； 本次成绩平均分的估计值为； 【小问2详解】 老师准备将在本次考试中成绩排名在前的同学，定为成绩优秀，故求第分位数的分数即可， ， 故分位数在内，故第分位数的分数为分， 故此次考试成绩优秀的分数线为分. 【小问3详解】 低于70分的同学的频率为，所以低于70分的同学应抽取人， 其中成绩在的人数为人， 记这5人为，其中为成绩在的两位同学， 从中任取两人有共10种取法， 其中2人分数都在的取法有1种， 所以2人分数都在的概率为. 17. 某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． （1）求甲得10分的概率； （2）求甲得3分的概率； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用相互独立的概率乘法公式，即可求得甲得10分的概率.. （2）根据题意，甲得3分，可分为两种情况：甲答对第1题和第2题或甲仅答对第3题，分别结合相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为答对第1，2，3，4题的概率分别为，且题目能否答对都是相互独立， 根据相互独立的概率乘法公式，可得甲得10分的概率为. 【小问2详解】 解：根据题意，甲得3分，可分为两种情况：甲答对第1题和第2题或甲仅答对第3题， 甲答对第1题和第2题的概率为 甲仅答对第3题的概率为， 所以甲得3分的概率为. 18. 如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点. （1）若对角线的长度为时，求的值. （2）求证：. 【答案】（1） （2） ， 则 . 故. 【解析】 【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； （2），由数量积的运算律证明即可. 【小问1详解】 设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底， 且， ， 则，故. 【小问2详解】 略 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $