精品解析：山东省泰安市新泰市第一中学北校2025-2026学年高三上学期第二次大单元考试（10月月考）数学试题

2023级高三上学期第二次大单元考试 数学试题 命题人 张景业 审核人 冯伟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用子集的概念计算可求的值. 【详解】因为集合，且， 所以或或，解得或或， 当时，，符合集合元素的互异性， 当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去， 当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 综上所述：. 故选：D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法计算得到复数，然后由共轭复数的定义得到 【详解】∵， ∴， ∴ 故选：B. 3. 已知点是直线上相异的三点，为直线外一点，且，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简得，再利用三点共线系数和为1的结论即可得到方程，解出即可. 【详解】，即， 因为点是直线上相异的三点，则点三点共线， 则，解得. 故选：A. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将用表示为，再利用诱导公式和二倍角公式求解即得. 【详解】因， 则. 故选：A. 5. 已知，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由数量积的运算求出，再由投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析的奇偶性，在上的单调性，结合上函数值的正负性可排除不符合题意的选项，即可得答案. 【详解】当时，，即在上单调递增，故排除A； 注意到，则为奇函数，故可排除B； 又注意到时，，故可排除D. 故选：C 7. 已知数列的前项和为，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由与的关系，得出数列的递推公式，从而利用构造法求得数列的通项公式.进而求得. 【详解】因为，所以当时， ，所以. 当时，， 所以， 化简得. 所以. 因为，所以是首项为4，公比为2的等比数列. 所以. 所以. 故. 故选：B. 8. 已知函数，若对，且，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知及单调性定义知在上单调递减，根据复合函数的单调性有在上单调递减，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，，且，都有， 所以在上单调递减，易知在上单调递减， 当时，满足题设， 当时，或， 综上，. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若不等式的解集为，则 C. 当时，的最小值是5 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，存在量词命题的否定为全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定，A正确；B选项，由不等式解集得到的根为，且，由韦达定理得到方程组，求出，得到B正确；C选项，换元后，由对勾函数单调性得到，C错误；D选项，根据推出关系得到D正确. 【详解】选项A，“”的否定是“”，A正确； 对于B：若不等式的解集为， 可知的根为，且， 则，解得， 所以，故B正确； 对于C，因为，令，可得， 由对勾函数单调性可知在内单调递增， 则， 所以没有最小值，故C错误； 对于D，能推出，而不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：ABD. 10. 如图为函数的部分图象，则（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图象关于点成中心对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位后所得图象关于y轴对称 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象直接求出周期可判断A；利用周期求，由求，然后代入法验证即可判断B；根据正弦函数单调性，利用整体代入法求解可判断C；根据周期变换和平移变换，求出变换后的解析式即可判断D. 【详解】对于A，由图知函数的周期，A错误； 对于B，由选项A知，，图象过点且在此点及附近图象是上升的， 则，于是，即， 因此，而， 所以点为函数的一个对称中心，B正确； 对于C，，由，得， 则为函数的一个单调递增区间，在区间上单调递增，C正确； 对于D，将的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍得， 再向右平移得，为奇函数，D错误. 故选：BC 11. 已知函数与其导函数的定义域均为R，且为奇函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A.由为奇函数判断；BC.由求导判断；D.由还原原函数判断. 【详解】解：因为为奇函数，所以所以A正确； 由A可知，求导数所以关于直线对称， 又所以即故B错误，C正确 因为所以 所以D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正项等比数列的前n项和为，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用数列前n项和的意义，结合等比数列项间关系列式求解. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，得， 即，于是，解得， 所以. 故答案为：4 13. 在中，，，则__________. 【答案】120° 【解析】 【分析】先利用切化弦得到，然后利用三角形内角和定理和两角和的余弦公式即可求解. 【详解】因为，， 所以，所以， 由A是三角形内角，所以， 故答案为：120°. 14. 已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解. 【详解】由得，显然， 所以有解， 令，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的最小值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的极值； （2）若方程在区间上有两个实数解，求的取值范围． 【答案】（1）极小值-1，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，确定函数单调区间即可求解； （2）确定函数图像，结合图像即可求解； 【小问1详解】 的定义域是，， 可得， x 0 0 减函数 极小值 增函数 所以的单增区间是，单减区间是 当时，取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 由（1）可知，在单调递减，在单调递增， 又，当，， 所以方程在区间上有两个实数解， 等价于的图像与在又两个交点， 结合图像 所以的取值范围是. 16. 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据的关系求数列的通项公式即可； （2）由（1）可得，结合分组求和与裂项相消法计算即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以当时，． 当时，． 当时，上式也成立． 所以． 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 所以， 所以， 整理得． 17. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定条件结合余弦定理求解角度即可. （2）利用正弦定理边化角，再结合三角形周长公式将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质求解取值范围即可. 【小问1详解】 在锐角中，因为， 所以由正弦定理得，故， 得到，化为， 故得，化简得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，由正弦定理得， 所以，且设周长为， 所以 ， 因为在锐角中，所以， 所以，解得， 综上可得，所以， 故，则， 得到，即， 故周长的取值范围为. 18. 设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. （1）求的和公比; （2）求; （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）4 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，前项和为，由题意，化简可得值； （2）由（1）得，用错位相减法求和； （3）设，，按的奇偶性分类求解可得参数范围． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，前项和为，则， 所以， 因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立， 所以，解得， 所以的和公比为4； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 相减得， 所以； 【小问3详解】 设， ， ，是递增数列， 不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立， 当为奇数时，，则， 当为偶数时，，则， 综上，的取值范围是． 19. 已知函数 （1）当时，求的单调递增区间； （2）当时，求曲线的对称中心； （3）当时，，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入，求得的解析式，利用导数研究其单调性，进而得到单调递增区间； （2）根据对称中心的定义及性质求解即可； （3）对a的取值范围进行分类讨论，再结合x的取值范围，利用零点存在定理可得出结果. 【小问1详解】 函数的定义域为. 当时， 令得或， 解得，或，结合，且函数连续不间断， 所以的单调递增区间为 【小问2详解】 当时，，设曲线的对称中心为 ，所以解得， 所以曲线的对称中心为 【小问3详解】 当时在上恒成立，满足题意； 当时，； 当时，， 所以在上单调递增，此时，满足题意； 当时， 令， 所以在上单调递增， 又因为，所以存在使得当时单调递减，所以，不符合题意. 综上所述：a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高三上学期第二次大单元考试 数学试题 命题人 张景业 审核人 冯伟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知点是直线上相异的三点，为直线外一点，且，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前项和为，满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对，且，都有，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若不等式的解集为，则 C. 当时，的最小值是5 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 如图为函数的部分图象，则（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图象关于点成中心对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位后所得图象关于y轴对称 11. 已知函数与其导函数的定义域均为R，且为奇函数，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正项等比数列的前n项和为，，则______． 13. 在中，，，则__________. 14. 已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的极值； （2）若方程在区间上有两个实数解，求的取值范围． 16. 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求周长的取值范围. 18. 设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. （1）求的和公比; （2）求; （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数 （1）当时，求的单调递增区间； （2）当时，求曲线的对称中心； （3）当时，，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $