精品解析：四川省达州市达川第四中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

四川省达川第四中学2025（秋）九上第一次质量监测 数学试题卷 （本试卷卷面总分150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 3. 如图，点在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则下列添加的条件中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是位似图形，点为位似中心，已知，的周长为3，则的周长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 6. 一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. “川超联赛”正在巴蜀大地火热进行，按照规则，每个球队与其他球队主场（其他球队到达州参加比赛称为达州川汉子球队的主场）和客场各进行一场比赛．已知川东赛区一共要进行20场比赛，那么川东赛区除了达州川汉子球队外，还有几支球队（ ） A. 3支 B. 4支 C. 8支 D. 10支 8. 如图，AD是△ABC的中线，E是AC边上一点，且CE：AE＝1：2，BE交AD于点F，则AF：FD为（　　） A. 5：1 B. 4：1 C. 3：1 D. 2：1 9. 如图，在平面直角坐标系中，，，，…的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，…，则依此规律，的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：①一定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，在以上5个结论中，其中正确的结论个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__． 12. 黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，某校艺术节“达人秀”活动舞台的长为16米，主持人站在点C处自然得体（点C是线段靠近点B的黄金分割点），此时主持人与点A的距离是________米； 13. 如图，，它们依次交直线于点A，B，C和点D，E，F，若，则的值是______． 14. 如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点，作直线，分别与，交于点M，N，连接，．若，．则四边形的周长为______． 15. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，连接，那么的长是___________． 三、解答题（共90分） 16. （1）计算； （2）解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 某市利用各类灵活多样的宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心” 宣传推广工作，截至2023年底，注册人数已达216.39万人，某社区工作人员为调 查本社区居民对于“国家反诈中心”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷共设置10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解（80－100分）、B：比较了解（60－80分）、C：基本了解（40－60分）、D：不太了解（0－40分） 四个等级并绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据如图提供的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中，A等级对应的扇形的圆心角度数为________，补全条形统计图； （2）若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反诈中心”非常了解的人数； （3）为更好地开展“国家反诈中心”宣传推广工作，社区准备招募2名宜讲人员，现有问卷结果等级为A的4人报名，其中3人为一组居民，1人为二组居民，若从中随机选取2人，求选取的2人不是同一组居民的概率． 19. 已知是坐标原点，、的坐标分别为、． （1）画出绕点顺时针旋转°后得到； （2）在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为； （3）在坐标平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 20. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点F，延长到点E，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 21. 在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下： ①如图，在地面上的点处放置一块平面镜(镜子大小忽略不计)，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛到地面的距离米； ②将平面镜从点沿的延长线移动米到点处，小华移动到点处时，小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离米． 请根据以上测量过程及数据求出树的高度． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23. 如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒个单位长的速度向点B匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作交于点F，连接、． （1）用t表示_______，________，________． （2）是否存在某一时刻使四边形成为菱形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由； 24. 如图，在直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B、A两点，、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，以为一边作如图所示的正方形，交于点． （1）求直线的解析式； （2）在x轴上是否存在一点Q，使以P、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，求点Q坐标；否则，说明理由； （3）是否存在平面内一点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达川第四中学2025（秋）九上第一次质量监测 数学试题卷 （本试卷卷面总分150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图的定义（从左面观察物体所得到的视图是左视图）即可得． 【详解】解：这个几何体的左视图是， 故选：A． 【点睛】本题考查了左视图，熟记左视图的定义是解题关键． 2. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式（ ）判断方程的根的情况．①当 时，方程有两个不相等的实数根；② 时，方程有两个相等的实数根；③当 时，方程无实数根． 【详解】解：根据题意可得， ． ∵ ， ∴有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，熟练应用根的判别式进行计算是解决本题的关键． 3. 如图，点在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则下列添加的条件中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：∵在和中，， ∴当时，满足两组角对应相等，可判断，故A不符合题意； 当时，满足两组角对应相等，可判断，故B不符合题意； 当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C不符合题意； 当时，不能判断，故D符合题意； 故选：D． 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程左右两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：， ， ， 故选：D. 【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 5. 如图，与是位似图形，点为位似中心，已知，的周长为3，则的周长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质；根据题意求出位似比，然后根据位似图形的周长比等于位似比可得答案． 【详解】解：∵且与是位似图形， ∴与的位似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为3， ∴的周长为6， 故选：B． 6. 一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式．应用简单随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案． 【详解】解：设袋子中白球的个数为个， 则， 解得， 经检验得是原方程的解， 估计袋中白球的个数是4个． 故选：D． 7. “川超联赛”正在巴蜀大地火热进行，按照规则，每个球队与其他球队主场（其他球队到达州参加比赛称为达州川汉子球队的主场）和客场各进行一场比赛．已知川东赛区一共要进行20场比赛，那么川东赛区除了达州川汉子球队外，还有几支球队（ ） A. 3支 B. 4支 C. 8支 D. 10支 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设川东赛区除了达州川汉子球队外还有支球队，则赛区共有支球队，每两支球队之间需进行主、客场各1场，共2场比赛．总比赛场数为所有球队两两组合的2倍，即总场数，进而列方程求解即可． 【详解】解：设川东赛区除了达州川汉子球队外还有支球队，则赛区共有支球队， 则总场数， ∵总场数为20场， ∴， 解得：（舍去）， ∴川东赛区除了达州川汉子球队外还有4支球队． 故选：B． 8. 如图，AD是△ABC的中线，E是AC边上一点，且CE：AE＝1：2，BE交AD于点F，则AF：FD为（　　） A. 5：1 B. 4：1 C. 3：1 D. 2：1 【答案】B 【解析】 【分析】过D作DG∥AC交BE于G，根据中线的定义可得BD＝,根据平行线分线段成比例定理可得,从而得出DG＝,再根据平行线分线段成比例定理,列出比例式即可求出AF：FD. 【详解】解：过D作DG∥AC交BE于G， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝ ∵DG∥AC ∴ ∴DG＝ ∵CE：AE＝1：2， ∴AE＝2EC， ∵DG∥AC ∴AF：FD＝AE：DG＝2EC：EC＝4：1． 故选：B． 【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理及作辅助线的方法是解决此题的关键. 9. 如图，在平面直角坐标系中，，，，…的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，…，则依此规律，的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了规律型问题探究－点的坐标，含度角的直角三角形的性质．根据含度角的直角三角形的性质得；；，于是可得到，据此求解即可． 【详解】解：，， 在中，， ∴， 则， 同理可得； ， ， ， ． 故选：B． 10. 如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：①一定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，在以上5个结论中，其中正确的结论个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，根据全等三角形的性质可得，由平角的性质可求，故①和②正确；通过证明，根据相似三角形的性质可得，故⑤正确；如图1，设．则，通过证明，可得，可求，可得故③正确；当点与点重合时，直线不平分正方形的面积，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵为的中点， ∴， 由翻折可知：，， ， ， ，故②正确； ， ， ， ∴是直角三角形，故①正确； ， ， ， 又， ， ， 又∵， ∴，即，故⑤正确， 如图1中，当与重合时， 设，则， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ，故③正确， 如图2中， 当点与点重合时，直线不平分正方形的面积，故④错误， 综上所述，正确的有：①②③⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__． 【答案】-1 【解析】 【详解】∵方程(m−1)x|m|+1−3x+1=0是关于x的一元二次方程， ∴|m|=1，m−1≠0， 解得：m=−1. 故答案为−1. 12. 黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，某校艺术节“达人秀”活动舞台的长为16米，主持人站在点C处自然得体（点C是线段靠近点B的黄金分割点），此时主持人与点A的距离是________米； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．由黄金分割点的定义得，再代入的长计算即可． 【详解】解：由题意可知，点是线段上靠近点的黄金分割点，米，， （米）， 即此时主持人与点A的距离为米， 故答案为：． 13. 如图，，它们依次交直线于点A，B，C和点D，E，F，若，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例可得，代入即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点，作直线，分别与，交于点M，N，连接，．若，．则四边形的周长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．利用基本作图可判断垂直平分，则，，设，则，，在中利用勾股定理得到，解方程得到，同理可得，然后计算四边形的周长． 【详解】解：由作法得垂直平分， ，， 设，则，， 在中，， 解得， 即， 同理可得， 四边形的周长为． 故答案为：15． 15. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，连接，那么的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及斜边中线定理，熟练掌握正方形的性质及斜边中线定理是解题的关键；连接，则根据正方形的性质可知，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形和是正方形，， ∴， ∴，， ∴， ∵H是的中点， ∴； 故答案为． 三、解答题（共90分） 16. （1）计算； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、负指数幂，零指数幂和解一元二次方程； （1）先计算绝对值，二次根式的性质化简根和幂运算，再合并即可得解； （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ∴， ∴， ∴或， 解得：∴，． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是正确进行分式的化简．根据分式的混合运算顺序进行化简求值即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 18. 某市利用各类灵活多样的宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心” 宣传推广工作，截至2023年底，注册人数已达216.39万人，某社区工作人员为调 查本社区居民对于“国家反诈中心”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷共设置10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解（80－100分）、B：比较了解（60－80分）、C：基本了解（40－60分）、D：不太了解（0－40分） 四个等级并绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据如图提供的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中，A等级对应的扇形的圆心角度数为________，补全条形统计图； （2）若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反诈中心”非常了解的人数； （3）为更好地开展“国家反诈中心”宣传推广工作，社区准备招募2名宜讲人员，现有问卷结果等级为A的4人报名，其中3人为一组居民，1人为二组居民，若从中随机选取2人，求选取的2人不是同一组居民的概率． 【答案】（1），补全条形统计图如图所示． （2）对于“国家反诈中心”非常了解的人数约2400人 （3）选取的2人不是同一组居民的概率为 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中C的人数除以扇形统计图中C的百分比求出问卷调查的人数，再用条形统计图中A的人数除以问卷调查的人数再乘以即可得A等级对应的人数所占百分比；求出B等级的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用8000乘以样本中A等级对应的人数所占百分比，即可得出答案． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及选取的2人不是同一组居民的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：问卷调查的人数为（人）， ∴扇形统计图中，A等级对应的人数所占百分比为， ∴A等级对应的扇形的圆心角度数为． 故答案为：． B等级的人数为（人）． 【小问2详解】 解：（人）． 答：对于“国家反诈中心”非常了解的人数约2400人． 【小问3详解】 解：将3个一组居民分别记为A，B，C，1个二组居民记为D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选取的2人不是同一组居民的结果有6种， ∴选取的2人不是同一组居民的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 19. 已知是坐标原点，、的坐标分别为、． （1）画出绕点顺时针旋转°后得到； （2）在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为； （3）在坐标平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示： （2） 解：如图所示： （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，位似作图，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别找出旋转后的点，然后依次连接，得，即可作答． （2）分别找出位似后的点，然后依次连接，得，即可作答． （3）根据平行四边形的性质，作出满足题意的点，然后读取它们的坐标，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点如图所示： ∴以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为或或． 20. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点F，延长到点E，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识； （1）根据菱形的性质得到且，再证，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由直角三角形斜边上的中线性质得，再由勾股定理得，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， 由（1）可知，， ， 在中，， ． 21. 在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下： ①如图，在地面上的点处放置一块平面镜(镜子大小忽略不计)，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛到地面的距离米； ②将平面镜从点沿的延长线移动米到点处，小华移动到点处时，小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离米． 请根据以上测量过程及数据求出树的高度． 【答案】树的高度为米． 【解析】 【分析】根据题意得出，利用相似三角形的性质得出，的长进而得出答案． 【详解】解：设米，米． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 树的高度为米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 23. 如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒个单位长的速度向点B匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作交于点F，连接、． （1）用t表示_______，________，________． （2）是否存在某一时刻使四边形成为菱形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由； 【答案】（1），，， （2）当时，四边形为菱形 【解析】 【分析】（1）求解，表示，再利用三角函数求解，，进一步可得； （2）求解，证明，结合，可得四边形为平行四边形，当时，四边形为菱形，可得，再解方程可得结论． 【小问1详解】 解：∵点D从点C出发沿方向以每秒个单位长的速度向点B匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：四边形能为菱形；理由如下： ∵，，， ∴，， ∴点移动的时间为：，点移动的时间为：， ∴运动的总时间为， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ∴， 解得：， ∵， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，锐角三角函数的应用．熟练掌握含度角的直角三角形中，度角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 24. 如图，在直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B、A两点，、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，以为一边作如图所示的正方形，交于点． （1）求直线的解析式； （2）在x轴上是否存在一点Q，使以P、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，求点Q坐标；否则，说明理由； （3）是否存在平面内一点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线解析式为； （2）点Q的坐标为或或或； （3）点坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）由方程可求得和的长，则可求得、的坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）可设，则可表示出的长，分和两种情况，利用相似三角形的性质可分别得到关于的方程，则可求得的值，可求得点坐标； （3）设点坐标为，分三种情况讨论，利用中点坐标的性质求解即可． 【小问1详解】 解：解方程可得或， 、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且， ，， ，， 设直线解析式为， ，解得， 直线解析式为； 【小问2详解】 解：四边形为正方形， ， ， 在中，令，可得， ， 设，则， 以、、为顶点的三角形与相似， 有和两种情况， ①当时，则有，即， 解得或， 此时点坐标为或； ②当时，则有，即， 解得或， 此时点坐标为或； 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或； 【小问3详解】 解：设点坐标为， ∵，，， 当为对角线时， ∴，， 解得，， ∴点坐标为； 当为对角线时， ∴，， 解得，， ∴点坐标为； 当为对角线时， ∴，， 解得，， ∴点坐标为； 综上，点坐标为或或． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及一元二次方程、待定系数法、正方形的性质、相似三角形的性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 25. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 【答案】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）AD＝； （3）5﹣2 【解析】 【分析】（1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论； （2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根据，可推出DG＝DF=5，即可求出答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2＝BE•BC， ∴BC＝＝=， ∴AD＝； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD， ∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF＝∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G， 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD， ∴， ∴DE2＝EF•EG， 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2， ∴DE＝EF， 又∵， ∴DG＝DF=5， ∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $