2025-2026学年沪科版九年级上册数学周周练05（22.1比例线段）

九年级上数学周周练05（22.1比例线段） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列说法正确的是（　　） A．所有的菱形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．所有的正方形都是相似形 【解答】解：A．所有的菱形对应角不一定相等，所以不一定相似，此选项错误； B．对应边比值相等，对应角不一定相等，所以不一定相似，故此选项错误； C．对应角相等的两个多边形，对应边比值不一定相等，所以不一定相似，故此选项错误； D．所有的正方形都相似，故此选项正确； 故选：D． 2.下列线段能成比例线段的是（　　） A．1cm、2cm、3cm、4cm B．1cm、、、4cm C．、1cm D．2cm、3cm、4cm、5cm 【解答】解：A、1×4≠2×3，故本选项错误； B、21×4，故本选项正确； C、1，故本选项错误； D、2×5≠3×4，故本选项错误． 故选：B． 3.若，那么的值是（　　） A． B． C．2 D．4 【解答】解：∵， ∴2x﹣3y＝5y， ∴2x＝8y， ∴4． 故选：D． 4.如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．若小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，则原来矩形的长边与短边的比是（　　） A． B．2：1 C． D． 【解答】解：根据题意小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比可得：，． 将代入，得， 开平方得． 故选：C． 5.如图，a∥b∥c，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若AC＝10，BC＝4，EF＝3，则线段DE的长为（　　） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 【解答】解：由题意，∵AC＝10，BC＝4， ∴AB＝AC﹣BC＝6． ∵a∥b∥c，EF＝3， ∴，即． ∴， 故选：B． 6.古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【解答】解：∵一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm， ∴她下半身的长度为92cm， 设鞋跟高为x厘米时，她身材显得更为优美， 根据题意得0.618， 解得x≈8.3（cm）． 经检验x＝8.3为原方程的解， 所以选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳． 故选：C． 7.若，则（　　） A．﹣5 B． C．﹣5或 D．﹣5或 【解答】解：设k， ∴a＝k（b+c），b＝k（c+a），c＝k（a+b）， ∴a+b+c＝2k（a+b+c）， ∴（a+b+c）（2k﹣1）＝0， 当a+b+c＝0时， ∴a+b＝﹣c， ∴； 当2k﹣1＝0时， ∴k， ∴a+b＝2c， ∴5， ∴5或． 故选：C． 8.如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T． 由条件可知FM＝FN， ∴， ∴AB＝3AD， 设AD＝DC＝a，则AB＝3a， ∵AD＝DC，DT∥AE， ∴△CDT∽△CAE，△BEF∽△BTD， ∴AD：DC＝ET：CT＝1：1，， 设ET＝CT＝b，则BE＝3b， ∵， ∴， ∴， ∴△ABC的周长， 故选：D． 9.如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（　　） A．3 B． C．2 D． 【解答】解：连接BD，如图所示： 由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线， 设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a， ∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°， ∴BDa． ∵OD∥AB， ∴， 故选：B． 10.如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，，DE∥BC，EF∥AB，点M是EF的中点，连接BM并延长交AC于点N，则的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点F作FG∥BN交AC于点G， ∴， ∴EN＝GN， ∵DE∥BC， ∴． ∴EC＝3AE． ∵EF∥AB， ∴． ∵FG∥BN， ∴． ∴GC＝3NG． 设EN＝NG＝a，则GC＝3a， ∴EC＝EN+NG+GC＝5a ∴EC＝3AE＝5a． ∴． ∴． ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 　　 厘米． 【解答】解：设上海与杭州的图上距离为x厘米． 200千米＝20000000厘米， x：20000000＝1：5000000， 解得x＝4． 故答案为4． 12.已知非零实数x，y，z满足，则的值为 　 　 ． 【解答】解：设k， 整理得：2x+2y＝（k+1）z①， 2x+2z＝（k+1）y②， 2z+2y＝（k+1）x③， ①+②+③得4（x+y+z）＝（k+1）（x+y+z）， 当x+y+z≠0时， 所以k+1＝4， x+y＝（k+1）z÷2＝2z， x+z＝（k+1）y÷2＝2y， y+z＝（k+1）x÷2＝2x， ＝8； 当x+y+z ＝0时， x+y＝﹣z，y+z＝﹣x，z+x＝﹣y， 此时 ＝﹣1． 故答案为：8或﹣1． 13.如图，△ABC中，∠C＝90°，正方形CDEF的顶点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，如果AE＝2BE，且S△ABC＝36．那么正方形CDEF的面积为 　 　 ． 【解答】解：设正方形CDEF的边长为x， ∴CD＝CF＝EF＝DE＝x ∵DE∥BC，EF∥AC， ∴2，， ∴AD＝2CD＝2x，BFx， ∴AC＝3x，BCx， ∵S△ABC＝36． ∴3x•x＝36， ∴x＝4（负值舍去）， ∴CD＝4， ∴正方形CDEF的面积＝4×4＝16． 故答案为：16． 14.如图，AD是△ABC的中线． ①若E为AD的中点，射线CE交AB于点F，则的值为 　　 ； ②若E为AD上的一点，且，射线CE交AB于点F，则的值为 　　 ． 【解答】解：①过点D作DG∥CF于点G， ∴，， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴，即BG＝FG， ∵E为AD的中点， ∴AE＝DE， ∴，即AF＝FG， ∴AF＝BG， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵，， ∴，即FG＝kAF， ∵BG＝FG， ∴BG＝FG＝kAF， ∴． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26． ①求a、b、c的值； ②若线段x是线段a、b的比例中项，求线段x的长； ③若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 　　 ． 【解答】解：①设， 则 a＝3k，b＝2k，c＝6k． 由a+2b+c＝26得， 3k+4k+6k＝26， 解得k＝2， 所以a＝6，b＝4，c＝12． ②因为线段x是线段a、b的比例中项， 所以x2＝6×4， 所以x（舍负）， 则线段x的长为． ③因为四条线段a，b，c，d为成比例线段， 所以， 即ad＝bc， 所以6d＝4×12． 解得d＝8． 故答案为：8． 16.如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若AD＝3，DE＝6． （1）若AB＝4.5，求BC的长； （2）若EF＝10，求BE的长． 【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵AD＝3，DE＝6．AB＝4.5， ∴， 解得：BC＝9； （2）∵l1∥l2∥l3， ∴，即， 解得：BE． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得：． 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形ABCD的宽． （1）求黄金矩形ABCD中BC边的长； （2）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【解答】解：（1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形ABCD的宽， ∴， ∴． （2）矩形DCEF是黄金矩形．理由如下： ∵黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF， ∴CD，EC＝BC﹣AB， ∴， 故矩形DCEF是黄金矩形． 18.如图，在△ABC中，延长CB至点D，使BD＝BC，在AC上取一点F，连接DF交AB于点E，过F点作FH∥AB交CD于点H，已知AC＝DE＝3，EF＝2． （1）DB：DH＝　 　 ； （2）求AF的长． 【解答】解：（1）因为DE＝3，EF＝2， 所以DE：EF＝3：2． 又因为FH∥AB， 所以DB：BH＝DE：EF＝3：2， 所以DB：DH＝3：5． 故答案为：3：5； （2）因为BD＝BC，DB：BH＝3：2， 所以BC：BH＝3：2， 因为FH∥AB， 所以AC：AF＝BC：BH＝3：2， 又因为AC＝3， 所以AF＝2． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值； （3）将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度． 【解答】解：（1）设a＝3k，b＝2k，c＝4k， 则a+2b+c＝3k+4k+4k＝33， 解得：k＝3， 则：a＝3k＝9，b＝2k＝6，c＝4k＝12； （2）由条件可知， ∴x2＝6×9＝54， ∴； （3）∵线段b按黄金分割比例分为两条线段， ∴长边长度为：． 20.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S． （1）用含x的代数式表示AD的长； （2）求S与x的函数表达式，并求S的最大值． 【解答】解：（1）由题知， 因为PD∥AB， 所以． 又因为AC＝3，BC＝4，CP＝x， 则， 所以CD， 所以AD＝3（0＜x＜4）； （2）因为∠C＝90°，，CP＝x， 所以S， 则当x＝2时，S有最大值，最大值为． 六、（本题满分12分） 21.已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，且线段AC是线段AD，AB的比例中项． （1）求证：∠ADC＝∠ACB； （2）已知点D是线段AB的黄金分割点，BD＝AD+3，求线段AD的长． 【解答】（1）证明：∵线段AC是线段AD、AB的比例中项， ∴AD：AC＝AC：AB， 即， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴∠ADC＝∠ACB； （2）解：设AD＝x，则BD＝x+3，AB＝2x+3， ∵点D是线段AB的黄金分割点， ∴BD2＝AD•AB， ∴（x+3）2＝x（2x+3）， ∴x2﹣3x﹣9＝0， ∴x1x2（舍去）， ∴AD， 答：线段AD的长为． 七、（本题满分12分） 22.在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，AD与BE交于点F． （1）如图1，点D是BC中点，点F是AD中点，DG∥BE交AC于点G，求证：； （2）如图2，若BD：DC＝1：4，AF：FD＝3：2，求AE：EC的值． 【解答】（1）证明：∵DG∥BE，点D是BC中点， ∴CD＝BD， ∴， ∴CG＝EG， ∵点F是AD中点，DG∥BE， ∴AF＝DF， ∴， ∴AE＝EG， ∴AE＝CG＝EG， ∴； （2）解：过点D作DH∥BE交AC于点H， ∵BD：DC＝1：4，DH∥BE， ∴， ∴CH＝4HE， ∵AF：FD＝3：2，DH∥BE， ∴， ∴， ∵， ∴AE：EC的值为． 八、（本题满分14分） 23.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，B两点，与轴交于点，P在第二象限内的抛物线上，与交于点Q，与轴交于点D． (1)求，的值； (2)若，求点Q的横坐标； (3)记，是否有最大值，若有，请求出的最大值；若没有，请说明理由． 【解答】（1）将，代入 得到，解得 ，； （2）由（1）可知， 将代入，，解得， 的坐标为 设点的坐标为 设直线的表达式为，代入， 得到，解得 所以直线的表达式为 设直线的表达式为，代入， 得到，解得 所以直线的表达式为 联立直线和 ，解得 点坐标为 点横坐标为； （3）有最大值； 设点的坐标为，直线的表达式为 代入， 得到，解得 所以直线的表达式为 联立直线和 ，解得 点坐标为， 过点作交于点，作交于点，如图所示 点坐标为，点坐标为 ， 时，的最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上数学周周练05（22.1比例线段） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列说法正确的是（　　） A．所有的菱形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．所有的正方形都是相似形 2.下列线段能成比例线段的是（　　） A．1cm、2cm、3cm、4cm B．1cm、、、4cm C．、1cm D．2cm、3cm、4cm、5cm 3.若，那么的值是（　　） A． B． C．2 D．4 4.如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．若小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，则原来矩形的长边与短边的比是（　　） A． B．2：1 C． D． 5.如图，a∥b∥c，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若AC＝10，BC＝4，EF＝3，则线段DE的长为（　　） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 6.古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 7.若，则（　　） A．﹣5 B． C．﹣5或 D．﹣5或 8.如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为（　　） A． B． C． D． 9.如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（　　） A．3 B． C．2 D． 10.如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，，DE∥BC，EF∥AB，点M是EF的中点，连接BM并延长交AC于点N，则的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 　　 厘米． 12.已知非零实数x，y，z满足，则的值为 　 　 ． 13.如图，△ABC中，∠C＝90°，正方形CDEF的顶点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，如果AE＝2BE，且S△ABC＝36．那么正方形CDEF的面积为 　 　 ． 14.如图，AD是△ABC的中线． ①若E为AD的中点，射线CE交AB于点F，则的值为 　　 ； ②若E为AD上的一点，且，射线CE交AB于点F，则的值为 　　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26． ①求a、b、c的值； ②若线段x是线段a、b的比例中项，求线段x的长； ③若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 　　 ． 16.如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若AD＝3，DE＝6． （1）若AB＝4.5，求BC的长； （2）若EF＝10，求BE的长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得：． 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形ABCD的宽． （1）求黄金矩形ABCD中BC边的长； （2）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论． 18.如图，在△ABC中，延长CB至点D，使BD＝BC，在AC上取一点F，连接DF交AB于点E，过F点作FH∥AB交CD于点H，已知AC＝DE＝3，EF＝2． （1）DB：DH＝　 　 ； （2）求AF的长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值； （3）将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度． 20.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S． （1）用含x的代数式表示AD的长； （2）求S与x的函数表达式，并求S的最大值． 六、（本题满分12分） 21.已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，且线段AC是线段AD，AB的比例中项． （1）求证：∠ADC＝∠ACB； （2）已知点D是线段AB的黄金分割点，BD＝AD+3，求线段AD的长． 七、（本题满分12分） 22.在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，AD与BE交于点F． （1）如图1，点D是BC中点，点F是AD中点，DG∥BE交AC于点G，求证：； （2）如图2，若BD：DC＝1：4，AF：FD＝3：2，求AE：EC的值． 八、（本题满分14分） 23.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，B两点，与轴交于点，P在第二象限内的抛物线上，与交于点Q，与轴交于点D． (1)求，的值； (2)若，求点Q的横坐标； (3)记，是否有最大值，若有，请求出的最大值；若没有，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $