精品解析：贵州省贵阳市第一中学2025-2026学年高一上学期10月教学质量监测数学试卷

贵阳一中2025级高一年级教学质量监测卷 数学 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列函数中，与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数是定义在上的奇函数，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 6. 函数在区间上单调，则实数n的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列图象能够作为函数的图象的有（ ） A. B. C. D. 10. 对于实数、、，下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列条件中，可以作为“函数在上单调递增”的充分不必要条件的有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则的解析式为________． 13. 为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、AI技术培训3类拓展课程．高一某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参加劳动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有5人，只参加AI技术培训的人数为________． 14. 已知a，b为正数，，则的最小值为________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合． （1）若，求、； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知集合，且命题“，”是真命题，设实数的取值集合为． （1）求集合； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 某社区为方便居民洗车，投放了自助洗车系统，按洗车时长（记为t，单位：分钟）收取相应的洗车费用（记为y，单位：元）．为鼓励居民尽量深度清洁车辆的同时节约用水，保护资源，规定单次洗车时长小于80分钟．具体计费规则如下：当时，按每分钟元的固定单价计费；当时，；当时，． （1）写出洗车费用y关于洗车时长t的函数关系式，并计算当洗车时长为20分钟时，需要支付多少元的洗车费？ （2）若某人洗车时长超过了30分钟，那么他最好洗多少分钟的车最划算（即洗车平均单价最低）？此时洗车平均单价为多少元？ 18. 设是定义在上的偶函数，且满足、，，都有． （1）求实数的值，并比较与的大小； （2）若，求实数的取值范围． 19. 对于定义域为D的函数，若存在区间，使在上的值域为，则称区间为函数的“漂亮区间”．已知函数，． （1）根据定义讨论函数在区间上的单调性； （2）若函数 （i）判断并证明函数的奇偶性； （ii）当时，若函数存在“漂亮区间”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳一中2025级高一年级教学质量监测卷 数学 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解. 【详解】由集合，，得. 故选：C 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的解析式可求出的值. 【详解】因为，所以， 故. 故选：A. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 该命题的否定为“，”. 故选：B. 4. 下列函数中，与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的定义域，结合函数相等的定义判断即可. 【详解】函数的定义域为， 对于A选项，函数的定义域为，A选项中的函数与不表示同一函数； 对于B选项，函数的定义域为， ，B选项中的函数与不表示同一函数； 对于C选项，函数的定义域为， ，C选项中的函数与不表示同一函数； 对于D选项，函数的定义域为，且， D选项中的函数与表示同一函数. 故选：D. 5. 已知幂函数是定义在上的奇函数，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义以及奇函数的性质求解即可. 【详解】是幂函数，所以,解得或； 当时，是定义在上的偶函数，不满足题意； 当时，是定义在上的奇函数，满足题意； 故选：C 6. 函数在区间上单调，则实数n的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数性质进行讨论即可. 【详解】对称轴， 若在区间上单调递增，则，； 若在区间上单调递减，则，； 综上n的取值范围为. 故选：C. 7. 已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知等式变形得出，结合基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值是. 故选：B. 8. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知、是关于的方程的两根，且，利用韦达定理可求得的值，再将代入方程，可得出，再结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】由题意可知，、是关于的方程的两根，且， 由韦达定理可得，解得，故原方程为，即， 将代入方程得， 因为，所以， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列图象能够作为函数的图象的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数的定义，结合图象表示法逐项判断即得. 【详解】由函数的定义知，垂直于轴的直线与函数图象最多一个公共点，选项ACD中图形可作为函数的图象， 对于B，存在垂直于轴的直线，如直线与给定图形有2个公共点，B不能作为函数的图象. 故选：ACD 10. 对于实数、、，下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】取可判断A选项；利用不等式的基本性质可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，当时，则，A错； 对于B选项，若，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，若，则， 由不等式的基本性质可得，即，C对； 对于D选项，若，则，，即，D对. 故选：BCD. 11. 下列条件中，可以作为“函数在上单调递增”的充分不必要条件的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围，结合充分条件、必要条件的定义可得出合适的选项. 【详解】若函数在上单调递增， 函数在上为增函数，则，可得； 函数在上为增函数，则，解得； 且有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 求的充分不必要条件等价于求，为的真子集， 故BD选项符合题意. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】令，则，代入等式化简可得出函数的解析式. 【详解】令，则，代入等式得， 故. 故答案为：. 13. 为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、AI技术培训3类拓展课程．高一某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参加劳动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有5人，只参加AI技术培训的人数为________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用韦恩图来求解即可. 【详解】设3类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和AI技术培训的有人， 列出韦恩图如下，则， 可得，则只参加AI技术培训的人数为人. 故答案为：8. 14. 已知a，b为正数，，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件得：，代入将问题转化为求解的最小值，然后再根据“1”的代换进行求解最值即可. 【详解】已知，得：，即. 由此可得： . 当且仅当时，又，故当，时等号成立. 故的最小值为. 故答案为： 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合． （1）若，求、； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，当时，写出集合，利用交集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可得出集合； （2）分、两种情况讨论，在时，可得出关于的不等式；在时，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 当时，， 所以，或， 故或. 【小问2详解】 因为. 当时，则，解得； 当时，则，解得， 且有或，解得， 结合，可得. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知集合，且命题“，”是真命题，设实数的取值集合为． （1）求集合； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式求出的最小值，可得出关于实数的不等式，即可解得集合； （2）分析可知，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为命题“，”是真命题， 当时，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，即，解得，故. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，且， 所以，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 17. 某社区为方便居民洗车，投放了自助洗车系统，按洗车时长（记为t，单位：分钟）收取相应的洗车费用（记为y，单位：元）．为鼓励居民尽量深度清洁车辆的同时节约用水，保护资源，规定单次洗车时长小于80分钟．具体计费规则如下：当时，按每分钟元的固定单价计费；当时，；当时，． （1）写出洗车费用y关于洗车时长t的函数关系式，并计算当洗车时长为20分钟时，需要支付多少元的洗车费？ （2）若某人洗车时长超过了30分钟，那么他最好洗多少分钟的车最划算（即洗车平均单价最低）？此时洗车平均单价为多少元？ 【答案】（1）元； （2）40分钟, 元. 【解析】 【分析】（1）根据题目条件写出分段函数的解析式，代入即可； （2）根据，写出时，洗车平均单价的解析式，配方求得最值即可. 【小问1详解】 由题意，则， 当洗车时长为20分钟时，需要支付元的洗车费. 【小问2详解】 设洗车平均单价，则时，， 当时，分母最大为，， 所以洗40分钟的车最划算，此时洗车平均单价为元. 18. 设是定义在上的偶函数，且满足、，，都有． （1）求实数的值，并比较与的大小； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数定义域关于原点对称可得出关于实数的等式，可解出的值，然后分析函数在上的单调性，结合偶函数的基本性质可得出与的大小； （2）将所求不等式变形为，结合函数的单调性和定义域可得出关于实数的不等式，解之即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的偶函数，则，解得， 故函数的定义域为， 、，，都有， 不妨设，则，即， 所以函数在上为减函数，故. 【小问2详解】 因为函数的定义域为，该函数为偶函数，且该函数在上为减函数， 由可得，即， 则有，解得或， 故原不等式的解集为. 19. 对于定义域为D的函数，若存在区间，使在上的值域为，则称区间为函数的“漂亮区间”．已知函数，． （1）根据定义讨论函数在区间上的单调性； （2）若函数 （i）判断并证明函数的奇偶性； （ii）当时，若函数存在“漂亮区间”，求实数的取值范围． 【答案】（1） 设任意，且， 则 ①当时，， ，即， 在上是单调递增函数. ②当时，若， ， ，即， 在是单调递减函数. 若时， ， 即， 在上是单调递增函数. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）奇函数， 由知函数定义域为，关于原点对称， 当时，， 当时， 综上，当时，总有，故函数是奇函数. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义，分类讨论即可得解； （2）（i）根据分段函数及奇函数的定义可证明函数为奇函数； （ii）由对勾函数的性质，即“漂亮区间”的定义转化为方程组有解，再转化为两个函数的图象有两个交点，数形结合得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为， 所以当时，函数， 因为对勾函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 若存在“漂亮区间”，则有解， 即有解， 可转化为与的图象在上有两个交点， 在同一平面直角坐标系下，作出与的图象，如下图， 由图象可知，当时，图象有两个交点， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $