24.1圆的有关性质 讲义2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

第7讲 圆的有关性质 知识点1 垂径定理 ①弦和直径： (1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦. (2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。 ②弧： (1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B为端点的的弧记作AB (⌒),读作弧AB. (2)半圆、优弧、劣弧： 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如. 小于半圆的弧叫做劣弧，如。 （3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。 ③弦心距： （1）圆心到弦的距离叫做弦心距。 （2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，则其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。 ④圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。 ⑤垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． ⑥同心圆与等圆 （1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。 （图一） （2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的⊙O 1与⊙O 2的半径都是r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。 （图二） （3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。 【典例】 1.如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是 2.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是 3.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m，河面宽AB为24m，则桥高CD为 4.把宽为2cm的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与圆的两个交点处的度数恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm），求该圆的半径 【方法总结】 1、在遇有求弦长或半径长的问题时，常添加的辅助线是弦心距。 2、在运用垂径定理解决线段长度问题时，一般都与勾股定理复合运用。 【随堂练习】 1．如图，花园边墙上有一宽为1m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长为2m，现准备打掉部分墙体，使其变成以AC为直径的圆弧形门，则打掉墙体后，弧形门洞的周长（含线段BC）为_____． 2．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？ 3．（2017秋•江干区期末）赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米， （1）如图1，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹）； （2）如图2，求桥弧AB所在圆的半径R． 知识点2 弧、弦、圆心角、圆周角的关系 与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角． 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数． (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。 在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等，弦也相等。 （3）直径所对的圆周角是直角。 【典例】 1.如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于 2.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=38°，则∠AEO的度数是 3.如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是 【方法总结】 1、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角相等圆周角也相等，可进行角度转换。 2、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可进行角度倍数转换。 【随堂练习】 1．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于点G． （1）求证：=； （2）若为140°，求∠EGB的度数． 2．（2017秋•洪泽县校级月考）如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：AC=BD． 3．（2017秋•灌云县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若的度数70°，且AD∥OC，求的度数． 知识点3 圆周角定理及推论 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角的性质： 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半． 圆周角的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角． ③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角． 【典例】 1.如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC=60°，那么BC的长是 2.如图所示，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为 【方法总结】 1、在圆中利用圆的半径处处相等，可迅速构造等腰三角形。 2、利用直径所对的圆周角是直角，可便捷构造直角三角形。 【随堂练习】 1．如图，⊙O的直径AB为20cm，弦AC=12cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长． 2．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），D为⊙C上在第一象限内的一点且∠ODB=60°． （1）求线段AB的长及⊙C的半径； （2）求B点坐标． 知识点4 圆内接四边形的性质 1.圆内接四边形的对角互补 2.外角等于它的内对角 【典例】 1.如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠B+∠D的度数为　 ． 2.如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E+∠F=70°，则∠A的度数是　 　 3.如图，A、B、C、D四个点在同一个圆上，∠ADC=90°，AB=7cm，CD=5cm，AE=4cm，CF=6cm，则阴影部分的面积为　 　cm2． 【方法总结】 证明四点共圆的一般方法： 1、逆用同弦所对圆周角相等 2、逆用圆的内接四边形对角互补 【随堂练习】 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC=65°，分别连接AC，BD，若 AC=AD，则∠DBC的度数为（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 2．如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F、C，若∠F=27°，∠A=53°，则∠C的度数为（　　） A．30° B．43° C．47° D．53° 综合运用：圆的有关性质 1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求球的半径。 2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求 （1）求半圆的半径长； （2）BE的长度。 3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，求⊙O的半径。 4.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC，F为CD的中点，求EF的最大值。 5.如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，BC=8cm，CD平分∠ACB． （1）求AC与BD的长； （2）求四边形ADBC的面积． 6.如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC的形状并证明你的结论； （2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由． （3）求证：PA+PB=PC． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 圆的有关性质 知识点1 垂径定理 ①弦和直径： (1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦. (2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。 ②弧： (1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B为端点的的弧记作AB (⌒),读作弧AB. (2)半圆、优弧、劣弧： 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如. 小于半圆的弧叫做劣弧，如。 （3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。 ③弦心距： （1）圆心到弦的距离叫做弦心距。 （2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，则其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。 ④圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。 ⑤垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． ⑥同心圆与等圆 （1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。 （图一） （2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的⊙O 1与⊙O 2的半径都是r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。 （图二） （3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。 【典例】 1.如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是 【答案】GH 【解析】解：∵AB是直径，AB⊥GH， ∴圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是GH 2.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是 【答案】（﹣2，﹣1） 【解析】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O， 则点O即是该圆弧所在圆的圆心． ∵点A的坐标为（﹣3，2）， ∴点O的坐标为（﹣2，﹣1） 3.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m，河面宽AB为24m，则桥高CD为 【答案】18m 【解析】解：如图，连结OA， ∵CD⊥AB， ∴AD=BD=AB=×24=12， 在Rt△OAD中，OA=5，OD==5， ∴CD=OC+CD=13+5=18m． 4.把宽为2cm的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与圆的两个交点处的度数恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm），求该圆的半径 【答案】3.25cm 【解析】解：如图，连接OA交BC于点E， 设OB=r， ∵AB=8﹣2=6cm，OD⊥AB， ∴BE=AB=×6=3cm， 在Rt△BOE中， OE2+BE2=OB2，即（r﹣2）2+9=r2， 解得r==3.25cm． 【方法总结】 1、在遇有求弦长或半径长的问题时，常添加的辅助线是弦心距。 2、在运用垂径定理解决线段长度问题时，一般都与勾股定理复合运用。 【随堂练习】 1．如图，花园边墙上有一宽为1m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长为2m，现准备打掉部分墙体，使其变成以AC为直径的圆弧形门，则打掉墙体后，弧形门洞的周长（含线段BC）为_____． 【解答】解：设矩形外接圆的圆心为O，连接OB， ∵矩形ABCD的AC=2m，BC=1m， ∴OB=OC=BC=1m， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC=60°． ∴弧形门洞的周长（含线段BC）为：+1=+1， 故答案为：（+1）m． 2．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？ 【解答】解：（1）连结OA， 由题意得：AD=AB=30，OD=（r﹣18） 在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r﹣18）2， 解得，r=34； （2）连结OA′， ∵OE=OP﹣PE=30， ∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2﹣OE2，即：A′E2=342﹣302， 解得：A′E=16． ∴A′B′=32． ∵A′B′=32＞30， ∴不需要采取紧急措施． 　 3．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米， （1）如图1，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹）； （2）如图2，求桥弧AB所在圆的半径R． 【解答】解：（1）如图1所示； （2）连接OA．如图2． 由（1）中的作图可知：△AOD为直角三角形，D是AB的中点，CD=10， ∴AD=AB=20． ∵CD=10， ∴OD=R﹣10． 在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2， ∴R2=202+（R﹣10）2． 解得：R=25． 即桥弧AB所在圆的半径R为25米． 知识点2 弧、弦、圆心角、圆周角的关系 与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角． 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数． (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。 在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等，弦也相等。 （3）直径所对的圆周角是直角。 【典例】 1.如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于 【答案】40° 【解析】解：如图，连接BF， ∵的度数为30°， ∴的度数为150°，∠AFB=15°， ∵G是的三等分点， ∴的度数为50°， ∴∠GBF=25°， ∴∠GHF=∠GBF+∠AFB=40°， 2.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=38°，则∠AEO的度数是 【答案】57° 【解析】解：∵==，∠COD=38°， ∴∠BOC=∠EOD=∠COD=38°， ∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=66°． 又∵OA=OE， ∴∠AEO=∠OAE， ∴∠AEO=×（180°﹣66°）=57°． 3.如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是 【答案】26° 【解析】解：如图， 由OC⊥AB，得 =，∠OEB=90°． ∴∠2=∠3． ∵∠2=2∠1=2×32°=64°． ∴∠3=64°， 在Rt△OBE中，∠OEB=90°， ∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26° 【方法总结】 1、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角相等圆周角也相等，可进行角度转换。 2、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可进行角度倍数转换。 【随堂练习】 1．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于点G． （1）求证：=； （2）若为140°，求∠EGB的度数． 【解答】（1）证明：连结AE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAF=∠AEB，∠GAF=∠B， ∵AE=AB， ∴∠B=∠AEB， ∴∠EAF=∠GAF， ∴=； （2）∵GB为⊙A的直径， ∴为180°， ∵为140°， ∴为40°， ∴∠BAE=40° ∵∠EGB=∠BAE， ∴∠EGB=20°． 　 2．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：AC=BD． 【解答】证明：∵AB=CD， ∴， ∴，即， ∴AC=BD． 3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若的度数70°，且AD∥OC，求的度数． 【解答】解：∵的度数70°， ∴∠AOC=70°， ∵AD∥OC， ∴∠A=∠AOC=70°， ∵OA=OC， ∴∠D=∠A=70°， ∴∠AOD=180°﹣70°﹣70°=40°， ∴的度数为40°． 知识点3 圆周角定理及推论 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角的性质： 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半． 圆周角的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角． ③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角． 【典例】 1.如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC=60°，那么BC的长是 【答案】2 【解析】解：∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°， ∵OD⊥弦BC，∴∠BOD=90°， ∵∠BOD=∠A=60°，∴OD=OB=1， ∴BD===， ∴BC=2BD=2 2.如图所示，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为 【答案】65° 【解析】解：如图连接AD， ∵OA=OD，∠AOD=50°， ∴∠ADO==65°． ∵AO∥DC， ∴∠ODC=∠AOD=50°， ∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=115°， ∴∠B=180°﹣∠ADC=65° 【方法总结】 1、在圆中利用圆的半径处处相等，可迅速构造等腰三角形。 2、利用直径所对的圆周角是直角，可便捷构造直角三角形。 【随堂练习】 1．如图，⊙O的直径AB为20cm，弦AC=12cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴BC==16（cm）； ∵CD是∠ACB的平分线， ∴=， ∴AD=BD=×AB=10（cm）． 2．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），D为⊙C上在第一象限内的一点且∠ODB=60°． （1）求线段AB的长及⊙C的半径； （2）求B点坐标． 【解答】解：（1）连接AB；∵∠ODB=∠OAB，∠ODB=60°， ∴∠OAB=60°， ∵∠AOB是直角， ∴AB是⊙C的直径，∠OBA=30°； ∴AB=2OA=4， ∴⊙C的半径r=2； （2）在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB2+OA2=AB2， ∴OB=， ∴B的坐标为：（，0）． 知识点4 圆内接四边形的性质 1.圆内接四边形的对角互补 2.外角等于它的内对角 【典例】 1.如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠B+∠D的度数为　 ． 【答案】155° 【解析】解：连接AB、DE，则∠ABE=∠ADE， ∵为50°，∴∠ABE=∠ADE=25°， ∵点A、B、C、D在⊙O上， ∴四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°， ∴∠B+∠D=180°﹣∠ABE=180°﹣25°=155° 2.如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E+∠F=70°，则∠A的度数是　 　 【答案】55° 【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A=∠BCF， ∵∠EBF=∠A+∠E， 而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F， ∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F， ∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F， 即2∠A=180°﹣（∠E+∠F）=110°， ∴∠A=55° 3.如图，A、B、C、D四个点在同一个圆上，∠ADC=90°，AB=7cm，CD=5cm，AE=4cm，CF=6cm，则阴影部分的面积为　 　cm2． 【答案】31 【解析】解：如图，连接AC． ∵∠ADC=90°， ∴AC是直径， ∴∠ABC=90°， ∴CD⊥AE，AB⊥CF， ∵S阴=S△AEC+S△AFC=•AE•CD+•CF•AB=×4×5+×6×7=31（cm2） 【方法总结】 证明四点共圆的一般方法： 1、逆用同弦所对圆周角相等 2、逆用圆的内接四边形对角互补 【随堂练习】 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC=65°，分别连接AC，BD，若 AC=AD，则∠DBC的度数为（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC=∠EBC=65°． ∵AC=AD， ∴∠ACD=∠ADC=65°， ∴∠CAD=180°﹣∠ACD﹣∠ADC=50°， ∴∠DBC=∠CAD=50°， 故选：A． 　 2．如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F、C，若∠F=27°，∠A=53°，则∠C的度数为（　　） A．30° B．43° C．47° D．53° 【解答】解：∵∠A=53°，∠F=27°， ∴∠CBD=∠A+∠F=80°， ∵∠A+∠BDE=180°， ∴∠BDE=180°﹣53°=127°， ∵∠BDE=∠C+∠CBD， ∴∠C=127°﹣80°=47°． 故选：C． 综合运用：圆的有关性质 1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求球的半径。 【解析】解：如图，设EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠D=90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴MN=CD=4cm， 设OF=x cm，则ON=OF， ∴OM=MN﹣ON=（4﹣x）cm，MF=2cm， 在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2 即：（4﹣x）2+22=x2 解得：x=2.5cm 答：球的半径为2.5cm。 2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求 （1）求半圆的半径长； （2）BE的长度。 【解析】解：（1）设圆的半径为r， ∵D是弧AC中点， ∴OD⊥AC，AE=AC=4， 在Rt△AOE中，OA2=OE2+AE2，即r2=（r﹣2）2+42， 解得，r=5，即圆的半径长为5； 答：圆的半径长为5。 （2）如图，连接BC， ∵AO=OB，AE=EC， ∴BC=2OE=6， ∵AB是半圆的直径， ∴∠ACB=90°， ∴BE==2． 答：BE长为2。 3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，求⊙O的半径。 【解析】解：如图，连接OB， 设⊙O的半径为r，则Rt△AOB中，∵AC=5cm，∴AO=（5-r）cm，AB=3cm，OB=r，由勾股定理得：OB²=OA²+AB²，即：r²=（5-r）²+3²，解得：r=3.4cm。 答：⊙O的半径为3.4cm。 4.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC，F为CD的中点，求EF的最大值。 【解析】解：由题意知∠BEC=90°， ∴点E在以BC为直径的⊙O上，如图所示： 由图可知，连接FO并延长交⊙O于点E′， 此时E′F最长， ∵CO=BC=6、FC=CD=， ∴OF===， 则E′F=OE′+OF=6+= 答：EF的最大值为。 5.如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，BC=8cm，CD平分∠ACB． （1）求AC与BD的长； （2）求四边形ADBC的面积． 【解析】解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°， ∴AC==6（cm）， ∵CD平分∠ACB，∴BD=AD=AB=5（cm）； 答：AC长6cm；BD长5cm。 （2）四边形ADBC的面积=△ABC的面积+△ADB的面积 =×6×8+×5×5=49（cm2）． 答;四边形ADBC的面积为49cm2 。 6.如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC的形状并证明你的结论； （2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由． （3）求证：PA+PB=PC． 【解析】解：（1）△ABC是等边三角形． 证明如下：在⊙O中， ∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角， ∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC， 又∵∠APC=∠CPB=60°， ∴∠ABC=∠BAC=60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形， 连接OP，如图1： ∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中点， ∴∠AOP=∠BOP=60° 又∵OA=OP=OB， ∴△OAP和△OBP均为等边三角形， ∴OA=AP=OB=PB， ∴四边形PBOA是菱形； （3）如图2，在PC上截取PD=AP， 又∵∠APC=60°， ∴△APD是等边三角形， ∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°． 又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°， ∴∠ADC=∠APB， 在△APB和△ADC中， ， ∴△APB≌△ADC（AAS）， ∴BP=CD， 又∵PD=AP， ∴CP=BP+AP． 1 学科网（北京）股份有限公司 $