第二十三章旋转 第6讲图形的旋转讲义2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

第6讲 图形的旋转-中心对称 知识点1图形的旋转 图形的旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和旋转方向. 图形旋转的性质： 1、 经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度， 2、 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。 3、 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。 【典例】 1.如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是 【答案】20° 【解析】解：如图． ∵∠AOC=∠2=50°时，OA∥b， ∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°﹣50°=20°。 2.如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为 【答案】90° 【解析】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′， ∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′， ∴∠AB′B=（180°﹣120°）=30°， ∵AC′∥BB′， ∴∠C′AB′=∠AB′B=30°， ∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′=120°﹣30°=90°。 3.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为 【答案】180°﹣α 【解析】解：由题意可得， ∠CBD=α，∠ACB=∠EDB， ∵∠EDB+∠ADB=180°， ∴∠ADB+∠ACB=180°， ∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α， ∴∠CAD=180°﹣α 4.如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为 【答案】8cm 【解析】解：如图，AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S， ∵∠BAH=90°﹣60°=30°， ∴AC=2CH=2x， ∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S， ∵x•S+x•2S=6•S+6•S，解得x=4， ∴AC=2x=8， 即AB中水柱的长度约为8cm。 【方法总结】 由于旋转前、后两个图形中，对应点与旋转中心的距离总相等，因此对应点必在以旋转中心为圆心，分别以对应点到旋转中心的距离为半径的一组同心圆上，且对应点与旋转中心的连线所成角相等，都等于旋转角. 注意：在旋转过程中保持不动的点是旋转中心，保持不变的量是对应元素． 【随堂练习】 1．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形OA2025B2025C2025，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2025的坐标为（　　） A．（1，1） B．（0，） C．（） D．（﹣1，1） 【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1， ∴B（1，1）， 连接OB， 由勾股定理得：OB=， 由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…=， ∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1， 相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°， ∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），…， 发现是8次一循环，所以2025÷8=253…余1， ∴点B2025的坐标为（0，） 故选：B． 　 2．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）向右平移2个单位长度得到点P1，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，3） 【解答】解：∵点P（1，﹣2）向右平移2个单位长度得到点P1， ∴P1的坐标为：（3，﹣2）， ∵点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2， ∴点P2的坐标是：（2，3）． 故选：D． 　 3．将Rt△AOB 如图放置在直角坐标系中，并绕O点顺时针旋转90°至△COD的位置，已知A（﹣2，0），∠ABO=30°．则△AOB旋转过程中所扫过的图形的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵A（﹣2，0）， ∴OA=2， ∵∠ABO=30°， ∴OB=2，∠BAO=60°， ∴△AOB旋转过程中所扫过的图形的面积=S△BC′O+S扇形AOC′+S扇形BOD=1×2++=π+， 故选：D． 知识点2 中心对称 1．中心对称图形与对称中心： 在平面内，某一图形绕某一点旋转180°后能与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。 2．中心对称和对称中心： 在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点。 3．中心对称和中心对称图形的关系： 它们都是图形关于某点成中心对称，但中心对称图形是指一个图形，表示一个图形的特性；成中心对称是针对两个图形而言，表示两个图形之间的对称关系，二者是相对的。 4．中心对称的特征： 成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且都被对称中心平分； 反之，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。 【典例】 1.如图，已知 AB=3，AC=1，∠D=90°，△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是　 ． 【答案】　 【解析】解：∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称， ∴DC=AC=1，DE=AB=3， ∴在Rt△EDA中，AE的长是：= 2.若△ABC与△DEF关于点O成中心对称，且A、B、C的对称点分别为D、E、F，若AB=5，AC=3，则EF的范围是　 　 【答案】2＜EF＜8 【解析】解：∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称，且A、B、C的对称点分别为D、E、F，AB=5，AC=3， ∴DE=5，DF=3 ∴EF的取值范围为：2＜EF＜8 3.如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为　　 ． 【答案】6 【解析】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2， ∴AB=2， ∴阴影部分的面积之和为3×2=6． 4.在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是　　 ． 【答案】（4n+1，） 【解析】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣， ∴点A2的坐标是（3，﹣）， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣）=， ∴点A3的坐标是（5，）， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣， ∴点A4的坐标是（7，﹣）， …， ∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…， ∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n+1的纵坐标是， ∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）． 【方法总结】 1．对称中心的确定： 将其中的两个关键点和它们的对称点的连线作出来，两条连线的交点就是对称中心 2．关于中心对称的作图： （1）确定对称中心； （2）确定关键点； （3）作关键点的关于对称中心的对称点； （4）连结各点，得到所需图形。 【随堂练习】 1．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分． （1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　=　S四边形DEFC（填“＞”“＜”“=”）； （2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分； （3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分分割）． 【解答】解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB=S四边形DEFC； （2）如图所示： （3）如图所示： 故答案为：=． 知识点3 中心对称综合应用 在解平面几何题目的过程中，我们常把中心对称作为一种解题技巧。由于对称中心为对应点连线的中点，所以遇有线段中点问题，且有以中点为另外一条线段端点时，我们一般把以中点为端点的这条线段反向延长一倍，来构成中心对称图形，即常说的“倍长中线”，实际上“倍长中线”就是“中心对称综合应用”的一种迁变称谓。 【典例】 1.如图，在△ABC中，D为BC上任一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：点E，F关于AD的中点对称． 【解析】证明：如图，连接EF交于点O． ∵DE∥AC交AB与E，DF∥AB交AC于F， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴点E，F关于AD的中点对称． 2.如图，已知：AB∥CD∥FE，AF∥BC∥DE、求作一条直线，将这个图形分成面积相等的两部分、要求：对分法的合理性进行说明，并在图中作出分法的示意图（保留作图痕迹）． 【解析】解：（1）无数．均经过两条对角线的交点． （2）延长BC交EF于点M，连接AM、BF交于点P，连接CE、DM交于点Q，过P、Q的直线将这个图形分成面积相等的两部分，因为PQ既将平行四边形ABMF的面积平分，又将平行四边形CDEM的面积平分，所以直线PQ即为所求． （3）如图所示： 3.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图1，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4． [感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF． 求证：BE+CF＞EF，若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明． 【解析】解：（1）如图，延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG． （或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD）， ∴CF=BG，DF=DG， ∵DE⊥DF， ∴EF=EG． 在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF． （2）若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°， 由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG， ∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°， ∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2， ∴BE2+CF2=EF2． 【方法总结】 倍长中线构图后，一般是先证两个“8字型”三角形全等，再根据内错角相等，随后可推证两个“8字”底边平行，再结合已知条件逐步展开，获取进一步解题条件。 【随堂练习】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求： （2）如图所示，△A2B2C2即为所求： （3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B=， 即， 所以三角形的形状为等腰直角三角形． 2．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点分别为A（1，1），B（2，4），C（4，2）． （1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1； （2）点 C关于x轴的对称点C2的坐标为_____； （3）点C2向左平移m个单位后，落在△A1B1C1内部，写出一个满足条件的m的值：____． 【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）点C2的坐标为：（4，﹣2）． 故答案为：（4，﹣2）； （3）答案不唯一．如：6． 综合运用：图形的旋转 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）当AD=BF时，求∠BEF的度数． 【解析】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB， ∠BCE=∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD与△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS） （2）∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠A=45°， 由（1）可知：∠A=∠CBE=45°， ∵AD=BF， ∴BE=BF， ∴∠BEF=67.5° 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，将△ABC绕点B旋转θ（0＜θ＜60°）到△A′BC′，边AC和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q，当△BPQ为等腰三角形时，求旋转角θ值。 【解析】解：如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E， 由旋转可得，△ABC≌△A'BC'，则BD=BE， ∴BP平分∠A'PC， 又∵∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'， ∴∠CBQ=∠C'PQ=θ， ∴∠BPQ=（180°﹣∠C'PQ）=90°﹣θ， 分三种情况： ①如图所示，当PB=PQ时，∠PBQ=∠PQB=∠C+∠QBC=30°+θ， ∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°， ∴90°﹣θ+2×（30°+θ）=180°， 解得θ=20°； ②如图所示，当BP=BQ时，∠BPQ=∠BQP， 即90°﹣θ=30°+θ， 解得θ=40°； ③当QP=QB时，∠QPB=∠QBP=90°﹣θ， 又∵∠BQP=30°+θ， ∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP=2（90°﹣θ）+30°+θ=210°＞180°（不合题意）， 综上，θ值为：20°或40°。 答：θ值为：20°或40°。 3.如图，△ABC中，∠BAC=120°，AD为中线，将AD绕点A顺时针旋转120°得到AE，连接BE，F为AC上一点，连接BF，∠ABE=∠AFB，AF=6，BE=7，则CF的长多少？ 【解析】解：如图，过点D作DH∥BF交AC于点H，过点F作FI⊥BA的延长线于点I， ∵∠BAC=∠EAD=120° ∴∠EAB=DAH， ∵DH∥BF， ∴∠AFB=AHD， ∵∠ABE=∠AFB， ∴∠ABE=∠AHD 在△AEB与△ADH ∴△AEB≌△ADH（AAS） ∴AB=AH，BE=DH=7 设FH=x， ∴AH=AB=6+x， ∵∠FAI=60°， ∴AI=AF=3 由勾股定理可知：IF=3， ∵AD是△ABC的中线， ∴点D是BC的中点， ∵DH∥BF ∴DH是△CBF的中位线， ∴BF=14， 在Rt△BFI中， 由勾股定理可知：（6+x+3）2+（3）2=142 ∴x=4 ∴CF=2FH=8 答：CF长为8。 4.如图，在△ABC中，AB=5a，AC=3a（a>0），求中线AD的取值范围。 【解析】解：延长AD至AE，交BC于D，使DE=AD。连接EC。 ∵∠EDC和∠BDA是对顶角，∴∠EDC=∠BDA， 又∵D是BC的中点，∴BD=DC。 在△ABD和△CDE中：DE=AD，∠EDC=∠BDA，BD=DC ∴△ABD≌△CDE(SAS)，∴AB=EC=5a， ∵△ACE中， ∴AC+EC>AE>EC-AC， 又∵AC=3a，EC=5a， ∴AE的取值范围为：5a+3a>AE>5a-3a， 即8a>AE>2a， 由题意得：AE=2AD，∴8a>2AD>2a，即4a>AD>a。 5.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE． 【解析】证明：延长AE到M，使EM=AE，连结DM，如图所示： ∵E是DC的中点， ∴AE=CE， 在△DEM和△CEA中，， ∴△DEM≌△CEA（SAS）， ∴∠C=∠MDE，DM=AC， 又BD=DC=AC， ∴DM=BD，∠ADC=∠CAD， 又∠ADB=∠C+∠CAD，∠ADM=∠MDE+∠ADC， ∴∠ADM=∠ADB， 在△ADB和△ADM中，， ∴△ADB≌△ADM（SAS）， ∴∠BAD=∠MAD， 即AD平分∠BAE 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 图形的旋转-中心对称 知识点1图形的旋转 图形的旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和旋转方向. 图形旋转的性质： 1、 经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度， 2、 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。 3、 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。 【典例】 1.如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是 2.如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为 3.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为 4.如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为 【方法总结】 由于旋转前、后两个图形中，对应点与旋转中心的距离总相等，因此对应点必在以旋转中心为圆心，分别以对应点到旋转中心的距离为半径的一组同心圆上，且对应点与旋转中心的连线所成角相等，都等于旋转角. 注意：在旋转过程中保持不动的点是旋转中心，保持不变的量是对应元素． 【随堂练习】 1．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2025B2025C2025，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2025的坐标为（　　） A．（1，1） B．（0，） C．（） D．（﹣1，1） 　 2．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）向右平移2个单位长度得到点P1，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，3） 　 3．将Rt△AOB 如图放置在直角坐标系中，并绕O点顺时针旋转90°至△COD的位置，已知A（﹣2，0），∠ABO=30°．则△AOB旋转过程中所扫过的图形的面积为（　　） A． B． C． D． 知识点2 中心对称 1．中心对称图形与对称中心： 在平面内，某一图形绕某一点旋转180°后能与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。 2．中心对称和对称中心： 在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点。 3．中心对称和中心对称图形的关系： 它们都是图形关于某点成中心对称，但中心对称图形是指一个图形，表示一个图形的特性；成中心对称是针对两个图形而言，表示两个图形之间的对称关系，二者是相对的。 4．中心对称的特征： 成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且都被对称中心平分； 反之，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。 【典例】 1.如图，已知 AB=3，AC=1，∠D=90°，△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是　 ． 2.若△ABC与△DEF关于点O成中心对称，且A、B、C的对称点分别为D、E、F，若AB=5，AC=3，则EF的范围是　 　 3.如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为　　 ． 4.在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是　　 ． 【方法总结】 1．对称中心的确定： 将其中的两个关键点和它们的对称点的连线作出来，两条连线的交点就是对称中心 2．关于中心对称的作图： （1）确定对称中心； （2）确定关键点； （3）作关键点的关于对称中心的对称点； （4）连结各点，得到所需图形。 【随堂练习】 1．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分． （1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　=　S四边形DEFC（填“＞”“＜”“=”）； （2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分； （3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分分割）． 知识点3 中心对称综合应用 在解平面几何题目的过程中，我们常把中心对称作为一种解题技巧。由于对称中心为对应点连线的中点，所以遇有线段中点问题，且有以中点为另外一条线段端点时，我们一般把以中点为端点的这条线段反向延长一倍，来构成中心对称图形，即常说的“倍长中线”，实际上“倍长中线”就是“中心对称综合应用”的一种迁变称谓。 【典例】 1.如图，在△ABC中，D为BC上任一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：点E，F关于AD的中点对称． 2.如图，已知：AB∥CD∥FE，AF∥BC∥DE、求作一条直线，将这个图形分成面积相等的两部分、要求：对分法的合理性进行说明，并在图中作出分法的示意图（保留作图痕迹）． 3.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图1，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4． [感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF． 求证：BE+CF＞EF，若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明． 【方法总结】 倍长中线构图后，一般是先证两个“8字型”三角形全等，再根据内错角相等，随后可推证两个“8字”底边平行，再结合已知条件逐步展开，获取进一步解题条件。 【随堂练习】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 2．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点分别为A（1，1），B（2，4），C（4，2）． （1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1； （2）点 C关于x轴的对称点C2的坐标为_____； （3）点C2向左平移m个单位后，落在△A1B1C1内部，写出一个满足条件的m的值：____． 综合运用：图形的旋转 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）当AD=BF时，求∠BEF的度数． 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，将△ABC绕点B旋转θ（0＜θ＜60°）到△A′BC′，边AC和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q，当△BPQ为等腰三角形时，求旋转角θ值。 3.如图，△ABC中，∠BAC=120°，AD为中线，将AD绕点A顺时针旋转120°得到AE，连接BE，F为AC上一点，连接BF，∠ABE=∠AFB，AF=6，BE=7，则CF的长多少？ 4.如图，在△ABC中，AB=5a，AC=3a（a>0），求中线AD的取值范围。 5.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE． 1 学科网（北京）股份有限公司 $