精品解析：河南省驻马店市汝南县罗店乡一中2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级上学期10月月考数学 注意事项： 1．本试卷共 6 页，三大题，满分 120 分，测试时间 100 分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. 4 B. C. 16 D. 3. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，第三天的票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 4. 如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是（ ） A. 向右平移4个单位，向上平移11个单位 B. 向左平移4个单位，向上平移11个单位 C. 向左平移4个单位，向上平移5个单位 D. 向右平移4个单位，向下平移5个单位 5. 布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线y＝（x－1）2＋5顶点坐标是（ ） A. （1，5） B. （-1，-5） C. （1，-5） D. （-1，5） 7. 把函数的图象向下平移1个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2016 B. 2018 C. 2022 D. 2024 9. 将二次函数y＝x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是( ) A. y＝(x﹣2)2﹣1 B. y＝(x+1)(x+3) C. y＝(x﹣2)2+1 D. y＝(x+2)2﹣1 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为______． 12. 如果抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标的纵坐标为______． 13. 若抛物线的开口向上，则的取值范围是______． 14. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为___________． 15. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于_____． 三、解答题（共 8 题，共 75 分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元？ 18. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 19. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． （1）求车棚的长；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 20. 2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ （3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 21. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为10元，当销售单价定为14元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每增加1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过20元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． （1）求与的函数关系式； （2）要使日销售利润为1190元，销售单价应定为多少元； （3）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 22. 已知二次函数． （1）若． ①当时，求该函数图象的顶点坐标． ②不论取何值，图象是否会经过定点？若会，请求出图象经过的定点坐标；若不会，请说明理由． （2）点，在该函数图象上，且．若，图象的顶点在第三象限，求a的取值范围． 23. 我们规定：一次函数叫做二次函数的“子函数”，反过来二次函数叫做一次函数的“母函数”． （1）已知二次函数的“子函数”经过点，，求，，的值； （2）若一次函数的“母函数”为，且“母函数”的图象始终在一次函数的图象的上方，求的取值范围； （3）如图，“母函数”二次函数与轴负半轴交于，两点，与轴正半轴交于点，顶点为，“母函数”与其“子函数”交于，两点，，点为平面直角坐标系中的一个动点，连接，，若线段的最大值为，求二次函数的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期10月月考数学 注意事项： 1．本试卷共 6 页，三大题，满分 120 分，测试时间 100 分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、判断点所在的象限， 理解一元二次方程的解的定义是解题关键．把代入方程，求出的值，再根据点的符号特征，求出点所在的象限即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴， ∴在第二象限． 故选：B． 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. 4 B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意可得，由此计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故选：B． 3. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，第三天的票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据第一天票房及以后每天票房的增长率，即可得出第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，结合第三天的票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 4. 如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是（ ） A. 向右平移4个单位，向上平移11个单位 B. 向左平移4个单位，向上平移11个单位 C. 向左平移4个单位，向上平移5个单位 D. 向右平移4个单位，向下平移5个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象平移的性质，理解二次函数图象平移的性质是解答关键． 根据二次函数的图象向右平移是减，向下平移是减来进行求解． 【详解】解：的顶点坐标是，的顶点坐标是， 顶点由到需要向右平移4个单位，向下平移5个单位， 平移的过程是向右平移4个单位，向下平移5个单位． 故选：D． 5. 布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这个长方形垂直于墙的一边长为米，则这个平行于墙的一边长为米，据此根据长方形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 6. 抛物线y＝（x－1）2＋5顶点坐标是（ ） A. （1，5） B. （-1，-5） C. （1，-5） D. （-1，5） 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式可直接得出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是（1，5）， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟记二次函数的顶点式是解题的关键． 7. 把函数的图象向下平移1个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：把函数的图象向下平移1个单位，所得函数表达式为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 8. 若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2016 B. 2018 C. 2022 D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9. 将二次函数y＝x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是( ) A. y＝(x﹣2)2﹣1 B. y＝(x+1)(x+3) C. y＝(x﹣2)2+1 D. y＝(x+2)2﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】利用配方法把一般式化为顶点式即可． 【详解】解：y=x2+4x+3 =x2+4x+4-1 =（x+2）2-1， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，一元二次方程的两根为，，据此解答即可． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得，即则方程的另一个根为 故答案为： 12. 如果抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标的纵坐标为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及其性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴为直线，与y轴的交点为． 【详解】解：抛物线的对称轴是y轴， ，即， 抛物线为， 顶点坐标为， 顶点坐标的纵坐标为1， 故答案为：1． 13. 若抛物线的开口向上，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得到关于m的方程解题即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 故答案为：． 15. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于_____． 【答案】1 【解析】 【分析】关于x一元二次方程的常数项是为0，则，解出关于m的一元二次方程，并且注意而二次项系数，两者结合求得m的值． 【详解】解：∵关于x一元二次方程常数项为0， ∴， 解得，； 又∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式是：（是常数且），特别要注意的条件；以及正确解出一元二次方程的根． 三、解答题（共 8 题，共 75 分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】（）移项，利用因式分解法解答即可； （）左式转化成完全平方式，再可以直接开平方法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； （）利用公式法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴或 解得，； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴，； 【小问3详解】 解：∵ ∴ ∴或 ∴，； 【小问4详解】 解：，， ∵ ∴ ∴，． 17. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元？ 【答案】（1）道路的宽为米； （2）每个车位的月租金上涨或元时，停车场的月租金收入为元． 【解析】 【分析】（）由道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设月租金上涨元， 根据题意得，然后解方程即可； 本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据道路的宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米； 【小问2详解】 解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：每个车位的月租金上涨或元时，停车场的月租金收入为元． 18. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 19. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． （1）求车棚的长；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）自行车车棚的长为，宽为； （3） 不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 【解析】 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【小问1详解】 解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，车棚面积为：， 解得：或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意，舍去， 自行车车棚的长为，宽为； 【小问3详解】 解：略． 20. 2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ （3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元 （3）销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用． （1）设该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案； （3）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【小问1详解】 解：设该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得： ， 解得：， 函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． 单价不低于成本价，且不高于50元销售， 不符合题意，舍去． 答：销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元； 【小问3详解】 解：由题意得： ， ，故当时，随的增大而增大，而， 当时，有最大值，此时，， 答：销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元． 21. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为10元，当销售单价定为14元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每增加1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过20元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． （1）求与的函数关系式； （2）要使日销售利润为1190元，销售单价应定为多少元； （3）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1） （2）17元 （3）；当时，日销售利润最大，最大利润1400元 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润单个利润销售数量建立函数关系式，进一步利用性质解决问题，解答时求出二次函数的解析式，是解题的关键． （1）根据题意得到函数解析式即可； （2）根据题意列方程，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得： 解得：或（不符合题意舍去）， 答：要使日销售利润为1190元，销售单价应定为17元． 【小问3详解】 解：根据题意得， ， ， 当时，w随x的增大而增大， ∴当时，． 答：当时，日销售利润最大，最大利润1400元． 22. 已知二次函数． （1）若． ①当时，求该函数图象的顶点坐标． ②不论取何值，图象是否会经过定点？若会，请求出图象经过的定点坐标；若不会，请说明理由． （2）点，在该函数图象上，且．若，图象的顶点在第三象限，求a的取值范围． 【答案】（1）①；②经过定点和 （2） 【解析】 【分析】（1）①由已知条件得到函数解析式，化为顶点式可得结果；②将函数解析式变形，可得定点坐标； （2）将函数解析式化为顶点式，，根据顶点在第三象限可得，，再由点，在该函数图象上，且得出中点落在对称轴上或对称轴左侧，从而求出，，最后结合得出a的取值范围． 【小问1详解】 解：①当时，， ， ∴顶点坐标为； ②∵， ∴， ∴当时，； 当时，； ∴图象经过定点和； 【小问2详解】 ， 顶点坐标为， ∵顶点在第三象限， ∴，，在对称轴右侧， ∴，， ∴二次函数图像开口向上，对称轴是直线， ∵点，在该函数图象上，且， 若，在对称轴同侧，即右侧， 则，矛盾，故舍去； ∴，在对称轴两侧，且点A与对称轴的距离大于或等于点B与对称轴的距离， 即中点落在对称轴上或对称轴左侧， 又∵中点横坐标为， ∴， 又， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即a的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，有一定难度，比较抽象，解题的难点在于利用抽象的已知条件，结合图像进行分析，得到关于参数的不等式． 23. 我们规定：一次函数叫做二次函数的“子函数”，反过来二次函数叫做一次函数的“母函数”． （1）已知二次函数的“子函数”经过点，，求，，的值； （2）若一次函数的“母函数”为，且“母函数”的图象始终在一次函数的图象的上方，求的取值范围； （3）如图，“母函数”二次函数与轴负半轴交于，两点，与轴正半轴交于点，顶点为，“母函数”与其“子函数”交于，两点，，点为平面直角坐标系中的一个动点，连接，，若线段的最大值为，求二次函数的解析式． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“子函数”的定义可得，再代入，到，即可求解； （2）根据“母函数”的定义可得二次函数为，由“母函数”的图象始终在一次函数的图象的上方，可得恒成立，再利用二次函数图象的性质列出关于的不等式，即可求解； （3）过点作轴交直线于点，易得，根据二次函数与一元二次方程的关系可得，，结合，利用三角形面积公式得到，整理得到，根据二次函数经过点，进而得到，得出；取的中点，连接、，根据斜边中线定理得到，根据两点之间线段最短的性质得到，得到的长，进而得到点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的“子函数”为， ∴， 由题意得，经过点，， ∴， 解得， ∴综上，，，； 【小问2详解】 解：∵一次函数的“母函数”为， ∴，， ∴， ∴“母函数”为， ∵“母函数”的图象始终在一次函数的图象的上方， ∴恒成立， 即恒成立， ∴， 解得； ∴的取值范围为； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴交直线于点， 对于，令，则， ∴，， ∴， ∵“母函数”为二次函数， ∴“子函数”为一次函数， 联立， 消去整理得：， ∴，， ∴， ∵二次函数的顶点为， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵二次函数经过点， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴二次函数为， 令，则， 解得，， ∴，即； 如图，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∵线段的最大值为， ∴， ∴， ∴， 代入到，得 解得， ∴二次函数的解析式为． 【点睛】本题考查了新定义、待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、三角形面积公式、斜边中线定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点，运用数形结合思想解决问题是解题的关键．本题属于函数综合题，综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $