22.3 实际问题与二次函数 课后巩固练习2025－2026学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数 一．选择题 1．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（　　）m． A．6 B．45 C．35 D．25 2．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的最小值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 3．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，设这个苗圃园的宽AB为x，面积为S，则S与x之间的函数表达式为（　　） A．S＝x（20﹣x），（8≤x≤15） B．S＝x（20﹣2x），（2.5≤x≤6） C．S＝x（20﹣x），（2.5≤x≤6） D．S＝x（﹣2x+20），（x≥2.5） 4．如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边OA的距离分别为0.5m，1.5m．若该墙的长度为12m，则最多可以连续绘制这样的抛物线型图案的个数是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 5．函数y＝2x2﹣4x+5的图象如图所示，当﹣2≤x≤2时，函数的最大值为m，最小值为n，则m+n的值是（　　） A．24 B．18 C．16 D．2 6．下面的四个问题中都有两个变量：①一个圆柱的高等于底面半径x，这个圆柱的表面积为y；②x个球队比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次为y；③某产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量为y；④某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，利润为y元．其中，变量y与变量x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条开口向上的抛物线表示的是（　　） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 7．如图，钉子A位于原点，钉子B位于x轴的正半轴上，与钉子A距离为3个单位长度，将一根绳子系在钉子A，B上，自由下垂，近似抛物线，则该抛物线表达式为（　　） A． B． C． D． 8．水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离S与时间t的函数关系如图所示（图为抛物线的一部分，其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　） A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止 C．小球向前滑行的速度不变 D．小球向前滑行的速度越来越大 9．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2，其中AD≥AB．有下列结论： ①S与x之间的函数关系为S＝﹣2x2+30x； ②x的取值范围为2≤x≤10； ③AB的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为100m2； ④矩形菜园ABCD的面积的最大值为． 其中，正确结论是（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 10．如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则a2+c2的最小值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 二．填空题 11．二次函数y3x﹣2的最大值为　 　 ． 12．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 　 　 米． 13．公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，OA高度为0.8米，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与OA水平距离为1米时，达到距水面最大高度1.44米，（不计其他因素）水池的半径至少　 　 米，才能使喷出的水流不致落到池外． 14．太原市迎泽公园的喷泉以其激动人心的表演和世界级的设计而闻名．图1中的一条水柱可以近似看作一条抛物线，建立平面直角坐标系，如图2所示，喷口为点O，水柱的高度y（m）与距喷口的水平距离x（m）之间满足，则该水柱的最大高度为 　 　 m． 15．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为　 　 米． 16．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知OK＝8米．若借助横梁ST（ST∥OK）建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁ST的长度是 　 　 米． 三．解答题 17．某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 18．如图，斜坡AC上种有若干树木，底部有一喷水管BC，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当平面直角坐标系，得到点A（0，2），点B（6，0.5）．已知喷水管BC及所有树木都与OC垂直，抛物线的解析式为． （1）求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标． （2）若抛物线恰好过小树MN的树顶N，点M在斜坡AC上，且点A到M，N两点距离相等，求M点坐标． （3）若DE，MN为两棵等高小树（MN在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合），抛物线恰好经过E，N两点． ①当MN＝1.25时，求DM长； ②直接写出M横坐标m的取值范围． 19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）． （1）当a＝2时，求抛物线顶点坐标； （2）在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当0≤x≤3时，求新的二次函数的最大值与最小值； （3）已知P（x1，y1）和Q（x2，y2），是抛物线上两点，若对于x1＝4a，4≤x2≤5，都有y1＜y2，求a的取值范围． 20．综合与实践 问题情境 “勇闯鹿族”是山西方特的经典项目悬挂过山车．如图，A→B→C→E→F为过山车的一部分轨道，轨道A→B→C和C→E→F可以各自看成一段抛物线，且形状相同，B，E分别为两段轨道的最低点． 建模分析 建立平面直角坐标系，使点A在y轴上，B，E两点在x轴上，其中OA＝16.9米，OB＝13米（轨道厚度忽略不计）． （1）求轨道A→B→C所在抛物线的表达式； （2）已知轨道C→E→F所在抛物线的最低点E的坐标为（33，0），在轨道A→B→C上有两个位置D和C，它们到地面的距离相等，求点D的坐标； 拓展应用 （3）现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，利用某种材料建造水平和竖直支架GP，GM，HQ，HN，且要求MN＝2OM．已知这种材料的价格是5000元/米，直接写出当GP多长时，造价最低，最低造价为多少． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B A D A A D D 二．填空题 11．． 12．． 13．2.5． 14．5． 15．0.5． 16．4． 三．解答题 17．解：（1）设y＝kx+b， 把（30，80），（50，40）代入y＝kx+b中得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+140； （2）设总利润为w元， 由题意得：w＝y（x﹣30） ＝（﹣2x+140）（x﹣30） ＝﹣2x2+200x﹣4200 ＝﹣2（x﹣50）2+800， ∵a＝﹣2＜0，且30≤x≤60， ∴当x＝50时，w最大＝800元， ∴在销售过程中，当销售单价为50元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是800元． 18．解：（1）由题意可得： ∴， ， ∴抛物线方程为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵点B（6，0.5），BC⊥OC，点C在x轴上， ∴C（6，0）， ∵A（0，2），C（6，0）， ∴设y＝kx+2，即0＝6k+2， 解得：， 故直线AC的解析式为， 由题意可得：设，（m＞0）， ∵MA＝NA，MN⊥x轴， ∴点A在MN中垂线上，故yM+yN＝2yA＝4， 解得：， ∴， ∵点N在抛物线上， ∴，整理得：m（3m﹣4）＝0， 解得：m＝0（舍）或，此时， ∴． （3）①令， 则d表示小树高， ∵MN＝DE＝1.25，即d＝1.25， ∴，整理得3x2﹣20x+30＝0， 解得：， ∵MN在DE左侧，故，， ∴． ②设MN＝DE＝d0，则在0＜x＜6上有两解，且m为其中较小解， 即直线d＝d0与抛物线在0＜x＜6上有两交点， 当x＝6时，， 令，得或x＝6（舍去）， ∴， 又， 对称轴为， m为直线d＝d0与抛物线两交点中靠左一点的横坐标，故， 综上，； 19．（1）解：当a＝2时，抛物线的解析式为y＝2x2﹣8x， ∵y＝2x2﹣8x＝2（x2﹣4x）＝2（x﹣2）2﹣8， ∴该抛物线的顶点为（2，﹣8）； （2）解：抛物线的解析式y＝2（x﹣2）2﹣8， 当抛物线向左平移1个单位，抛物线的解析式为y＝2（x﹣2+1）2﹣8， 即y＝2（x﹣1）2﹣8， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， 当0≤x≤3时， 当0≤x≤1时，y随x的增大而减小， 当1≤x≤3时，y随x的增大而增大． x＝3时，二次函数有最大值，最大值为：y＝2×（3﹣1）2﹣8＝0， x＝1时二次函数有最小值，最大值为：﹣8； （3）抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）的对称轴为：直线， 当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴右侧，y随x的增大而增大， 若对于x1＝4a，4≤x2≤5，都有y1＜y2， 则4a＜4， ∴a＜1， ∴0＜a＜1； 当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵对称轴为：直线x＝a， ∴（4a，y1）在抛物线上的对称点为（﹣2a，y1）， 若对于x1＝4a，4≤x2≤5，都有y1＜y2， 则﹣2a＞5， ∴ ∴a的取值范围为：0＜a＜1或． 20．解：（1）由图象可设抛物线解析式为y＝a（x﹣13）2， 把A（0，16.9）代入，得：169a＝16.9， 解得a＝0.1， ∴抛物线A→B→C的函数关系式为y＝0.1（x﹣13）2； （2）∵抛物线C→E→F最低点E的坐标为（33，0），形状与抛物线A→B→C的形状相同， ∴抛物线C→E→F的解析式为y＝0.1（x﹣33）2， ∴联立方程组， ∴． ∴C（23，10）， 由题意知，C，D关于抛物线A→B→C的对称轴对称， ∴D（3，10）； （3）设GP＝OM＝m，则ON＝MN+OM＝OM+2OM＝3OM＝3m， ∴yG＝0.1（m﹣13）2＝0.1m2﹣2.6m+16.9，yH＝0.1（3m﹣13）2＝0.9m2﹣7.8m+16.9， ∴GP+GM+HQ+HN＝m+0.1m2﹣2.6m+16.9+3m+0.9m2﹣7.8m+16.9＝m2﹣6.4m+33.8＝（m﹣3.2）2+23.56， ∵1＞0， ∴当m＝3.2时，GP+GM+HQ+HN最小，最小值为23.56， 23.56×5000＝117800（元）， 答：当GP＝3.2米时，造价最低，最低造价为117800元． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/25 10:55:32；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $