精品解析：天津市第四十一中学2025-2026学年高二上学期10月阶段质量调查数学试题

2025—2026学年度第一学期十月份阶段质量调查 数学试题 一、单选题 1. 过点的直线的斜率等于1，则的值为 A. 1 B. C. 2 D. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，给出下列4条叙述： ①点关于轴的对称点的坐标是； ②点关于平面的对称点的坐标是； ③点关于轴的对称点的坐标是； ④点关于原点的对称点的坐标是． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 135° 4. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与直线平行，则的值是（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 6. 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是点在坐标平面内的射影，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 向量，，，则（ ） A. 9 B. 3 C. 1 D. 9. 直线与直线在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 11. 在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 已知直线与直线垂直，点为垂足，则等于________． 14. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为_______.（用坐标表示） 15. 直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_____ 16. 若异面直线 的方向向量分别是，则异面直线与的夹角的余弦值等于_________． 17. PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，它们之间每两条的夹角都是60°，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为_______________ 18. 若空间中有三点，则到直线的距离为__________；点到平面的距离为__________. 三、解答题 19. 已知的三个顶点为，，，为的中点．求： （1）所在直线的方程； （2）边上中线所在直线的方程； （3）边上的垂直平分线的方程． 20. 已知空间三点，设． （1）若，，求； （2）求与的夹角的余弦值； （3）若与互相垂直，求k． 21. 如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期十月份阶段质量调查 数学试题 一、单选题 1. 过点的直线的斜率等于1，则的值为 A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线的斜率公式计算. 【详解】因为直线的斜率为1，所以，解得； 故选：A． 2. 在空间直角坐标系中，已知点，给出下列4条叙述： ①点关于轴的对称点的坐标是； ②点关于平面的对称点的坐标是； ③点关于轴的对称点的坐标是； ④点关于原点的对称点的坐标是． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于坐标轴对称点的特点可判断①③的正误，利用点关于坐标平面对称点的特点可判断②的正误，利用关于原点的对称点的特点可判断④的正误. 【详解】空间直角坐标系中，点. 对于①，点关于轴对称的点的坐标是，①错误； 对于②，点关于平面对称的点的坐标是，②错误； 对于③，点关于轴对称的点的坐标是，③错误； 对于④，点关于原点的对称点的坐标是，④正确； 综上知，正确的个数是1. 故选：C. 3. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 135° 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，对应的倾斜角为60°. 故选：B 【点睛】本小题主要考查直线倾斜角的求法，属于基础题. 4. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的方程，先求斜率，结合直线的方向向量的定义，即可得到答案． 【详解】解：因为的斜率， 结合选项可知直线的一个方向向量为． 故选：． 5. 若直线与直线平行，则的值是（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行满足的关系即可求解. 【详解】直线与直线平行，故 ， 故选：B 6. 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值. 【详解】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有 故选：C 7. 已知点是点在坐标平面内的射影，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易知平面的法向量，结合线面夹角可得射影的模长. 【详解】易知平面的法向量为， 且，， 则， 即直线与平面的夹角的正弦值为，余弦值为， 则， 故选：A. 8. 向量，，，则（ ） A. 9 B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据先求解出的值，然后表示出的坐标，结合坐标下的模长计算公式求解出结果. 【详解】因为，所以，解得， 则，所以. 故选：A. 9. 直线与直线在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a的符号，分类讨论，利用数形结合思想和排除法能求出结果． 【详解】直线ax+y+a＝0与直线x+ay+a＝0不可能平行，故B错误； 当a＞0时，直线ax+y+a＝0是减函数，直线x+ay+a＝0是减函数，故A错误； 当a＜0时，直线ax+y+a＝0是增函数，与y轴交于正半轴，直线x+ay+a＝0是增函数，与y轴交于负半轴，故C错误．综上，正确答案是a＞0，直线ax+y+a＝0与直线x+ay+a＝0在同一坐标系中的图象可能是D． 故选D． 【点睛】本题考查函数图象的判断，考查直线的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10. 设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解. 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 11. 在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】由于，且是正四棱锥， 故，且侧面均为等边三角形， ， 故，则， 故选：C 12. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，则线段的长度为． 故选：A． 二、填空题 13. 已知直线与直线垂直，点为垂足，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两直线的垂直条件求解参数，再计算代数式即可. 【详解】因为，所以， 因为两条直线垂直，且， 所以，解得，此时， 将代入中，得到， 解得，此时垂足为点，将代入中， 得到，解得， 故. 故答案为： 14. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为_______.（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案. 【详解】因为，所以，所以，则， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 15. 直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_____ 【答案】或 【解析】 【分析】考虑截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程. 【详解】当截距为0时，设， 将代入直线方程，，解得， 故直线的方程为， 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入直线方程，，解得， 故直线的方程为， 故直线的方程为或. 故答案为：或 16. 若异面直线 的方向向量分别是，则异面直线与的夹角的余弦值等于_________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】先分别求出两个方向向量的模长，再利用向量夹角公式求出向量夹角的余弦值，最后取绝对值得出异面直线夹角的余弦值． 【详解】异面直线 的方向向量分别是， ，， ， 异面直线与的夹角， ． 故答案为：． 17. PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，它们之间每两条的夹角都是60°，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为_______________ 【答案】 【解析】 【详解】设直线PC与平面PAB所成的角为，根据三余弦定理得 18. 若空间中有三点，则到直线的距离为__________；点到平面的距离为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根向量夹角的余弦值和同角三角函数基本关系式可以求出第一空，根据点到平面的距离公式即可求出第二问. 【详解】, , 所以， ， 所以 所以 所以 则到直线的距离为 设平面的法向量为， 所以， 令， 解得， 所以， ， 所以点到平面的距离为. 故答案为： . 三、解答题 19. 已知的三个顶点为，，，为的中点．求： （1）所在直线的方程； （2）边上中线所在直线的方程； （3）边上的垂直平分线的方程． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】(1)由点斜式求直线的方程；(2)由条件求的坐标，再求直线所在直线的方程；(3)根据直线垂直时斜率的关系求直线的斜率，再求其方程. 【小问1详解】 ∵ ，， ∴ 直线的斜率， ∴ 直线的方程为，即； 【小问2详解】 ∵ ，，为的中点， ∴ 点的坐标为，又， ∴ 直线的方程为，即； 【小问3详解】 ∵ 直线的斜率，的中点的坐标为， ∴ 边上的垂直平分线的斜率为， 直线的方程为， 20. 已知空间三点，设． （1）若，，求； （2）求与的夹角的余弦值； （3）若与互相垂直，求k． 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可； （2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出； （3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k． 【小问1详解】 因为， 所以，又因为， 所以，又因为， 所以， 因此或； 【小问2详解】 因为 所以与的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 因为与互相垂直， 所以 或. 21. 如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值． 【答案】 （1）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，由点为棱的中点，得． 向量，，故． ∴． （2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明，；（2）向量法：先求平面的法向量，然后利用公式求直线与平面所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面和平面的法向量，再利用公式来求二面角的余弦值． 【详解】（1）略 （2）向量，设为平面的法向量，则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 于是有， ∴直线与平面所成角的正弦值为． （3）， 由点在棱上，故， 由，得，解得，即． 设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量．取平面的法向量，则． 易知，二面角是锐角，∴其余弦值为． 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $