精品解析：广东省清远市博爱学校2025-2026学年高一上学期第一次教学质量检测数学试题

2025-2026学年广东省清远市博爱学校高一（上）第一次质检数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据交集的定义即可求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：A 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论． 【详解】命题，，为全称量词命题， 则该命题的否定为：，. 故选：C． 3. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意由得出或，然后根据充分和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由得或， 所以由可以得到，但由不一定得到， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 某校高一（9）班共有49名同学，在学校举办的书法竞赛中有24名同学参加，在数学竞赛中有25名参加，已知这两项都参赛的有12名同学，在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为（ ） A. 10 B. 1 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】先求出参加比赛的同学人数，再用总人数减去参加比赛的人数，得到没有参加过比赛的同学人数. 【详解】根据容斥原理，参加比赛的同学人数等于参加书法竞赛的人数加上参加数学竞赛的人数减去两项都参加的人数， 即名. 所以该班没有参加过比赛的同学人数为. 故选：C. 5. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，下面能符合这一事实的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】下列不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，利用溶液的浓度计算公式即可得出结论． 【详解】解：依题意糖水变甜即糖的浓度增大，因此正确． 故选：． 6. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【详解】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 7. 某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元（包含门窗），房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，则最低总造价是（ ） A. 57600元 B. 63400元 C. 69200元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，由题意得出，然后根据题意得出关于的函数表达式，利用基本不等式可求出的最小值. 【详解】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，则，即， 所以 . 当时，即当时，有最小值，最低总造价为元. 故选：B 8. 已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题得，再利用基本不等式求解. 【详解】解：由可知， ， 当，即时，“”成立， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列结论不正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据，，及的范围，对各选项进行判定即可． 【详解】表示实数集，故，故A正确； 表示有理数集，，故B错误； 表示正整数集，，故C错误； 表示整数集，，故D正确． 故选：BC 10. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项逐一求解. 【详解】由于不等式的解集为， 所以和是的两个实数根， 所以，故， ，故AB正确， 对于C,不等式为，故，故C错误， 对于D, 不等式可变形为， 解得，故D正确， 故选：ABD 11. 设正实数x，y满足，则（    ） A. xy的最大值是 B. 的最小值是9 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式依次分析各选项即可得答案. 【详解】因为正实数x，y满足， A中，可得，可得，当且仅当，即，时取等号， 所以xy的最大值为，所以A不正确； B中，， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为9，所以B正确； C中，因为，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，所以C正确； D中，因为，所以， 当且仅当，即，时取等号，D错误． 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等求参再检验即可. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，与集合中元素的互异性矛盾，故不符合题意. 经检验可知符合. 故答案为：-1. 13. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，化分式为整式结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】由可得，即， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 设矩形（）的周长为20，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点P，设，则的最大面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，由图形对称可得，，在中，由勾股定理可得，求出，利用基本不等式求出最值. 【详解】设，由题可得，则， 又，，，， 在中，，即， 解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知， （1）若时，求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）利用集合的并集定义代入计算即可; （2）求出集合，利用集合包含关系，分类讨论和两种情况，列出关于m的不等式，求解可得答案. 【详解】（1）当时，，则 即． （2）或，由，可分以下两种情况： ①当时，，解得： ②当时，利用数轴表示集合，如图 由图可知或，解得； 综上所述，实数m的取值范围是：或， 即 【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：是任何集合的子集，所以要分集合和集合两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题. 16. 已知实数，满足，． （1）求实数，的取值范围； （2）求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）用已知式子表示，利用不等式的性质求解范围即可； （2）用已知式子表示，利用不等式的性质求解范围即可. 【小问1详解】 由，， 所以， 即， 所以， 即实数的取值范围为． 因为， 由，所以，又， 所以， 所以， 即， 即实数的取值范围为． 【小问2详解】 设， 则，解得， ， ，． ，， ∴， 即的取值范围为． 17. （1）已知，求的最小值； （2）已知x，y是正实数，且，求的最小值. 【答案】（1）7；（2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式求出和的最小值. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为7. （2）正实数满足， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 18. 设命题p:对任意，不等式恒成立；命题q:存在，使得不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p与命题q中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）的取值范围； （2）m的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）求出即可，由函数单调性求出，故，解不等式得到答案； （2）求出为真命题时的，进而分为真命题，为假命题或为假命题，为真命题两种情况，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为为真命题，所以对任意，不等式恒成立，只需， 其中在上单调递增，故， 所以，解得，所以的取值范围； 【小问2详解】 若为真命题，即存在，使得不等式成立，则， 其中，而，故时，， 所以，故； 因为命题p与命题q中有且只有一个是真命题， 所以为真命题，为假命题或为假命题，为真命题， 若为真命题，为假命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则或，所以. 综上，或， 所以m的取值范围为. 19. 定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； （1）求集合的生成集B； （2）若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； （3）若集合，A的生成集为B，求证. 【答案】（1） （2）或 （3）证明：， ， ，  ， ， 设任意，取，则，所以， 则， 所以； 所以 【解析】 【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出； （2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值； （3）求出的范围即可证明出结论 【小问1详解】 由题可知， (1)当时， ， (2) 当时，， （3）当或时， 所以 【小问2详解】 （1）当时，， （2）当时， （3）当或时， B的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或 或 ， 解得或（舍去）, 所以或. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省清远市博爱学校高一（上）第一次质检数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某校高一（9）班共有49名同学，在学校举办的书法竞赛中有24名同学参加，在数学竞赛中有25名参加，已知这两项都参赛的有12名同学，在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为（ ） A. 10 B. 1 C. 12 D. 13 5. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，下面能符合这一事实的不等式为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元（包含门窗），房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，则最低总造价是（ ） A. 57600元 B. 63400元 C. 69200元 D. 元 8. 已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列结论不正确的是（    ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 设正实数x，y满足，则（    ） A. xy的最大值是 B. 的最小值是9 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则__________. 13. 不等式的解集为______． 14. 设矩形（）的周长为20，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点P，设，则的最大面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知， （1）若时，求； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知实数，满足，． （1）求实数，的取值范围； （2）求的取值范围． 17. （1）已知，求的最小值； （2）已知x，y是正实数，且，求的最小值. 18. 设命题p:对任意，不等式恒成立；命题q:存在，使得不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p与命题q中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 19. 定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； （1）求集合的生成集B； （2）若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； （3）若集合，A的生成集为B，求证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $