精品解析：贵州省毕节市威宁民族中学2025-2026学年上学期九年级上册数学第一次月考卷

九年级数学（上）第一次月考卷 一、选择题(本大题共 12 题，每题 3 分，共 36 分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟记一元二次方程的概念是解题关键． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】A、方程中的不是整式，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意； B、方程含有2个未知数，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意； C、方程满足一元二次方程的定义，此项符合题意； D、是一元三次方程，此项不符题意； 故选择：C． 2. 如图，在菱形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，菱形的邻角互补求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角，菱形的邻角互补是解题的关键． 3. 正方形是轴对称图形,它的对称轴共有(　 　) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】正方形的对称轴是两对角线所在的直线，两对边中点所在的直线，对称轴共4条． 故选D． 4. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程， 先移项，再两边都加上一次项系数一半的平方即可. 【详解】解：， 移项，得， 两边都加上16，得， 即. 故选：A. 5. 下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解一元二次方程的方法依次进行判断即可． 【详解】解：适合用公式法，故A选项不符合题意； 适合用因式分解法，故B选项符合题意； 适合用公式法，故C选项不符合题意； 适合用直接开平方法，故D选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 6. 如图，将长方形纸片折叠，使A点落在 上 的F 处，折痕为， 若 沿 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ） A. 有一组邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定定理，矩形的性质，解题的关键是掌握邻边相等的矩形是正方形；由矩形的性质可得，由折叠可知，， ，即可证明四边形是正方形． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠可知，， ， ∴四边形是正方形， 故选：． 7. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 四个角都相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质内容，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、矩形、正方形四个角都相等，但菱形不具有，故该选项是错误的； B、平行四边形对角线互相平分，矩形、菱形、正方形是平行四边形，故该选项是正确的； C、正方形、菱形对角线互相垂直，但矩形不具有，故该选项是错误的； D、矩形、正方形对角线都相等，但菱形不具有，故该选项是错误的； 故选：B 8. 已知是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=-1，利用通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵是方程的两个根，即x2-2x-1=0的两个根， ∴x1+x2=2，x1x2=-1， ∴==-2， 故选D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 9. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，，则矩形的边的长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出是等边三角形是解题的关键．根据矩形的对角线相等且互相平分可得，由，判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， 故选：A． 10. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得点，之间的距离为，点，之间的距离为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，交于点O，过点D作于点F，过点B作于点G，证明四边形是菱形；利用勾股定理解答即可；本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】连接，交于点O，过点D作于点F，过点B作于点G， 根据平行线间的距离处处相等，得到， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形； ∴； ∴； 故选：A． 11. 如图，在 中，于点 E，，且 a 是方程的一个根，则的周长为 （ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，以及平行四边形的性质和周长计算，解题的关键是熟练掌握利用因式分解求解一元二次方程．先解一元二次方程求出a，再使用勾股定理求得，从而计算平行四边形的周长． 【详解】解：∵a是一元二次方程的根， ∴， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴的周长为． 故选：D． 12. 如图①，在菱形中，，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图②所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，函数的图象，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握菱形的性质和通过函数图象获取信息．过点作交于点，设菱形的边长为，求出，结合函数图象得出，解方程即可． 【详解】解：如图，过点作交于点，设菱形的边长为， 在菱形中，，， 在中，， ∴， ∴ 由图2得 解得，（负值已舍去）， 所以，的长度为， 故选：B． 二、填空题(共 4 题，每题 4 分，共 16 分) 13. 若m是方程的一个根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 14. 如图，利用一面墙(墙长20米) ，用总长度为43米的篱笆(图中实线部分)围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个1米的小门，若矩形鸡舍的面积为150平方米，设篱笆的长为x，则可列方程为__________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．设米，则米．根据矩形鸡舍的面积为150平方米，即可得出关于的一元二次方程，解出即可． 【详解】解：设篱笆的长为x，由篱笆的全长43米可得， 米， 又矩形鸡舍面积为150平方米， 列出方程得． 故答案为：． 15. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程Max{x，-x}=x2-2的解为______． 【答案】2或-2． 【解析】 【分析】分类讨论x与−x的范围，利用题中的新定义方程的解即可． 【详解】当x＞−x，即x＞0时，方程为x＝x2-2， 解得：x1＝-1, x2＝2, ∴x=2， 当x＜−x，即x＜0时，方程为−x＝x2-2， 解得：x1＝1, x2＝-2， ∴x=-2， 故答案为2或-2． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程求解． 16. 如图，正方形的边长为8，M为线段上一动点，于点P，于点Q，则长的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，掌握矩形的判定与性质是解题的关键．连接，首先根据勾股定理解得的值，证明四边形是矩形，可得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为边长为8的正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 当时，最小，则最小， 此时， 即， 解得， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题(本大题共 9 题，共 94 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 解下列方程： （1） （2） （用配方法解） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （3）利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （4）先移项，再利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． 【小问1详解】 解： 则， 解得； 【小问2详解】 ∴ ， ∴； 【小问3详解】 或， 解得 【小问4详解】 ∴ 或， 解得，． 18. 如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AC＝4，CD＝3．求直角边BC的长． 【答案】2 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∴AB＝2CD＝6， 由勾股定理得，BC＝＝＝2． 【点睛】此题主要考查勾股定理的运用，解题的关键是熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 19. （1）比较与的大小，选填“”“”或“”： ①当时，________； ②当时，________； ③当时，________； （2）无论 m 取何值，判断与有怎样的大小关系？试说明理由． 【答案】（1）①；②；③； （2）解：无论取什么值，，理由如下： ， 无论取什么值，总有． 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点有不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有． 【详解】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）略 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）当时该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，求该矩形对角线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根则代入即可得出m的取值范围． （2）把代入，得出一元二次方程，然后利用因式分解法解出矩形的长和宽，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：当时，原方程为， 该方程的两个实数根为，， ∴矩形的长为8，宽为2． 则矩形的对角线长为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，以及矩形的性质和勾股定理等知识． 21. 如图，在中，对角线与相交于点 O ，．若，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质．根据已知条件得出，即可证明平行四边形是菱形，得到，在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形， ，， ∴， ， 在中，， ， ， ，即的面积为． 22. 如图， 正方形的对角线相交于点O，作，交于点E，求证：四边形为正方形． 【答案】 证明：∵正方形的对角线相交于点O， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， 四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，由正方形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明四边形是正方形． 【详解】略 23. 刺梨是贵州的特产，有补充维生素、健胃、祛痰、消肿止痛、清热解暑等功效与作用．某刺梨种植基地在网上直播销售，试销发现：同样的品质下，当每箱刺梨的售价为60元时，每天可卖出120箱．由于水果不易储存，该基地决定降价促销，当每箱售价每降低1元时，每天的销量增加10箱．已知每箱刺梨的成本为44元． （1）如果每箱降价x元，那么每天的销量为________箱，降价后每箱的利润为________元； (用含 x 的式子表示) （2）若该直播间想每天销售刺梨获利1800元，每箱应降价多少元？ 【答案】（1）， （2）每箱应降价6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键． （1）每箱降价x元，根据每箱售价每降低1元时，每天的销量增加10箱，则销量为箱，再根据每箱的利润等于售价成本，即可解答； （2）根据每箱的利润与箱数的乘积等于总利润，列出一元二次方程，解之即可． 【小问1详解】 解：设每箱降价x元， 根据题意，那么每天的销量为箱，降价后每箱的利润为元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得， 解得（舍去）； 答：每箱应降价6元． 24. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形． （2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长． 【答案】 （1）证明：四边形是菱形， ， 在中，是的中点， ， ， ， OG∥EF 四边形是平行四边形， EF⊥AB， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对角线平分对角，可得,又是的中点，，则，可得，即可得，进而可得，进而可得四边形是矩形； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得，根据勾股定理在中求得，根据四边形是矩形进而求得，根据即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）,是的中点， 在中,是的中点， EF⊥AB， 在中， 四边形是菱形， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握特殊四边形的性质和判定是解题的关键． 25. 【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题． 【初步探究】如图 1 ，在正方形中，点 E，F 分别在边上，连接．若，将绕点A 顺时针旋转 ．点 D 与点B 重合，得到 易证：． （1）根据以上信息，填空：① ° ； ②线段之间满足的数量关系为 ； 【迁移探究】（2）如图 2 ，在正方形 中，若点 E 在射线上，点 F 在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】（3）如图 3 ，已知正方形的边长为，连接分别交于点 M 、N ，若点 M 恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】（1）45； （2），理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）2.5 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得，再根据旋转得，可知点G，B，E共线，即可说明，然后根据“边角边”证明，可得答案； （2）在上截取，连接，根据“边角边”可得， 接下来说明，即可得出答案； （3）将绕点A顺时针旋转得到，连接，先根据正方形的性质及勾股定理求出，进而求出，再根据旋转的性质得，即可说明，得，然后设，则，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴． 将绕点A旋转，点D与点B重合，得到， 则， ∴点G，B，E共线． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45；； （2）略 （3）将绕点A顺时针旋转得到，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 由旋转，得， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则． 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（上）第一次月考卷 一、选择题(本大题共 12 题，每题 3 分，共 36 分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在菱形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 正方形是轴对称图形,它的对称轴共有(　 　) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 4. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，将长方形纸片折叠，使A点落在 上 的F 处，折痕为， 若 沿 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ） A. 有一组邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 7. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 四个角都相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 8. 已知是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. －2 9. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，，则矩形的边的长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 10. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得点，之间的距离为，点，之间的距离为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在 中，于点 E，，且 a 是方程的一个根，则的周长为 （ ） A. B. C. 或 D. 12. 如图①，在菱形中，，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图②所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(共 4 题，每题 4 分，共 16 分) 13. 若m是方程的一个根，则的值为_________． 14. 如图，利用一面墙(墙长20米) ，用总长度为43米的篱笆(图中实线部分)围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个1米的小门，若矩形鸡舍的面积为150平方米，设篱笆的长为x，则可列方程为__________________ ． 15. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程Max{x，-x}=x2-2的解为______． 16. 如图，正方形的边长为8，M为线段上一动点，于点P，于点Q，则长的最小值是__________． 三、解答题(本大题共 9 题，共 94 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 解下列方程： （1） （2） （用配方法解） （3） （4） 18. 如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AC＝4，CD＝3．求直角边BC的长． 19. （1）比较与的大小，选填“”“”或“”： ①当时，________； ②当时，________； ③当时，________； （2）无论 m 取何值，判断与有怎样的大小关系？试说明理由． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）当时该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，求该矩形对角线的长． 21. 如图，在中，对角线与相交于点 O ，．若，求的面积． 22. 如图， 正方形的对角线相交于点O，作，交于点E，求证：四边形为正方形． 23. 刺梨是贵州的特产，有补充维生素、健胃、祛痰、消肿止痛、清热解暑等功效与作用．某刺梨种植基地在网上直播销售，试销发现：同样的品质下，当每箱刺梨的售价为60元时，每天可卖出120箱．由于水果不易储存，该基地决定降价促销，当每箱售价每降低1元时，每天的销量增加10箱．已知每箱刺梨的成本为44元． （1）如果每箱降价x元，那么每天的销量为________箱，降价后每箱的利润为________元； (用含 x 的式子表示) （2）若该直播间想每天销售刺梨获利1800元，每箱应降价多少元？ 24. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形． （2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长． 25. 【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题． 【初步探究】如图 1 ，在正方形中，点 E，F 分别在边上，连接．若，将绕点A 顺时针旋转 ．点 D 与点B 重合，得到 易证：． （1）根据以上信息，填空：① ° ； ②线段之间满足的数量关系为 ； 【迁移探究】（2）如图 2 ，在正方形 中，若点 E 在射线上，点 F 在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】（3）如图 3 ，已知正方形的边长为，连接分别交于点 M 、N ，若点 M 恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $