精品解析：江苏省徐州市新沂市马陵山中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

马陵山中学九年级数学2025-2026-1第一次考试 一、选择题（3分×8=24分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是 A. 点A在圆外 B. 点A在圆上 C. 点A在圆内 D. 不能确定 5. 某公司2007年缴税60万元，2009年缴税80万元，设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，则得到方程（ ） A. 60＋2x=80 B. 60（x＋1）＝80 C. 60＝80 D. 60=80 6. 如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的弦，且，则的半径等于（　　） A. 8 B. 4 C. 10 D. 5 8. 已知是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 二、填空题（3分×10=30分） 9. 一元二次方程的一次项系数是________． 10. 方程的根为__________ 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 12. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为________． 13. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，若∠ABD＝36°，则∠C的度数是______． 14. 若m是方程的一个根，则代数式的值是________． 15. 如图，是的直径，点C、D在上，若则__________ 16. 用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为_____________． 17. 已知两边长分别是和，则它的外接圆的半径是___________． 18. 如图，是的弦，点P为优弧上的一点，的平分线交于点，则在点P运动的过程中，长的最大值为________． 四、解答题（19、20每小题5分，本大题共86分） 19. （1）解方程：． （2）解方程： 20. （1）解方程： （2）解方程：． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求m的值及方程的另一根； （2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 23. 如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？ 24. （1）作出的外接圆 （2）连接，如果，则________ 25. 如图所示，是的直径，是的弦，的平分线交于点．若，，求的长． 26. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现：售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元． 27. 如图，是的内接三角形． （1）尺规作图：在图①中，求作的中点．（保留作图痕迹） （2）用无刻度的直尺：在图②中，画一个与互补的圆周角； （3）用无刻度的直尺：在图③中，画一个与互余的圆周角．并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马陵山中学九年级数学2025-2026-1第一次考试 一、选择题（3分×8=24分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念即可解答． 【详解】含有两未知数，故A选项错误； 含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，故B选项正确； 未知数的最高次为1，故C选项错误； 是分式方程，故D选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握其概念是解题的关键． 2. 一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的配方方法，关键是一次项系数一半的平方． 通过移项和配方，将方程转化为完全平方形式． 【详解】解： 移项得：， 配方：两边加上一次项系数一半的平方，即， ∴， 即， 故选 D． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：, 方程有两个不相等的两个实数根 故选：A 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根；解题关键是掌握一元二次方程根的判别式． 4. 若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是 A. 点A在圆外 B. 点A在圆上 C. 点A在圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可． 【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm， ∴d＜r， ∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内， 故选C． 5. 某公司2007年缴税60万元，2009年缴税80万元，设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，则得到方程（ ） A. 60＋2x=80 B. 60（x＋1）＝80 C. 60＝80 D. 60=80 【答案】D 【解析】 【分析】对于增长率的问题的基本公式为：增长前的数量×(1+增长率)=增长后的数量，据此进行求解即可． 【详解】设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，由题意，得 60=80， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，弄清题意，找准等量关系，准确列出方程是解题的关键． 6. 如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，即同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，熟记该定理是解题的关键． 7. 如图，的弦，且，则的半径等于（　　） A. 8 B. 4 C. 10 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理求出长，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ∵的弦，过O， ∴， ∴由勾股定理得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦． 8. 已知是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系：，，先把代入，得出，据此计算即可解答． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， 把代入， 则，即， 故 ， 故选：C． 二、填空题（3分×10=30分） 9. 一元二次方程的一次项系数是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式及概念，解题的关键是熟记：一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做一次项系数，叫做常数项． 根据一元二次方程的一般形式，即可解答． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 10. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为： 1． 12. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可，设是一元二次方程的两个根，则，． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴． 故答案为：4． 13. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，若∠ABD＝36°，则∠C的度数是______． 【答案】72° 【解析】 【分析】根据等腰三角形和已知条件得出∠ADB＝∠ABD＝36°，根据三角形内角和定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再求出答案即可． 【详解】解：∵AB＝AD，∠ABD＝36°， ∴∠ADB＝∠ABD＝36°， ∴∠A＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝108°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠C+∠A＝180°， ∴∠C＝180°﹣108°＝72°， 故答案为：72°． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：圆内接四边形的对角互补． 14. 若m是方程的一个根，则代数式的值是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键；根据一元二次方程的根的定义可得，再整体代入求解即可． 【详解】解：m是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：8． 15. 如图，是的直径，点C、D在上，若则__________ 【答案】##32度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角是相等的，直径所对的圆周角是90度，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的直径 ∴ ∵ ∴ 则在中， 故答案为： 16. 用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】矩形的一边长为xcm，则另一边长为， 因为矩形的面积为64cm2， 所以，． 故答案为：． 17. 已知两边长分别是和，则它的外接圆的半径是___________． 【答案】或##4cm或5cm 【解析】 【分析】分为直角边和为斜边两种情况，结合直角三角形的外接圆半径为斜边长的一半和勾股定理求解即可． 【详解】解：若为直角边时，则斜边长为，则的外接圆的半径是， 若为斜边长时，的外接圆的半径是， 综上，的外接圆的半径是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查直角三角形的外接圆、勾股定理，熟知直角三角形的外接圆半径为斜边长的一半，本题容易忽视对边的讨论而导致错误，故需分类讨论进行求解． 18. 如图，是的弦，点P为优弧上的一点，的平分线交于点，则在点P运动的过程中，长的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，由题意得出当为的直径时，的长最大是解答的关键．先根据圆周角定理和垂径定理，结合弧和弦的关系证明是等边三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质求解可得答案． 【详解】解：根据题意，当为的直径时，的长最大，如图，连接， 的平分线交于点Q，， ， ， 为的直径， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在点P运动的过程中，长的最大值为， 故答案为：． 四、解答题（19、20每小题5分，本大题共86分） 19. （1）解方程：． （2）解方程： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法求解即可； （2）先对方程左边因式分解，再求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 或， 解得：； （2）， ， 解得：． 20. （1）解方程： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用配方法进行求解即可； （2）利用因式分解进行求解方程即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）， ， ∴或， 解得：． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求m的值及方程的另一根； （2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），另一个根是 （2） 证明：依题得 不论取何值， 不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的意义，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程解的意义，将代入原方程即可求得的值，设另一根为，根据根与系数的关系可得，进而求得另一根； （2）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【小问1详解】 解：把代入 得，解得： 设另一根为， 则，即 另一个根是． 【小问2详解】 略 23. 如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？ 【答案】围成矩形的长为8m、宽为6m 【解析】 【详解】试题分析：设宽为xm，则长为（20﹣2x）m，然后根据48平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题． 解：设宽为x m，则长为（20﹣2x）m． 由题意，得 x•（20﹣2x）=48， 解得 x1=4，x2=6． 当x=4时，20﹣2×4=12＞9（舍去）， 当x=6时，20﹣2×6=8． 答：围成矩形的长为8m、宽为6m． 考点：一元二次方程的应用． 24. （1）作出的外接圆 （2）连接，如果，则________ 【答案】（1）如图即为所求， （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是解题的关键； （1）分别作的垂直平分线，交点即为圆心O，再以为半径画圆即可； （2）根据圆周角可得，再根据等腰三角形的性质即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ， ， ， ， 故答案为：． 25. 如图所示，是的直径，是的弦，的平分线交于点．若，，求的长． 【答案】8； 【解析】 【分析】根据直径得出，根据勾股定理求出的长度；根据角平分线的定义可得，然后求出，再根据等腰直角三角形的性质其解即可． 【详解】解：连接，如下图所示， ∵是的直径， ∴， 在中，，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即． 【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是求出． 26. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现：售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元． 【答案】（1） （2）3元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； 【小问1详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 27. 如图，是的内接三角形． （1）尺规作图：在图①中，求作的中点．（保留作图痕迹） （2）用无刻度的直尺：在图②中，画一个与互补的圆周角； （3）用无刻度的直尺：在图③中，画一个与互余的圆周角．并说明理由． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求， （2） 如图所示，即为所求 （3） 如图所示，连接并延长交于点，则即为所求， 理由如下， ∵是的内接三角形． ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴，有，则即为所求． 【解析】 【分析】（1）过点作的垂直平分线交于点，则点即为所求； （2）在劣弧上任取一点，连接，则即为所求； （3）连接并延长交于点，则即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是圆内接四边形， ∴ 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了作垂直平分线，三角形的外心的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $