精品解析：江西省景德镇市乐平市第三中学等校2025-2026学年高三上学期10月期中联考数学试题

高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､一元函数的导数及其应用､三角函数与解三角形. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（ ） A. B. C. 菱形的对角线互相垂直平分 D. 到之间至少有两个质数 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数且在上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 6. 为了测量某古塔（点为塔顶，点为在地平面上的射影）的高度，小张遥控无人机从地平面垂直向上飞行10米后，无人机悬停在古塔外面的处进行拍摄，拍到观测塔顶的仰角为，然后小张遥控无人机朝着水平方向（即垂直于直线的方向）沿直线飞行6米到达处，且距离比距离更远（四点共面），最后小张遥控无人机沿着直线朝着塔顶飞了14米恰好到达塔顶.若将无人机视为质点，则该古塔的高度约为（ ） A. 16.6米 B. 17.3米 C. 18.7米 D. 19.2米 7. 已知函数，则“”是“有4个极值点”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知表示不超过的最大整数，.若，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. C. 当时， D. 曲线在点处的切线方程为 10. 以下关系式能构成关于的函数的是（ ） A. B. C. D 11. 若定义在上的函数的图象存在对称中心，且该函数的最大值与最小值的差不大于1，则称该函数是“狭窄中心对称函数”.下列结论正确的是（ ） A. “狭窄中心对称函数” B. 若是“狭窄中心对称函数”，则可能也是“狭窄中心对称函数” C. 是“狭窄中心对称函数” D. 若是“狭窄中心对称函数”，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若定义在上的函数满足，则______. 13. 若函数在上单调递增，则的取值范围是__________. 14. 若不等式对恒成立，则的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 将函数的图象向下平移1个单位长度，再将所得图象每个点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变），得到函数的图象，且的部分图象如图所示. （1）求； （2）求的解析式与值域； （3）求曲线的对称轴方程. 16. 已知函数. （1）若直线与直线交于点，与的图象交于点，求的最小值； （2）设函数的定义域为的定义域为，且，求的取值集合. 17. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）讨论零点的个数； （3）若有4个零点，判断是否为定值，并说明你的理由. 18. 在中，分别是角对边，，且. （1）求. （2）设是线段的中点，在线段上，且. ①求面积的最小值； ②求线段的长度的最小值. 19. 已知函数. （1）求函数的极值点，并判断与是否有相等的极小值点或相等的极大值点，说明你的理由. （2）设函数的图象上存在两点满足以为直径的圆过原点，且该圆的圆心在轴上. （i）证明：两点在直线的两侧. （ii）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､一元函数的导数及其应用､三角函数与解三角形. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合，根据并集的概念计算即可. 【详解】易知，， 即. 故选：D 2. 下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（ ） A. B. C. 菱形的对角线互相垂直平分 D. 在到之间至少有两个质数 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题与存在性量词命题定义，以及真假判定方法，逐项分析，即可求解. 【详解】对于A，命题“”为全称量词命题，所以A不符合题意； 对于B，方程，因为，所以方程在无解， 所以命题“”为假命题，所以B不符合题意； 对于C，命“菱形的对角线互相垂直平分”，即所有菱形的对角线互相平分， 所以命题为全称量词命题，所以C不符合题意； 对于D，在到之间有三个质数，分别为， 故在到之间至少有两个质数，为存在性量词命题且为真命题，所以D符合题意. 故选：D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题求出，利用两角差的正切公式求解. 【详解】由，得，又， 故选：D. 4. 若函数且在上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要使函数在上为减函数，须满足分段函数在各段上单调递减，结合端点处需要满足的条件，列出不等式组，求解即可. 【详解】当时，单调递减须满足，解得， 当时，单调递减须满足， 且； 所以要使函数在上为减函数，须满足 ，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 5. 若，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的代换技巧求解即可. 【详解】由题意，， 故 ， 当且仅当且时等号成立，联立解得 所以的最小值为. 故选：B 6. 为了测量某古塔（点为塔顶，点为在地平面上的射影）的高度，小张遥控无人机从地平面垂直向上飞行10米后，无人机悬停在古塔外面的处进行拍摄，拍到观测塔顶的仰角为，然后小张遥控无人机朝着水平方向（即垂直于直线的方向）沿直线飞行6米到达处，且距离比距离更远（四点共面），最后小张遥控无人机沿着直线朝着塔顶飞了14米恰好到达塔顶.若将无人机视为质点，则该古塔的高度约为（ ） A. 16.6米 B. 17.3米 C. 18.7米 D. 19.2米 【答案】C 【解析】 【分析】通过设未知数，利用三角函数关系和勾股定理建立方程，进而求解古塔的高度. 【详解】 设在地面的射影为，作，根据题意易知, 设， 在中，， 根据锐角三角函数：，则. 在中，， 根据勾股定理，则有， 化简得，解得或（舍去） 所以，所以古塔高度约为米. 故选：C. 7. 已知函数，则“”是“有4个极值点”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求的导数，设，则 等价于，又这个方程的解对应，每个正的值会对应两个值，只对应一个，设的两个根为，要满足有4个极值点，则有，再求这个不等式组的解，这个解就是有4个极值点的的范围，即可得解. 【详解】，，设， 等价于， 这个方程的解对应，每个正的值会对应两个值，只对应一个， 设的两个根为， 有 4个极值点，， 当时，，，或， 当时，，，， 当时，，对应恒成立， ，， “”是“有4个极值点”的充要条件. 故选：A. 8. 已知表示不超过的最大整数，.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，由对数和指数的运算性质可得. 【详解】因为，所以，则， 又，则，所以， 所以，则，所以， 因为，，则， 因为，则两边同取根号得， 所以，则， 所以，则， 因为，，即，所以，即， 综上，. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. C. 当时， D. 曲线在点处的切线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】化简函数，通过奇函数的定义求证判断A；求出判断B；化简，结合基本不等式判断C；化简函数，求导，利用点斜式求方程判断D. 【详解】对于A，设，定义域为， 则，故为奇函数，A正确； 对于B，，则， 故，B错误； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，C正确； 对于D，设，则，则， 则曲线在点处的切线方程为，即，D错误. 故选：AC 10. 以下关系式能构成关于的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数的定义，即可判断出AC选项，结合对数式的化简运算与函数的定义即可判断出BD选项. 【详解】对于A选项：,当时，一个有两个与之对应，不满足函数的定义，故A错误； 对于B选项：，满足函数的定义，故B正确； 对于C选项：，满足函数的定义，故C正确； 对于D选项：，，或，满足函数的定义，故D正确. 故选：BCD 11. 若定义在上的函数的图象存在对称中心，且该函数的最大值与最小值的差不大于1，则称该函数是“狭窄中心对称函数”.下列结论正确的是（ ） A. 是“狭窄中心对称函数” B. 若是“狭窄中心对称函数”，则可能也是“狭窄中心对称函数” C. 是“狭窄中心对称函数” D. 若是“狭窄中心对称函数”，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：借助三角恒等变换公式可将化简，结合余弦函数性质可得该函数的图象存在对称中心，且可得其最大、最小值，又该函数定义域为，即可得解；对B：举出符合要求的例子如即可得；对C：计算出该函数存在大于与小于的函数值即可得；对D：借助三角恒等变换及导数可得的单调性及其最值，结合定义计算即可得解. 【详解】对A： ， 由函数是中心对称函数，故也是中心对称函数， 又，则，， 即，其定义域为， 故是“狭窄中心对称函数”，故A正确； 对B：假设为常函数，则， 由的图象存在对称中心，且最大值与最小值的差为， 故“狭窄中心对称函数”，故是“狭窄中心对称函数”时， 则可能也是“狭窄中心对称函数”，故B正确； 对C：当时，， 当时，， 则该函数的最大值与最小值的差一定大于， 故不是“狭窄中心对称函数”，故C错误； 对D：由， 则， 有， 且定义域为，故存在对称中心， 令，则， 令，，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 又，， 故，则，又存在对称中心， 则，又是“狭窄中心对称函数”，则， 解得，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若定义在上的函数满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法直接求解即可. 【详解】对于，令得，解得. 故答案为： 13. 若函数在上单调递增，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据定义域，求得的范围，根据余弦函数的单调性，可得，列出不等式组，分析计算即可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为的单调递增区间为， 所以， 所以，解得，， 因为且存在，所以， 解得，由，得， 所以，即的取值范围是. 14. 若不等式对恒成立，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】问题转化为对恒成立，令，利用导数求出的范围，转化为，对恒成立，令，利用导数求出的最小值，得解. 【详解】不等式在上恒成立，等价于对恒成立， 令，则，令，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以，即，得， 又时，，故， 原问题转化为，对恒成立， 令，则，其中， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， ， 所以，即的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 将函数的图象向下平移1个单位长度，再将所得图象每个点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变），得到函数的图象，且的部分图象如图所示. （1）求； （2）求的解析式与值域； （3）求曲线的对称轴方程. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由图象及正弦型函数的性质结合“五点法”求解； （2）由图象的变换直接得解析式，由解析式求值域； （3）逆用两角差的正弦公式化简后，利用正弦型三角函数的对称轴求解. 【小问1详解】 由图可知，，则， 因为，所以， 则， 又，所以. 小问2详解】 由（1）知，， 由图象变换可知，， 因为， 所以， 所以的值域为. 【小问3详解】 ， 令，解得， 即曲线的对称轴方程为. 16. 已知函数. （1）若直线与直线交于点，与的图象交于点，求的最小值； （2）设函数的定义域为的定义域为，且，求的取值集合. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件得出点，点，再计算得出，最后求导得出最值； （2）先解对数不等式计算得出集合，再应用得出是的子集，进而得出不等式恒成立即可求解. 【小问1详解】 直线与直线交于点， 直线与的图象交于点， 所以，设，单调递增， 令，单调递减；单调递增； 所以； 【小问2详解】 因为函数，所以， 则的定义域为，因为，所以是的子集， 函数的定义域为，，则成立， 因为在上均单调递增，则单调递增，所以成立，所以. 所以的取值集合. 17. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）讨论零点的个数； （3）若有4个零点，判断是否为定值，并说明你的理由. 【答案】（1）单调递增区间为：，；单调递减区间为：，. （2）①当时，无零点；②当时，有1个零点；③当或时，有2个零点；④当或时，有3个零点；⑤当时，有4个零点. （3），理由见解析. 【解析】 【分析】（1）讨论的正负号，即可去掉绝对值，再由二次函数的性质求出答案； （2）讨论的正负号，即可求出答案； （3）由二次函数的对称性即可求出的值. 【小问1详解】 ①当即或时，，二次函数开口向下，对称轴为，在区间上单调递增，在区间上单调递减； ②当即时，，二次函数开口向上，对称轴为，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以的单调递增区间为：，；单调递减区间为：，. 【小问2详解】 由（1）知， , ①当即时，无零点； ②当即时，有1个零点； ③当即时，有2个零点； ④当即时，有3个零点； ⑤当即时，有4个零点； ⑥当即时，有3个零点； ⑦当即时，有2个零点； 综上所述：①当时，无零点； ②当时，有1个零点； ③当或时，有2个零点； ④当或时，有3个零点； ⑤当时，有4个零点. 【小问3详解】 由（2）知，当时，有4个零点，不妨设， 由二次函数的对称性可知 所以. 18. 在中，分别是角的对边，，且. （1）求. （2）设是线段的中点，在线段上，且. ①求面积的最小值； ②求线段的长度的最小值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合可得，利用余弦定理即可； （2）①过点作，得出，再在中利用正弦定理以及两角和差公式得出，利用来表示面积，结合基本不等式可求解； ②由①得出，再构造函数，通过求导研究其单调性，求最值即可. 【小问1详解】 利用正弦定理可化简为， 因为，则，即， 则； 【小问2详解】 ①过点作，垂足为，则，则， 在中利用正弦定理， 有，得， 则 ， 等号成立时，， 故面积的最小值为； ②由①可知，， 令， 则， 令，则， 则得，即； 得，即， 则在上单调递减，上单调递增， 则， 故的最小值为. 19. 已知函数. （1）求函数的极值点，并判断与是否有相等的极小值点或相等的极大值点，说明你的理由. （2）设函数的图象上存在两点满足以为直径的圆过原点，且该圆的圆心在轴上. （i）证明：两点在直线的两侧. （ii）求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）证明见解析（ii） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求的单调性，即可得出极值点，作出判断； （2）（i）设，根据题意可得，，据此分析两点不能同在的左或右两侧，从而得证； （ii）由（i）可得，据此分离参数后知方程在上有解，利用导数，求出方程右边的取值范围即可得解. 【小问1详解】 ，定义域为R， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值点为0和1，极大值点为； 同理可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值点为0，极小值点为. 故与没有相等的极值小点，也没有相等的极大值点. 【小问2详解】 (i) 证明：设， 因为以为直径的圆过原点，所以，即， 又以为直径的圆的圆心在轴上，所以 显然两点不能同在直线的右侧，且均不能为1（否则与矛盾）， 假设两点同在直线的左侧，即， 不妨设，易知， 因为，所以， 所以，故， 则， 这与矛盾，所以假设不成立， 故两点在直线的两侧. （ii）由（i)可知，两点在直线的两侧， 不妨设，则，， ， 显然，则关于的方程在上有解. 令，则， 所以在上单调递增， 又，当时，， 则，解得， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $