精品解析：河南省豫西北教研联盟2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试题

豫西北教研联盟2025—2026学年 高三第一次质量检测试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 16 5. 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，且，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的值域是 D. 在上单调递减 10. 正方体的棱长为分别是棱的中点，则（ ） A. B. C. 平面 D. 点到平面的距离为 11. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，动点在上，若点满足，则（ ） A. 的准线方程为 B. 周长的最小值为5 C. 直线的倾斜角为 D. 四边形不可能是平行四边形 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 13. 设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为__________. 14. 已知函数，当关于的方程的不同实数根的个数最多时，实数的取值范围是______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为. （1）求； （2）点在边上，平分，若，求的周长. 16. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. （1）求的通项公式； （2）对于任意，求实数的取值范围. 17. 菱形中，平面，，， （1）证明：直线平面； （2）求二面角的正弦值； （3）线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由. 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为分别为的左､右顶点，点是上异于的点，直线与直线的斜率之积为，的周长为6. （1）求的方程； （2）求过与相切的直线方程； （3）设直线的方程为，过上任一点作的切线，切点分别为，当四边形的面积最大时，求的正切值. 19. 已知函数，. （1）若函数的零点是函数的极值点，求； （2）为坐标原点，在函数的图象上，在轴上是否存在点，使得四边形为矩形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由； （3）定义：若一个四边形的顶点均在某函数的图象上，则称该四边形为函数的内接四边形.设，若函数有唯一内接正方形，求该正方形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 豫西北教研联盟2025—2026学年 高三第一次质量检测试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合，再结合交集的运算，即可求解. 【详解】根据题意，集合， 又集合，所以. 故选：C 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数及共轭复数的定义结合复数的加法，应用复数相等得出参数. 【详解】设复数， 满足， 所以，则. 故选：B. 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性计算判断大小. 【详解】因为单调递减，所以， 因为单调递减，所以， 则的大小关系为. 故选：A. 4. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角函数图像的平移规则得到平移后的函数解析式，再结合正弦函数图像关于原点对称的性质，求出的表达式，最后根据选项进行判断即可. 【详解】由题意，令函数的图象向左平移个单位长度后所得函数为， 则， 又平移后得到的图象关于坐标原点对称，即函数为奇函数， 所以，解得， 当时，. 故选：B 5. 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合函数奇偶性特点，得到函数关系式，通过代入特殊值逐个选项判断即可求解. 【详解】因为，则有， 所以，由此可知为周期为的周期函数， 又因为是奇函数，所以， 因为，所以； 对于A选项，根据，将代入， 得，解得，A正确； 对于B选项，根据，将代入， 得，B正确； 对于C选项，根据，将代入， 得，C正确； 对于D选项，根据，有， 又根据，将代入， 得，由A选项可知， 所以，所以D错误. 故选：D 6. 已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用两点间斜率公式，结合基本不等式可解. 【详解】由题意可得，，直线的斜率为． 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 即当直线的斜率取最大值时，，所以，故． 故选：B． 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件求出，进而通过三角恒边等换将用来表示. 【详解】，解得， 又，解得， 所以， 故选：D. 8. 已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解. 【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心， 因为    ，， 所以，则， 因为，取的中点，所以， ， 设正三棱锥外接球的半径为，则，得， 所以，故， 设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点， ，则， 所以，则， 所以与该截面所成角为，故， ，即与该截面所成角为. 故选：C. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，且，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的值域是 D. 在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义判断A；代入验证等式两边是否相等，证明B；利用基本不等式判断C；利用导数判断D. 【详解】对于A，函数定义域为， ，则函数为偶函数，故A错误； 对于B，, , 所以，故B正确； 对于C，因为且，则， 由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的值域是，C正确； 对于D，， 当时，，在时小于1， 所以，故在上单调递减， 当时，同理可得在上单调递减，故D正确. 故选：BCD 10. 正方体的棱长为分别是棱的中点，则（ ） A. B. C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量法向量的垂直即可证明判断A，B，C，根据空间向量的点面距公式即可求D. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系：正方体棱长为2， 则, 所以， 因为，所以不成立，A选项错误； ，所以，B选项正确； ， ， 所以平面的一个法向量为 ， 又因为，所以平面，所以平面，C选项正确； ，则 , 设平面的法向量为 ， 所以 ，取，则，故； 由, 设点到平面的距离为，则，D选项错误； 故选：BC. 11. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，动点在上，若点满足，则（ ） A. 的准线方程为 B. 周长的最小值为5 C. 直线的倾斜角为 D. 四边形不可能是平行四边形 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，由距离公式得到方程，即可求出，求出抛物线方程，即可判断A、C，根据抛物线的定义判断B，求出点坐标，即可判断D. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 又点满足，所以， 即，解得或（舍去）， 所以抛物线，则准线方程为，焦点为，故A正确； 过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义可知， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号， 所以周长的最小值为，故B正确； 因为，所以直线的倾斜角为，故C错误； 过点作的平行线，交抛物线于点， 即，解得，即，则， 所以四边形不是平行四边形，故D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义进行求解即可. 【详解】因为向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为：. 故答案为：. 13. 设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设点H在第一象限，根据题意可得，然后利用双曲线的定义和余弦定理即可求解. 【详解】由，可知点P在线段FH上，且，如图所示，根据双曲线的对称性，不妨设点H在第一象限， 设O为坐标原点，则直线OH的方程为．由，则点到直线距离为， 又，则．由，可知． 设双曲线C的左焦点为，连接， 由双曲线的定义可知， 在中，由余弦定理可得， 整理得，即，则，，所以C的离心率． 故答案为：. 14. 已知函数，当关于的方程的不同实数根的个数最多时，实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】借助导数求得的取值范围，再换元，数形结合求的取值范围. 【详解】则，所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，如图， ， 设，则， ， 即， 显然不是方程的解， 则（且）， 如下图所示， （1）当时，直线与曲线（且）无交点，则方程无实数解， （2）当时，直线与曲线（且）有唯一交点，其横坐标为，此时直线与曲线有唯一交点，即方程有唯一实数解 （3）当时，直线与曲线（且）有唯一交点，其横坐标为，此时直线与曲线有两个交点，即方程有两个实数解， （4）当，直线与曲线（且）有两个交点，设其横坐标分别为，（），此时直线和直线与曲线各有两个交点，即方程有四个实数解， （5）当时，直线与曲线（且）有两个交点，设其横坐标分别为（），，此时直线与曲线各有两个交点，直线与曲线有唯一的交点，即方程有三个实数解， （6）当时，直线与曲线（且）有唯一个交点，设其横坐标分别为（），此时直线与曲线有唯一交点，即方程有唯一实数解， （7）当时，直线与曲线有两个公共点，对应的t有两个负值，每一个t值对应的x值只有一个，原方程有两个根， 综上，当时，关于的方程的不同实根最多. 故答案为： 【点睛】策略点睛：复合方程解的个数问题的解题策略为：首先要能观察出复合的形式，分清内外层；其次要能根据复合的特点进行分析，将方程问题转化为函数的交点问题；最后通过数形结合的方式解决问题 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为. （1）求； （2）点在边上，平分，若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理化简求解，结合角的范围求值； （2）应用角平分线结合得出，最后应用余弦定理计算求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又，所以， 由于，则. 【小问2详解】 因为， 所以， 即， 由余弦定理得， 所以， 解得，或（舍去）， 所以，即的周长为. 16. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. （1）求的通项公式； （2）对于任意，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式结合等比中项计算求解； （2）先把转化为，再根据的单调性得出最大项，最后得出参数范围. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由已知可得， 因为，解得， 又， 得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 由可得， 令， ， 当时，， 当时，， 则数列的最大项为， 故， 即实数的取值范围为. 17. 菱形中，平面，，， （1）证明：直线平面； （2）求二面角的正弦值； （3）线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：证明：建立以为原点，分别以，（为中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图）， 则，，， ，，. ，， 设为平面的法向量， 则，即， 可得， 又，可得， 又因为直线平面，所以直线平面； （2）； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）建立以为原点，分别以，（为中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，证明向量垂直，得到线面平行； （2）利用空间向量法求出二面角的余弦值，再由同角三角函数的基本关系求出正弦值； （3）设，则，利用空间向量求表示出线面角的正弦值，求出的值，得解. 【详解】（1）略 （2），，， 设为平面的法向量， 则，即，可得， 设为平面的法向量， 则，即，可得， 所以， 所以二面角的正弦值为； （3）设，则， 则，， 设为平面的法向量， 则，即， 可得， 由，得， 解得或（舍），所以. 【点睛】本题考查空间向量法解决立体几何中的问题，属于中档题. 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为分别为的左､右顶点，点是上异于的点，直线与直线的斜率之积为，的周长为6. （1）求的方程； （2）求过与相切的直线方程； （3）设直线的方程为，过上任一点作的切线，切点分别为，当四边形的面积最大时，求的正切值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用斜率公式结合椭圆方程解出即可； （2）设切线的方程为，与椭圆联立，由得，在上，知道，得到； （3）与椭圆联立，借助韦达定理，后将四边形面积表示出来，即，借助对勾函数单调性求最值，再借助和角正切公式计算即可. 【小问1详解】 由题意知，， 又，则， 即，故， 又，即， 所以，故椭圆的方程为. 【小问2详解】 设切线的方程为，联立 整理得， 由，得， 因为在椭圆上，所以， 则， 所以过与相切的直线方程为， 即. 【小问3详解】 设， 由（2）可知，切线的方程为， 切线的方程为， 所以， 故直线的方程为. 联立，整理得， 所以，又， ， 又 . 因为，则， 所以时，四边形的面积最大，最大面积为6. 此时直线的方程为，与交于椭圆右焦点， 则， 所以， 所以. 19. 已知函数，. （1）若函数的零点是函数的极值点，求； （2）为坐标原点，在函数的图象上，在轴上是否存在点，使得四边形为矩形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由； （3）定义：若一个四边形的顶点均在某函数的图象上，则称该四边形为函数的内接四边形.设，若函数有唯一内接正方形，求该正方形的面积. 【答案】（1）或； （2）不存在，假设轴上存在点，使得为矩形，则的中点在轴上， 设，则，所以，， 因为四边形为矩形，所以， 所以，又，所以，方程无实数解. 故在轴上不存在点，使得为矩形. （3）. 【解析】 【分析】（1）先令，解得其零点，再对进行求导，求得其极值点，进而求得的值； （2）假设轴上存在点，使得为矩形，根据矩形的性质得到向量关系，进而列出方程求解； （3）先求出的表达式，再根据内接正方形的性质列出方程，求出正方形的边长，进而求出其面积. 【小问1详解】 根据题意，令，解得或， 又，则，令，解得或， 则当变化时，和随的变化列表如下： 单调递减 单调递增 单调递减 所以函数的极值点为和， 又函数的零点是函数的极值点， 所以或. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设函数的内接正方形的四个顶点分别为， 因为函数， 所以，且为奇函数， 则正方形的中心为原点. 否则，由于为奇函数，关于原点的对称点也在曲线上，且也是正方形，与题设矛盾. 设， 则①，②， 所以，即， 又得，， 即， 所以， 令，则， 因为，所以， 当时，，舍去， 当时，， 此时， 又正方形的中心为原点， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $