精品解析：北京市第一六一中学2025-2026学年高三上学期10月阶段测试数学试卷

高三数学试卷 考生须知 1．本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟． 2．试题答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 3．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束后，将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知函数，则当时，有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值 5. 已知函数，则“”是“”（　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（　　） A. B. C. D. 7. 设函数，若为上单调递减函数，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（ ） A. 由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B. 当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C. 当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D. 当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 9. 对于函数定义域中任意，给出如下四个结论： ①； ②； ③； ④． 满足其中三个结论的函数是（　　） A. B. C. D. 10. 已知函数，，记函数的最大值为，则的最小值为（　　） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上． 11. 已知复数满足，则___________． 12. 若函数，，则___________． 13. 已知，则___________． 14. 设函数，若只有一个零点，则的一个取值为___________，若存在最小值，则的最大值为___________． 15. 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，，则称是的一个周期为k的周期点．给出下列四个结论： ①若，则存在唯一一个周期为1的周期点； ②若，则存在周期为2的周期点； ③若则不存在周期为3的周期点； ④若，则对任意正整数n，都不是的周期为n的周期点． 其中所有正确结论的序号是_________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案填在答题卡中相应黑色框区域内． 16. 在三棱柱中，侧面 为矩形，平面， D，E分别是棱 的中点. （1）求证： 平面； （2）若，求直线与平面 所成角的正弦值. 17. 已知函数． (I)求的最小正周期； (Ⅱ)求在区间上的最大值． 18. 某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为分，规定测试成绩在之间为“体质优秀”，在之间为“体质良好”，在之间为“体质合格”，在之间为“体质不合格”.现从这两个年级中各随机抽取名学生，测试成绩如下： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 高一年级 60 85 80 65 90 91 75 高二年级 79 85 91 75 60 其中正整数. （1）若该校高一年级有学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数； （2）若从高一年级抽取名学生中随机抽取人，记为抽取的人中为“体质良好”的学生人数，求的分布列及数学期望； （3）设两个年级被抽取学生测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时，写出的值.（只需写出结论） 19. 已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点. （1）求圆O和椭圆C的方程； （2）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值. 20. 已知函数． （1）若函数在处与轴相切，求的值； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若函数存在两个极小值点，求证：． 21. 设n 为不小于3的正整数，集合，对于集合中的任意元素，记 （Ⅰ）当时，若，请写出满足的所有元素 （Ⅱ）设且，求的最大值和最小值； （Ⅲ）设S是的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，有成立，求集合S中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 考生须知 1．本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟． 2．试题答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 3．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束后，将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A中的元素，再根据集合的交集运算，求得答案. 【详解】集合，而， 故， 故选：C 2. 若，则下列不等式成立的是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据列举法和不等式的性质，即可判断. 【详解】AB.若，此时，且，故A、B错误； C.若，此时，故C错误； D.根据指数函数的单调性可知，当，得，故D正确. 故选：D 3. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导得，计算即可. 【详解】由，可得， 所以. 故选：D. 4. 已知函数，则当时，有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由题意当时，，等号成立当且仅当. 故选：B. 5. 已知函数，则“”是“”的（　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】令，求得，得到在单调递增，得到，即，证得充分性成立，又由，得到必要性不成立，即可求解. 【详解】由函数， 令，可得， 当时，由，可得恒成立， 所以在单调递增，所以， 即，所以充分性成立； 反之：取，可得，即， 即存在，使得成立，所以必要性不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 6. 函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，根据函数定义域以及奇偶性分析判断即可. 【详解】对于AB：由解析式知均不可能为0， 即，的定义域不为， 由图知函数的定义域为，故AB错误； 对于C：因为函数的定义域为， 且， 可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称， 但题中图象关于原点对称，故C错误； 故选：D. 7. 设函数，若为上单调递减函数，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合指数函数与二次函数单调性及其图象即可得. 【详解】由在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 故有，画出和图象如图： 则该不等式组解集为， 故实数的取值范围是. 故选：B. 8. 大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（ ） A. 由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B. 当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C. 当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D. 当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】C 【解析】 【分析】结合图中数据分析一一判断各选项即可. 【详解】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，甲乙两地平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确. 故选：C. 9. 对于函数定义域中任意的，给出如下四个结论： ①； ②； ③； ④． 满足其中三个结论的函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特例法、基本不等式、函数单调性的性质，对四个选项中的函数逐一判断即可. 【详解】因为，所以是定义域内的单调递增函数. A：因为， 所以由对数的运算性质可知该函数不满足结论①； 因为， 所以由对数的运算性质可知该函数满足结论②； 函数显然是正实数集上的增函数，该函数满足结论③； ， 由基本不等式可知：当时，， 于是有，因此该函数不满足结论④，因此本选项函数不符合题意； B：因为， 所以该函数满足结论①； 因为， 所以该函数不满足结论②； 函数显然是实数集上的增函数，该函数满足结论③； ，， 由基本不等式可知：当时，， 即 因此该函数满足结论④，因此本选项函数符合题意； C：当时， 显然， 即和不成立，因此本选项函数不符合题意； D：当时， 显然不成立， 即和不成立，因此本选项函数不符合题意， 故选：B 10. 已知函数，，记函数的最大值为，则的最小值为（　　） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，利用函数的奇偶性、二次函数的性质、绝对值的性质进行求解即可. 【详解】因为当时，， 所以函数，是偶函数， 因为是偶函数，我们只需求时的最大值，， 由最大值的定义可知，且， 因此， 由绝对值三角不等式可得，所以，即。当时，可验证，该下界可以取到， 故的最小值为. 故选：C 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上． 11. 已知复数满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合复数运算法则求，根据共轭复数定义求，再利用复数模的性质求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 12. 若函数，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由，结合指数运算法则求得，再由，结合对数运算性质及换底公式推论求，由此可得结论. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 故答案为： 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合二项展开式通项可得，代入运算求解即可. 【详解】因为的展开式通项为， 可得， 所以. 故答案为：. 14. 设函数，若只有一个零点，则的一个取值为___________，若存在最小值，则的最大值为___________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 【解析】 【分析】结合零点定义分、进行讨论即可得空一；分、、结合单调性讨论即可得空二. 【详解】若，则当时，，即在时无零点， 当时，令，则，则有， 由，则恒成立，故此时只有一个零点； 若，则当时，，为零点， 则当时，无零点，若，符合， 若，则有，解得或， 即有或； 综上可得：若只有一个零点，则或或； 若，，则； 若，当时，单调递增， 当时，，故没有最小值，不符； 若，当时，单调递减，， 当时，， 故或，解得， 综上可得，故的最大值为. 故答案为：（答案不唯一）；. 15. 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，，则称是的一个周期为k的周期点．给出下列四个结论： ①若，则存在唯一一个周期为1的周期点； ②若，则存在周期为2的周期点； ③若则不存在周期为3的周期点； ④若，则对任意正整数n，都不是的周期为n的周期点． 其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】利用新定义，求出周期点或根据定义进行证明判断． 【详解】①设，则，显然是增函数，由得， 时，，递减，时，，递增， 所以时，，只有唯一解， 因此只有唯一解，即存在唯一一个周期为1的周期点，①正确； ②，， 解得，此时，不合题意， 所以不周期为2的周期点，②错误； ③，若，则，，，所以存在周期为3的周期点，③错； ④，所以无解，因此对任意正整数n，都不是的周期为n的周期点，④正确． 故答案为：①④． 【点睛】方法点睛：本题考查新定义，解题关键是对“周期为k的周期点”的正确理解与应用，同理要掌握命题真假判断的方法，如命题①是证明只有唯一解，命题②③只要找互一个周期点就可判断真假，命题④通过函数的值域或最值判断． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案填在答题卡中相应黑色框区域内． 16. 在三棱柱中，侧面 为矩形，平面， D，E分别是棱 的中点. （1）求证： 平面； （2）若，求直线与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）答案见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由棱柱的性质证得四边形是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面 所成角的正弦值. 【小问1详解】 三棱柱中，，且， 因为D，E分别是棱 的中点， 所以，且, 所以四边形是平行四边形，所以, 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示 的空间直角坐标系， 由题意得，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，于是， 所以， 所以直线与平面 所成角的正弦值. 17. 已知函数． (I)求的最小正周期； (Ⅱ)求在区间上的最大值． 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 最大值为. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用降幂公式和两角和的余弦公式把化成，再用辅助角公式把后者化为，从而可求的最小正周期等． （Ⅱ）直接计算出，利用正弦函数的性质得到的最大值． 【详解】（Ⅰ）因为，所以的最小正周期． （Ⅱ）因，所以．当，即时，取得最大值为． 【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期和最大值，前者利用公式计算，后者先求整体的范围，再利用正弦函数的性质来求，本题属于基础题. 18. 某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为分，规定测试成绩在之间为“体质优秀”，在之间为“体质良好”，在之间为“体质合格”，在之间为“体质不合格”.现从这两个年级中各随机抽取名学生，测试成绩如下： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 高一年级 60 85 80 65 90 91 75 高二年级 79 85 91 75 60 其中是正整数. （1）若该校高一年级有学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数； （2）若从高一年级抽取的名学生中随机抽取人，记为抽取的人中为“体质良好”的学生人数，求的分布列及数学期望； （3）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时，写出的值.（只需写出结论） 【答案】（1）；（2）详见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据表中数据计算样本中的优秀率，然后用样本估计整体，简单计算可得结果. （2）写出所有可能取值，并求得相应的概率，列出分布列，然后根据数学期望公式，可得结果. （3）根据两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，可得之间关系，然后利用方差公式，结合二次函数，可得结果. 【详解】解：（1）高一年级随机抽取的7名学生中， “体质优秀”的有3人，优秀率为，将此频率视为概率， 估计高一年级“体质优秀”的学生人数为. （2）高一年级抽取的7名学生中 “体质良好”的有2人，非“体质良好”的有5人. 所以的可能取值为 所以 所以随机变量的分布列为： （3） 【点睛】本题考查离散性随机变量的分布列以及数学期望，同时考查平均数与方差，本题主要考验计算，牢记计算的公式，掌握基本统计量的概念，属基础题. 19. 已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点. （1）求圆O和椭圆C的方程； （2）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值. 【答案】（1）圆O的方程为，椭圆C的方程为 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，列方程组，解得，，，即可得出答案． （2）设，，，，分别代入椭圆与圆的方程，解得，，写出直线，的方程，进而可得，的坐标，计算，即可得出答案． 【小问1详解】 由题意可得，解得，， 所以圆的方程为，椭圆的方程为． 【小问2详解】 证明：设点P的坐标为，点Q的坐标为， 则，即， 又由，得点M坐标为， 由，得点N的坐标为， 所以，，， 所以， 所以，即 20. 已知函数． （1）若函数在处与轴相切，求的值； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若函数存在两个极小值点，求证：． 【答案】（1）； （2）的减区间是，增区间是； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据条件转化为，，即可求解； （2）首先求函数的导数，再分和两种情况分析函数，，即可求解函数的单调区间； （3）根据（2）的过程和结果，确定，再确定函数的两个极小值点，结合，即可证明. 【小问1详解】 ，由条件可知，，，得； 【小问2详解】 ，， 设， 当时，恒成立， 当时，，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 所以当时，恒成立， 所以的变号零点由决定， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的减区间是，增区间是； 【小问3详解】 ，， 由（2）可知，当时，只有1个极小值，不满足条件， 当时，，，，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 时，，时，， 所以在区间和分别有1个零点，设为，， 所以有3个变号零点，分别是， 如下表，（说明是极小值点） 0 0 0 单调递减 极小值点 单调递增 极大值点 单调递减 极小值点 单调递增 且，即， 得，且，即， ， ， 所以. 21. 设n 为不小于3的正整数，集合，对于集合中的任意元素，记 （Ⅰ）当时，若，请写出满足的所有元素 （Ⅱ）设且，求的最大值和最小值； （Ⅲ）设S是的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，有成立，求集合S中元素个数的最大值. 【答案】（1）； （2）的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，； （3）中的元素个数最大值为. 【解析】 【分析】（Ⅰ）结合题意列举可得；（Ⅱ）先根据，得到的关系式，再求解的最值；（Ⅲ）通过对集合的拆分，逐一求解. 【详解】(Ⅰ)满足的元素为 （Ⅱ）记，， 注意到，所以， 所以 因为，所以 所以中有个量的值为1，个量的值为0. 显然 ， 当，时， 满足，.所以的最大值为 又 注意到只有时，，否则 而中个量的值为1，个量的值为0 所以满足这样的元素至多有个， 当为偶数时，. 当时，满足，且. 所以的最小值为 当为奇数时，且，这样的元素至多有个， 所以. 当，时，满足，. 所以的最小值为 综上：的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，. （Ⅲ）中的元素个数最大值为 设集合是满足条件的集合中元素个数最多的一个 记 ， 显然 集合中元素个数不超过个，下面我们证明集合中元素个数不超过个 ，则 则中至少存在两个元素 ， 因为，所以不能同时为 所以对中的一组数而言， 在集合中至多有一个元素满足同时为 所以集合中元素个数不超过个 所以集合中的元素个数为至多为 . 记 ，则中共个元素， 对于任意的，，. 对，记其中，， 记， 显然，，均有. 记，中的元素个数为，且满足，，均有. 综上所述，中的元素个数最大值为. 【点睛】本题主要考查集合新定义及数论.难度较大，根据集合元素特征及定义的运算规则逐步突破. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $