精品解析：贵州省贵阳乐湾国际实验学校2025-2026学年九年级上学期数学第一次月考 试题

贵阳乐湾国际实验学校2025-2026学年度第一学期 九年级 第一次阶段性调研试卷 数 学 注意事项： 1．考试时间为120分钟，满分为150分． 2．所有题的答案必须答在答题纸的指定位置，否则不得分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 5 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是明确一元二次方程一般形式中一次项系数的定义．根据一元二次方程的一般形式中，b是一次项系数，直接确定方程中的一次项系数． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是． 故选：C． 2. 如图，是斜边上的中线，且，则（ ） A. 14 B. 13 C. 7 D. 3.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查斜边上的中线，根据斜边上的中线等于斜边的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是斜边上的中线，且， ∴； 故选A． 3. 如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形面积的计算，已知对角线长度，由菱形面积等于对角线乘积的一半做计算即可． 【详解】解：，， ． 故选：B． 4. 一元二次方程配方后变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查一元二次方程中配方法，掌握配方法是解题的关键． 首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式． 【解答】∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 5. 在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表：由此可估算方程的一个根x的范围是（ ） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，利用，；，，于是当在1.2与1.3之间取一个数时，一定可以等于0，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：，；，， 当在1.2与1.3之间取一个数时，， 即方程的一个根的范围为． 故选：C． 6. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况． 先分别写出各项系数，，，再求出，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：， ，，， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7. 如图，已知四边形是平行四边形，要使它成为正方形，那么需要添加的条件可以是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，根据平行四边形的性质结合正方形的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， A. 则四边形是菱形， 再加上条件，四边形仍是菱形，故该选项不符合题意； B. 则四边形是矩形 再加上条件，四边形仍是矩形，故该选项不符合题意； C. ，四边形是菱形，故该选项不符合题意； D. 则四边形是菱形， 加上条件则四边形是正方形， 故选：D． 8. 平行四边形，矩形，菱形，等边三角形，正方形中是轴对称图形的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：平行四边形不是轴对称图形，矩形，菱形，等边三角形，正方形都是轴对称图形，因此平行四边形，矩形，菱形，等边三角形，正方形中是轴对称图形的有4个． 故选：D． 9. 已知是方程的两根，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． 直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故选：C． 10. 如果顺次联结矩形各边中点，那么所围成的四边形一定是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 梯形 D. 平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等可证明四条边都相等，从而说明是一个菱形． 【详解】如图，联结对角线AC、BD， 在△ABD中， ∵AH=HD，AE=EB ∴EH=BD， 同理FG=BD，HG=AC，EF=AC， 又∵在矩形ABCD中，AC=BD， ∴EH=HG=GF=FE， ∴四边形EFGH为菱形． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分． 11. 《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据“增长率问题”及题意可直接列出方程，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可得方程为； 故选D． 12. 如图，在长方形中，是边上一点，且，，点从点出发，沿折线匀速运动，运动到点停止．点的运动速度为，运动时间为，的面积为，与之间的关系图象如图，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，动点问题的函数图象，关键是理解题意，熟悉运动的过程，把对应的数据转化为图形中的线段长．观察图象可知，面积最大为，可求得、的长，从而得到的长，进而求出在上运动的时间，即为的值，即可判断A选项的正确性；直接求出在上运动的时间，即为的值， 即可判断B选项的正确性；进而计算的值， 即可判断C选项的正确性；当 时，计算出点 运动的路程，从而求得此时的长，根据三角形面积公式求解的面积，即可判断D选项的正确性． 【详解】解：由题图可得出当点 运动到点 且在 上运动时，面积最大，结合题图可知，此时，面积最大为， 从点到点用了， . 此时，，即， ， 当点 从点 运动到点时，所用时间为， ，故A正确； 点 运动完整个过程需要的时间， ，故B错误； ，故C错误； 当 时，点 运动的路程为， 此时， 此时的面积，故D错误． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】方程整理得：x(x﹣2)=0 可得x=0或x﹣2=0 解得：x1=0，x2=2 故答案为：x1=0，x2=2． 14. 九（1）班开学第一节课，班长为了让同学们能快速熟悉起来，要求两人都相互握一次手，据统计一共握手990次，则九（1）班的人数是______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键．设九（1）班的人数是x，根据题意列方程再解方程即可求解． 【详解】解：设九（1）班的人数是x， 由题意，得， 整理得， 解得（舍）， 九（1）班的人数是45， 故答案为：45． 15. 如图，要使平行四边形成为矩形，应添加的条件是__________．（只需填一个你认为正确的结论即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理.此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合矩形的判定定理即可． 【详解】解：， 理由是：四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到．连接，则的周长的最小值是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折，平移的性质，等边三角形的性质以及菱形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．作关于点的对称点，交于点，连接，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：作关于点的对称点，交于点，连接， 由题意可知，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到， 的周长的最小值转化为周长的最小值， 当三点共线时，最小为的长， 均为等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， 在中，， 周长的最小值为， 故的周长的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的知识，掌握配方法以及因式分解法，是解答本题的关键． （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可； （3）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：， ， ∴或， 解得，． 18. 某社区有一个正方形空地，准备把此正方形空地分成面积相等的四部分，分别种植四种不同的花草，请你运用所学的知识，设计三种不同的方案．（画出即可） 【答案】如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了作图及轴对称的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．依据题意画图即可． 【详解】解：如图①，连接该正方形的两条对角线，则正方形被分为4个全等的等腰直角三角形； 如图②，连接该正方形对边中点，则正方形被分为4个全等小正方形； 如图③，连接该正方形一组对边的4等分点，则正方形被分为4个全等矩形． 19. 如图，一块长30米、宽20米的矩形草坪，要在其中修建两条同样宽且互相垂直的小路，剩余草坪面积为504平方米．求小路的宽度． 【答案】小路的宽度为2米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设小路的宽度为．由题意可得：，解方程即可求解． 【详解】解：设小路的宽度为． 由题意可得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴小路的宽度为2米． 20. 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 【答案】． 【解析】 【分析】先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得的长，然后利用菱形的周长公式即可得． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， 则菱形的周长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，则； （2）一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程为有两个实数根， ，即 【小问2详解】 解：当时原方程的两个实数根， 此时原方程为 即 解得． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求解参数．熟记相关结论即可． 22. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE=AC． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED的周长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥BC． ∵CE∥BD， ∴四边形BCED是平行四边形． ∴CE=BD． ∵CE=AC， ∴AC=BD． ∴□ABCD是矩形． （2）16. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件推知四边形BCED是平行四边形，则对边相等：CE=BD，依据等量代换得到对角线AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形； （2）通过勾股定理求得BD的长度，再利用四边形BCED是平行四边形列式计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵□ABCD是矩形，AB=4，AD=3， ∴∠DAB=90°，BC=AD=3， ∴． ∵四边形BCED是平行四边形， ∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）=2×(3+5)=16． 【点睛】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键． 23. 某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．设某天该衬衫每件降价x元，则： （1）该衬衫该天的销售量为________件，每件可获利________元（用含x的代数式表示）； （2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利1200元，同时尽快减少库存，那么衬衫的单价应降多少元？ （3）商场销售这批衬衫能否通过降价每天盈利1500元？若能，请求出此时的衬衫的单价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2）衬衫的单价应降元 （3） 解：不能，理由如下： 根据题意得，， 整理得， ∵， ∴此方程没有实数根． 答：商场不能通过降价销售这批衬衫每天盈利1500元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列式即可； （2）根据利润每件利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （3）根据利润每件利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【小问1详解】 解：若某天该衬衫每件降价x元， 则该衬衫的销量为件， 每件可获利元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：衬衫的单价应降元； 【小问3详解】 略 24. 如图，中，，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从点C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． （1）根据题意知：________，________；（用含t的代数式表示）． （2）t为何值时，的面积等于的面积的？ （3）点D、E运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3） 解：不可以，理由如下：  如果可以，则由勾股定理得， 整理得， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴的长不可以是． 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式、列一元二次方程解应用题等知识与方法，解第（3）题时应注意根据一元二次方程根的判别式判定方程没有实数根． （1）根据动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从点C出发以的速度向点B移动，可以得出，； （2）根据的面积等于的面积的，列方程求出t的值； （3）假设可以，根据这一条件列方程并且整理出一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式判定此方程没有实数根，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵动点D、E同时出发，动点E从点C出发以的速度向点B移动， ∴， ∵动点D从点A出发以速度向点C移动， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：当的面积等于的面积的时， 根据题意得， 整理得， 解得， 答：，即运动1秒时，的面积等于的面积的； 【小问3详解】 略 25. 【初步思考】 （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：． 小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点，使，连接，易证， 得出① ，． 第二步：，，得出， 所以，即 ② ． 第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ， 所以． 【探究迁移】 （）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考的小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程． 【拓展应用】 （）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ． 【答案】（），，，； （）仍然成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连 接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（）中的结论仍然成立； （） 【解析】 【分析】（）延长至点，使，连接，可证明，得， ，再证明，进而证明，得，由 可得，即可求证； （）延长到点，使，连 接，同理（）证明即可； （）延长到点，使，连接， 同理（）可证，得到，即得，即得到，即可求解； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，补角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）证明：如图，延长至点，使，连 接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，，； （）略 （）如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 的周长为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳乐湾国际实验学校2025-2026学年度第一学期 九年级 第一次阶段性调研试卷 数 学 注意事项： 1．考试时间为120分钟，满分为150分． 2．所有题的答案必须答在答题纸的指定位置，否则不得分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 5 B. 2 C. D. 2. 如图，是斜边上的中线，且，则（ ） A. 14 B. 13 C. 7 D. 3.5 3. 如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 4. 一元二次方程配方后变形正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表：由此可估算方程的一个根x的范围是（ ） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 A. B. C. D. 6. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 7. 如图，已知四边形是平行四边形，要使它成为正方形，那么需要添加的条件可以是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 8. 平行四边形，矩形，菱形，等边三角形，正方形中是轴对称图形的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知是方程的两根，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 10. 如果顺次联结矩形各边中点，那么所围成的四边形一定是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 梯形 D. 平行四边形 11. 《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在长方形中，是边上一点，且，，点从点出发，沿折线匀速运动，运动到点停止．点的运动速度为，运动时间为，的面积为，与之间的关系图象如图，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____． 14. 九（1）班开学第一节课，班长为了让同学们能快速熟悉起来，要求两人都相互握一次手，据统计一共握手990次，则九（1）班的人数是______． 15. 如图，要使平行四边形成为矩形，应添加的条件是__________．（只需填一个你认为正确的结论即可）． 16. 如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到．连接，则的周长的最小值是___． 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 18. 某社区有一个正方形空地，准备把此正方形空地分成面积相等的四部分，分别种植四种不同的花草，请你运用所学的知识，设计三种不同的方案．（画出即可） 19. 如图，一块长30米、宽20米的矩形草坪，要在其中修建两条同样宽且互相垂直的小路，剩余草坪面积为504平方米．求小路的宽度． 20. 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程． 22. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE=AC． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED的周长． 23. 某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．设某天该衬衫每件降价x元，则： （1）该衬衫该天的销售量为________件，每件可获利________元（用含x的代数式表示）； （2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利1200元，同时尽快减少库存，那么衬衫的单价应降多少元？ （3）商场销售这批衬衫能否通过降价每天盈利1500元？若能，请求出此时的衬衫的单价；若不能，请说明理由． 24. 如图，中，，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从点C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． （1）根据题意知：________，________；（用含t的代数式表示）． （2）t为何值时，的面积等于的面积的？ （3）点D、E运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 25. 【初步思考】 （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：． 小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点，使，连接，易证， 得出① ，． 第二步：，，得出， 所以，即 ② ． 第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ， 所以． 【探究迁移】 （）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考的小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程． 【拓展应用】 （）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $