第四章 图形的相似 第7讲 位似 讲义2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

辅导科目 数学 就读年级 九年级 教师姓名 课 题 第 7 讲：位似 授课时间 备课时间 教学目标 1、 掌握相似三角形的性质 2、 会利用相似的性质计算线段长度、周长或者面积等 重、难点 重点：灵活应用相似三角形的性质 难点：相似三角形的性质与判定的互相结合． 教学内容 一、如果两个多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一点O，且有（k≠0)，那么这两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心；k为两个相似多边形的相似比； 练一练： 1．下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形网格中，的位似图形可以是（   ） A． B． C． D． 3．方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B．C．D． 4．如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是位似图形，点O是位似中心，A是OA1的中点，则下列说法错误的是（   ） A．BC∥B1C1 B． C． D．C1D1=2BC 5．将的各边按如图所示的方式向外等距离扩1cm，得到，有以下结论： Ⅰ：与是相似三角形； Ⅱ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ正确，Ⅱ不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C．Ⅰ，Ⅱ都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确 6．如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A． 点M B．点N C．点Q D．点P 7．如图所示网格中，线段AB是由线段CD位似放大而成，则位似中心是（    ） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 8．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为3:5，那么的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知与位似，位似中心为0，且与的周长之比是5：3，则AO:OD 的值为（   ） A．2:1 B．5:3 C．3:5 D．25:9 10．如图，与是点O为位似中心的位似图形，已知与的面积比为1:4，若AB的长为2，则DE的长为（   ） A．8 B．4 C．2 D．6 11．如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，已知．若BC=6，则=（   ） 12．如图，点P(-6,6)和在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4,4)，根据下列要求，解答相应的问题：    (1)作关于y轴对称的，直接写出点A的对应点的坐标； (2)作关于点P成位似中心的位似，与的相似比为2:1，且这两个三角形在点P同侧，直接写出点A的对应点D的坐标． 13．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以O为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为1：3． (2)证明和相似． 课后练习 1．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A． ①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 3．如图，以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，下列说法中错误的是（   ） A．=1:3 B．∥ C．点B、O、三点在同一条直线上 D． 4．如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，下列说法错误的是（   ） A．AB:DE=1:3 B．若AD=4，则OD=6 C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，三角形OAB是等腰三角形，OA=AB，三角形OAB与三角形是位似图形，其中对应点A和坐标分别是(1,2),(7,-4)，则位似中心坐标是（    ） A． (3,0) B．(4,0) C．(,0) D．(,0) 6．如图，是由等腰直角三角形经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴上，相似比为1:2，已知EO=1，D点的坐标为(2,0)，则这两个三角形的位似中心的坐标是（   ） A．(,0) B．(1,0) C．(0,0) D．(,0) 7．如图，以点O为位似中心，将放大得到．若AD=OA，则与的周长之比为（    ）    A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:2 8．如图，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是位似图形，O为位似中心，，则A1B1:AB为（   ） A．2:3 B．3:2 C．1:2 D．2:1 9．如图，矩形ABCD与矩形EFGH位似，点O是位似中心，已知OH:HD=1:2，EH=2，则AD的值为（    ）   1 A．2 B．4 C．6 D．8 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-2,4)，B(6,4)，以原点O为位似中心，相似比为，作的位似，则线段AB的对应线段EF的长为 ． 拓展提高： 1．如图，在平面直角坐标系xoy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的，…，按此规律，经第n次变换后，所得等边三角形OAnBn的顶点An的坐标为(,0），则n的值是 ． 2．如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA=1，OC=，在第二象限内，以原点O为位似中心将矩形AOCB各边放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再以原点O为位似中心将矩形A1OC1B1各边放大为原来的倍，得到矩形A2OC2B2，以此类推，矩形A2OC2B2的面积为 ，矩形A2024OC2024B2024的面积为 ． 当堂小测 学生： 成绩： 日期： 1．如图，与是位似图形，点O是位似中心，若OA:AD=1:2，且的周长为1，则的周长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，四边形ABCD和四边形是位似图形，位似比为，且四边形ABCD的周长为36，则四边形的周长为（   ） A．16 B．24 C．54 D．81 3．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为(1,0)，点E的坐标为(2,0)，若的周长为5，则的周长是（   ） A．2 B．5 C．10 D．20 4．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA:AE=1:2，且四边形ABCD的周长为5，则四边形EFGH的周长为（   ） A．10 B．15 C．20 D．45 5．如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形．若OA:=1:3，四边形ABCD的周长是3，则四边形的周长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 6．如图，的顶点坐标分别为A(1,3)，B(4,2)，C(2,1)． (1)作出与关于x轴对称的； (2)以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得． (3)的面积为_______． ( 第 1 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 辅导科目 数学 就读年级 九年级 教师姓名 课 题 第 8 讲：位似 授课时间 备课时间 教学目标 1、 掌握相似三角形的性质 2、 会利用相似的性质计算线段长度、周长或者面积等 重、难点 重点：灵活应用相似三角形的性质 难点：相似三角形的性质与判定的互相结合． 教学内容 一、如果两个多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一点O，且有（k≠0)，那么这两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心；k为两个相似多边形的相似比； 练一练： 1．下列图形变化属于位似的是（ A   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形网格中，的位似图形可以是（ D  ） A． B． C． D． 3．方框中的两个图形不是位似图形的是（  D  ） A． B．C．D． 4．如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是位似图形，点O是位似中心，A是OA1的中点，则下列说法错误的是（  D ） A．BC∥B1C1 B． C． D．C1D1=2BC 5．将的各边按如图所示的方式向外等距离扩1cm，得到，有以下结论： Ⅰ：与是相似三角形； Ⅱ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（   C ） A．Ⅰ正确，Ⅱ不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C．Ⅰ，Ⅱ都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确 6．如图，与是位似图形，则位似中心可以是（ D   ） A． 点M B．点N C．点Q D．点P 7．如图所示网格中，线段AB是由线段CD位似放大而成，则位似中心是（ B   ） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 8．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为3:5，那么的值为（ A  ） A． B． C． D． 9．如图，已知与位似，位似中心为0，且与的周长之比是5：3，则AO:OD 的值为（  B ） A．2:1 B．5:3 C．3:5 D．25:9 10．如图，与是点O为位似中心的位似图形，已知与的面积比为1:4，若AB的长为2，则DE的长为（ B  ） A．8 B．4 C．2 D．6 11．如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，已知．若BC=6，则=（  D ） A．2 B．6 C．12 D．18 12．如图，点P(-6,6)和在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4,4)，根据下列要求，解答相应的问题：    (1)作关于y轴对称的，直接写出点A的对应点的坐标； (2)作关于点P成位似中心的位似，与的相似比为2:1，且这两个三角形在点P同侧，直接写出点A的对应点D的坐标． 【答案】(1)作图见详解，(-4,4) (2)作图见详解，(-2,2) 【详解】（1）如图，      即为所求， 结合图形，点A的对应点的坐标为：(-4,4)； （2）如图，      即为所求， 结合图形，点A的对应点D的坐标(-2,2)． 13．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以O为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为1：3． (2)证明和相似． 【分析】（1）根据位似变换的性质画出图形即可； （2）先用勾股定理算出两个三角形的各边长，然后根据对应边的比相同即可证明结论． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）证明：小正方形边长为1， ∴，，，， ，， ∵，，， ∴， ∴． 课后练习 1．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（  C  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（  A  ） A． ①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 3．如图，以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，下列说法中错误的是（D   ） A．=1:3 B．∥ C．点B、O、三点在同一条直线上 D． 4．如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，下列说法错误的是（  D ） A．AB:DE=1:3 B．若AD=4，则OD=6 C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，三角形OAB是等腰三角形，OA=AB，三角形OAB与三角形是位似图形，其中对应点A和坐标分别是(1,2),(7,-4)，则位似中心坐标是（ A   ） A． (3,0) B．(4,0) C．(,0) D．(,0) 6．如图，是由等腰直角三角形经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴上，相似比为1:2，已知EO=1，D点的坐标为(2,0)，则这两个三角形的位似中心的坐标是（ A  ） A．(,0) B．(1,0) C．(0,0) D．(,0) 7．如图，以点O为位似中心，将放大得到．若AD=OA，则与的周长之比为（ D   ）    A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:2 8．如图，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是位似图形，O为位似中心，，则A1B1:AB为（D   ） A．2:3 B．3:2 C．1:2 D．2:1 9．如图，矩形ABCD与矩形EFGH位似，点O是位似中心，已知OH:HD=1:2，EH=2，则AD的值为（  C  ）   1 A．2 B．4 C．6 D．8 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-2,4)，B(6,4)，以原点O为位似中心，相似比为，作的位似，则线段AB的对应线段EF的长为 4 ． 拓展提高： 1．如图，在平面直角坐标系xoy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的，…，按此规律，经第n次变换后，所得等边三角形OAnBn的顶点An的坐标为(,0），则n的值是 11 ． 【答案】11 【分析】本题考查了位似变换、点的坐标变换规律．首先根据变换的规律依次计算出点A1、A2、A3的坐标，从中找出坐标变换的规律，根据规律得到n的值即可． 【详解】解：第一次变换后OA1=，点A1的坐标为（4，0）， 第二次变换后OA2=，点A2的坐标为（2，0）， 第三次变换后OA3=，点A3的坐标为（1，0）， ， 第n次变换后OAn=，点An的坐标为(,0）， 等边三角形OAnBn的顶点An的坐标为(,0）， ∴n-3=8， 解得：n=11． 故答案为：11 ． 2．如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= 16 【答案】16 【详解】解：由已知有：OA1=OA；OA2=OA1=OA，OA3=OA2=OA，…， ∴OAn=OA， OAn=OA=， ∴===， ∴n=16． 故答案为：16． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA=1，OC=，在第二象限内，以原点O为位似中心将矩形AOCB各边放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再以原点O为位似中心将矩形A1OC1B1各边放大为原来的倍，得到矩形A2OC2B2，以此类推，矩形A2OC2B2的面积为 ，矩形A2024OC2024B2024的面积为 ． 【详解】解∵四边形AOCB为矩形，OA=2,OC=， 矩形AOCB的面积为：1×=， 在第二象限内，将矩形AOCB以原点0为位似中心放大为原来的倍， 矩形A1OC1B1的面积为：， 以原点O为位似中心将矩形A1OC1B1各边放大为原来的倍，得到矩形A2OC2B2， ∴矩形A2OC2B2的面积为：， 同理得：矩形A2024OC2024B2024的面积为， 故答案为：，． 当堂小测 学生： 成绩： 日期： 1．如图，与是位似图形，点O是位似中心，若OA:AD=1:2，且的周长为1，则的周长为（  B  ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，四边形ABCD和四边形是位似图形，位似比为，且四边形ABCD的周长为36，则四边形的周长为（  C ） A．16 B．24 C．54 D．81 3．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为(1,0)，点E的坐标为(2,0)，若的周长为5，则的周长是（ C  ） A．2 B．5 C．10 D．20 4．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA:AE=1:2，且四边形ABCD的周长为5，则四边形EFGH的周长为（  A ） A．10 B．15 C．20 D．45 5．如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形．若OA:=1:3，四边形ABCD的周长是3，则四边形的周长是（   C ） A．1 B．3 C．9 D．27 6．如图，的顶点坐标分别为A(1,3)，B(4,2)，C(2,1)． (1)作出与关于x轴对称的； (2)以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得． (3)的面积为_______． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)10 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标的变化得出A，B，C关于x轴的对称点，即可得出答案； （2）把A，B，C的坐标乘以-2得到其对应点再连线即可得出答案； （3）利用割补法求解即可； 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：，即为所求； （3）解：的面积为=6×4-×2×6-×2×4-×2×4=10． ( 第 1 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $