22.2二次函数与一元一次方程 第4讲 二次函数与方程不等式综合讲义2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

第4讲 二次函数与方程、不等式综合 知识点1二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系） 抛物线与x轴交点的个数是由一元二次方程中的决定。 若，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不等的实根，这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。 若，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。 若，抛物线图象与x轴没有交点，方程无实根，抛物线在x轴上方，，抛物线在x轴下方。 【典例】 1.下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（　　） A. 没有交点 B. 只有一个交点，且它位于y轴右侧 C. 有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D. 有两个交点，且它们均位于y轴右侧 【答案】D. 【解析】解：当y=0时，ax2﹣2ax+1=0， ∵a＞1 ∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0， ax2﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点， x=＞0， 故选：D． 2.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是______ 【答案】﹣5＜t≤4 【解析】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直线y=t的交点的横坐标， 当x=1时，y=3， 当x=5时，y=﹣5， 由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解， 直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4， ∴﹣5＜t≤4． 3.已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下： 则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（　　） A. 1.2＜x＜1.3 B. 1.3＜x＜1.4 C. 1.4＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜1.6 【答案】C. 【解析】解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根． ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5． 故选：C． 4.若方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（　　） A. x=﹣3 B. x=﹣2 C. x=﹣1 D. x=1 【答案】C. 【解析】解：∵方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1， ∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）． ∵此两点关于对称轴对称， ∴对称轴是直线x==﹣1． 故选：C． 【方法总结】 解这类题的方法是：求二次函数与x轴交点问题，可以转化成对应的一元二次方程根的问题。当一元二次程的，二次函数与x轴有两个交点，时，二次函数与x轴有一个交点，时，二次函数与x轴没有交点。 【随堂练习】 1．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4 【解答】解：当k=3时，函数y=2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点； 当k≠3，函数y=（k﹣3）x2+2x+1是二次函数， 当22﹣4（k﹣3）≥0， k≤4 即k≤4时，函数的图象与x轴有交点． 综上k的取值范围是k≤4． 故选：D． 2．设二次函数y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）． （1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由． （2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式． （3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0． 【解答】解：（1）设y=0 ∴0=ax2+bx﹣（a+b） ∵△=b2﹣4•a[﹣（a+b）]=b2+4ab+4a2=（2a+b）2≥0 ∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根． ∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个 （2）当x=1时，y=a+b﹣（a+b）=0 ∴抛物线不经过点C 把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得 解得 ∴抛物线解析式为y=3x2﹣2x﹣1 （3）当x=2时 m=4a+2b﹣（a+b）=3a+b＞0① ∵a+b＜0 ∴﹣a﹣b＞0② ①②相加得： 2a＞0 ∴a＞0 　 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c过点A（1，0），C（﹣4，5），且拋物线与x轴交于另一点B． （1）求该拋物线的函数表达式； （2）连接AC，交y轴于点D，若点E是线段AC下方抛物线上的一点．求△ADE面积的最大值． 【解答】解：（1）将A（1，0）、C（﹣4，5）代入y=x2+bx+c中， 得：，解得：， ∴该拋物线的函数表达式为y=x2+2x﹣3． （2）过点E作EF∥y轴，交线段AC于点F，如图所示． 设直线AC的函数表达式为y=mx+n（m≠0）， 将A（1，0）、C（﹣4，5）代入y=mx+n中， 得：，解得：， ∴直线AC的函数表达式为y=﹣x+1． 设点E的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点F的坐标为（x，﹣x+1）， ∴EF=﹣x+1﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x+4， ∴S△ADE=S△AEF﹣S△DEF=AO•EF=﹣x2﹣x+2=﹣（x+）2+． ∵﹣＜0， ∴当x=﹣时，△ADE的面积取最大值，最大值为． 知识点2二次函数与一次函数的综合 求二次函数与一次函数的交点时，直接把二次函数与一次函数联立，求出的x值就是他们交点的横坐标，根据横坐标求出函数的纵坐标。 【典例】 1.已知二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=x+1，则它们交点的个数是_______ 【答案】2个 【解析】解：由题意得：x2﹣4x+3=x+1， 整理得：x2﹣5x+2=0 ∵△=25﹣8＞0 ∴x2﹣5x+2=0有两个不相等的实数根， ∴二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=x+1有两个交点， 2.若b＜0，则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】解：∵b＜0， ∴一次函数y=ax+b图象与y轴的负半轴相交， 故排除A、C选项， B、D选项中，一次函数图象经过第一三象限， ∴a＞0， 二次函数开口向上， 故D选项不符合题意， ∵a＞0，b＜0时， 对称轴x=﹣＞0，B选项符合题意． 故选：B． 3.已知关于x的二元一次函数y=x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4． （1）探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数； （2）设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式． 【解析】解答：（1）令y=0得，x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4=0， ∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2+3m+4）=﹣16m﹣15． ①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即﹣16m﹣15＞0， 解得，m＜﹣， 此时，y的图象与x轴有两个交点． ②当△=0时，方程有两个相等的实数根，即﹣16m﹣15=0， 解得，m=﹣， 此时，y的图象与x轴有一个交点． ③当△＜0时，方程没有的实数根，即﹣16m﹣15＜0， 解得，m＞﹣， 此时，y的图象与x轴没有一个交点． ∴m＜﹣，图象与x轴有两个交点；m=﹣，图象与x轴只有一个交点；m＞﹣，图象与x轴没有交点； （2）由根与系数的关系得： x1+x2=2m﹣1，x1×x2=m2+3m+4． ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2m﹣1）2﹣2（m2+3m+4）=2m2﹣10m﹣7． ∵x12+x22=5， ∴2m2﹣10m﹣7=5． 解得m1=6，m2=﹣1． ∵m＜﹣， ∴m=﹣1． ∴y=x2+3x+2． 令x=0，得y=2． ∴二次函数y的图象与x轴的交点C坐标为（0，2）． 又y=x2+3x+2=（x+32）2﹣14， ∴顶点M的坐标为（﹣32，﹣14）． 设过C（0，2）与M（﹣32，﹣14）的直线解析式为y=kx+b， 则， 解得， 所以直线CM的解析式为y=x+2． 4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2的顶点为D．线段AB的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m）． （1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值； （3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围． 【解析】解：（1）∵y=x2﹣2mx+m2﹣m+2=（x﹣m）2﹣m+2， ∴D（m，﹣m+2）； （2）∵抛物线经过点B（1，m）， ∴m=1﹣2m+m2﹣m+2， 解得：m=3或m=1； （3）根据题意：∵A（﹣3，m），B（1，m）， ∴线段AB：y=m（﹣3≤x≤1）， 与y=x2﹣2mx+m2﹣m+2联立得： x2﹣2mx+m2﹣2m+2=0， 令y=x2﹣2mx+m2﹣2m+2， 若抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2与线段AB只有1个公共点， 即函数y在﹣3≤x≤1范围内只有一个零点， 当x=﹣3时，y=m2﹣4m+11＜0， ∵△＞0， ∴此种情况不存在， 当x=1时，y=m2+4m+3≤0， 解得1≤m≤3． 【方法总结】 解二次函数图象与一次函数综合这类题的方法是：用矛盾法判定。当这些系数没有矛盾时，此选项正确，当这些系数有矛盾时，此选项错误。应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【随堂练习】 1．如图，一条抛物线与x轴相交于A （x1，0）、B（x2，0）两点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN上移动．M、N的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2）．x1的最小值为﹣3，则x2的最大值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．5 【解答】解：抛物线顶点平移到点M时，由已知x1的最小值为﹣3 则设此时抛物线解析式为：y=a（x+1）2+2 把（﹣3，0）代入得 a=﹣ 则当抛物线顶点平移到N时，解析式为y=﹣（x﹣1）2+2． 当y=0时，解得抛物线与x轴交点坐标为（3，0）或（﹣1，0） 则x2的最大值为3 故选：C． 知识点3二次函数与不等式的综合 1.二次函数与一元二次不等式之间的关系 若，的解集为； 的解集为。 若，的解集为； 的无解。 若，的解集为x可取任意实数。 的无解。 2.二次函数与一次函数不等关系 此类问题首先要先找到交点，如果交点为2 个，那么把这个图象分为了3份，数形结合，自变量相同，谁高谁大。 【典例】 1.如图，一次函数y1=mx+n（m≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于两点A（﹣1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围______ 【答案】﹣1≤x≤9 【解析】解：由两个函数的图象知：当y1≥y2时，﹣1≤x≤9． 2.若不等式ax2+7x﹣1＞2x+5对﹣1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是______ 【答案】2＜x＜3 【解析】解：由ax2+7x﹣1＞2x+5得，ax2+5x﹣6＞0， ∵当x=0时，﹣6＞0不成立， ∴x≠0， ∴关于a的一次函数y=x2•a+5x﹣6， 当a=﹣1时，y=﹣x2+5x﹣6=﹣（x﹣2）（x﹣3）， 当a=1时，y=x2+5x﹣6=（x﹣1）（x+6）， ∵不等式对﹣1≤a≤1恒成立， ∴， 解得2＜x＜3． 3.在同一坐标系下，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是_______ 【答案】0＜x＜2 【解析】解：由图可知，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的交点坐标为（0，0），（2，4）， 所以，不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0＜x＜2． 4.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）． （1）求m的值和抛物线的解析式； （2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案） 【解析】主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质．要具备读图的能力． 解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得： 0=1+m 0＝1+b+c 2＝9+3b+c， ∴m=-1，b=-3，c=2， 所以y=x-1，y=x2-3x+2； （2）x2-3x+2＞x-1，解得：x＜1或x＞3． 【方法总结】 解这类题的方法是：先利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的交点， 牢记:函数值大的函数在函数值小函数的上方！ 【随堂练习】 1．如图，一次函数y1=mx+n（m≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于两点A（﹣1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围（　　） A．﹣1≤x≤9 B．﹣1≤x＜9 C．﹣1＜x≤9 D．x≤﹣1或x≥9 【解答】解：由两个函数的图象知：当y1≥y2时，﹣1≤x≤9． 故选：A． 2．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是______． 【解答】解：由图可知，对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（5，0）， ∴函数图象与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0）， ∴ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5． 故答案为：x＜﹣1或x＞5． 3．已知二次函数y=﹣x2+4x （1）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴方程； （2）在所给坐标系中画出该函数的函数； （3）根据图象直接写出不等式﹣x2+4x＞3的解集． 【解答】解：（1）y=﹣x2+4x=﹣x2+4x﹣4+4=﹣（x﹣2）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（2，4），对称为x=2． （2）当y=0时，﹣x2+4x=0，解得：x=0或x=4， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（4，0）． 所以抛物线的图象如图所示： （3）不等式﹣x2+4x＞3的解集为抛物线位于直线y=3下方时，自变量x的取值范围， ∴﹣x2+4x＞3的解集x＜1或x＞3． 综合运用：二次函数与方程、不等式的综合 1.已知二次函数y=﹣x2+2x+3与x轴的交点为A、B（A在 B的左边），与y轴交点为C，顶点为D． （1）在图中给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象（要求所画图象与坐标轴交点A、B、与y轴交点为C，顶点为D的位置准确）． （2）若M（m﹣1，y1），N（m，y2）是函数y=﹣x2+2x+3图象上的两点，且m＜1，请比较y1，y2的大小关系．（直接写结果） （3）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1有实数根，写出实数n的范围． （4）你能利用函数图象求不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集吗？写出你的结果． 【解析】解：（1）对于y=﹣x2+2x+3， 当y=0时，﹣x2+2x+3=0， 解得：x=﹣1，或x=3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； 当x=0时，y=3， ∴C（0，3）； ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）， 该二次函数的大致图象如图1所示： （2）∵抛物线y=﹣x2+2x+3的对称轴为x=1，m﹣1＜m＜1， 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴y1＜y2； （3）把一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1化成一般形式得x2﹣2x+n﹣4=0， ∵一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1有实数根， ∴△=4﹣4（n﹣4）≥0， 解得：n≤5； （4）能，不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集为﹣2＜x＜3，理由如下： 一次函数y=x﹣3的图象如图2所示： 当﹣x2+2x+3=x﹣3时， 解得：x=﹣2或x=3， 根据图象得：不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集为﹣2＜x＜3． 2.已知二次函数y1=x2﹣2x﹣3及一次函数y2=x+m． （1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标； （2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y2=x+m有三个不同公共点时m的值； （3）当0≤x≤2时，函数y=y1+y2+（m﹣2）x+3的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围． 【解析】解：（1）∵y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4） ∵y1=x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交， ∴x2﹣2x﹣3=0， ∴（x﹣3）（x+1）=0， ∴x=﹣1，或x=3， ∴抛物线与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0）， （2）翻折后所得新图象如图所示， 平移直线y2=x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同公共点，如图所示， ①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣1，0）， ∴0=﹣1+m，即m=1； ②当直线位于l2时， 此时l2与函数y=﹣x2+2x+3（﹣1≤x≤3）的图象有一个公共点， ∴方程x+m=﹣x2+2x+3， 即x2﹣x﹣3+m=0有一个根， 故△=1﹣4（m﹣3）=0， 即m=； （3）∵y=y1+y2+（m﹣2）x+3 =x2+（m﹣3）x+m， ∵当0≤x≤2时，函数y=x2+（m﹣3）x+m的图象与x轴有两个不同的交点， ∴m应同时满足下列三个方面的条件： 方程x2+（m﹣3）x+m=0的判别式△=（m﹣3）2﹣4m=（m﹣1）（m﹣9）＞0， 抛物线y=x2+（m﹣3）x+m的对称轴满足0＜＜2， 当x=0时，函数值y=m≥0， 当x=2时，函数值y=3m﹣2≥0， 即， 解得； ∴当时，函数图象y=y1+y2+（m﹣2）x+3（0≤x≤2）与x轴有两个不同交点． 3.小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整： 例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解． （1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）． （2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解． 如图，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=　 的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解． （3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=　　　　　　的图象与一个一次函数y=　　的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解． 【解析】解：（1）由原方程，得： =0，即=； 解得x1=，x2=． （2）设二次函数方程为y=ax2+bx+c（a，b，c均为实数，且a≠0）． 由图象得知，该函数过点（0，﹣1），所以该点满足方程y=ax2+bx+c， ∴把（0，﹣1）代入方程y=ax2+bx+c，得c=﹣1，① 二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2﹣x﹣1=0的解； ∴x1•x2==﹣1，即c=﹣a；② x1+x2==1；③ 由①②③，得： ； ∴二次函数方程为y=x2﹣x﹣1． （3） 4.利用图象解一元二次方程x2﹣2x﹣1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解． （1）请再给出一种利用图象求方程x2﹣2x﹣1=0的解的方法； （2）已知函数y=x3的图象（如图），求方程x3﹣x﹣2=0的解．（结果保留2个有效数字） 【解析】解：（1）方法：在直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣1和直线y=2x，其交点的横坐标就是方程的解． （2）在图中画出直线y=x+2与函数y=x3的图象交于点B，得点B的横坐标x≈1.5， ∴方程的近似解为x≈1.5． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 二次函数与方程、不等式综合 知识点1二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系） 抛物线与x轴交点的个数是由一元二次方程中的决定。 若，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不等的实根，这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。 若，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。 若，抛物线图象与x轴没有交点，方程无实根，抛物线在x轴上方，，抛物线在x轴下方。 【典例】 1.下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（　　） A. 没有交点 B. 只有一个交点，且它位于y轴右侧 C. 有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D. 有两个交点，且它们均位于y轴右侧 2.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是______ 3.已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下： 则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（　　） A. 1.2＜x＜1.3 B. 1.3＜x＜1.4 C. 1.4＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜1.6 4.若方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（　　） A. x=﹣3 B. x=﹣2 C. x=﹣1 D. x=1 【方法总结】 解这类题的方法是：求二次函数与x轴交点问题，可以转化成对应的一元二次方程根的问题。当一元二次程的，二次函数与x轴有两个交点，时，二次函数与x轴有一个交点，时，二次函数与x轴没有交点。 【随堂练习】 1．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4 2．（2018•杭州）设二次函数y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）． （1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由． （2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式． （3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0． 3．（2018•安徽模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c过点A（1，0），C（﹣4，5），且拋物线与x轴交于另一点B． （1）求该拋物线的函数表达式； （2）连接AC，交y轴于点D，若点E是线段AC下方抛物线上的一点．求△ADE面积的最大值． 知识点2二次函数与一次函数的综合 求二次函数与一次函数的交点时，直接把二次函数与一次函数联立，求出的x值就是他们交点的横坐标，根据横坐标求出函数的纵坐标。 【典例】 1.已知二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=x+1，则它们交点的个数是_______ 2.若b＜0，则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（　　） A. B. C. D. 3.已知关于x的二元一次函数y=x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4． （1）探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数； （2）设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式． 4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2的顶点为D．线段AB的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m）． （1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值； （3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围． 【方法总结】 解二次函数图象与一次函数综合这类题的方法是：用矛盾法判定。当这些系数没有矛盾时，此选项正确，当这些系数有矛盾时，此选项错误。应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【随堂练习】 1．如图，一条抛物线与x轴相交于A （x1，0）、B（x2，0）两点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN上移动．M、N的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2）．x1的最小值为﹣3，则x2的最大值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．5 知识点3二次函数与不等式的综合 1.二次函数与一元二次不等式之间的关系 若，的解集为； 的解集为。 若，的解集为； 的无解。 若，的解集为x可取任意实数。 的无解。 2.二次函数与一次函数不等关系 此类问题首先要先找到交点，如果交点为2 个，那么把这个图象分为了3份，数形结合，自变量相同，谁高谁大。 【典例】 1.如图，一次函数y1=mx+n（m≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于两点A（﹣1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围______ 2.若不等式ax2+7x﹣1＞2x+5对﹣1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是______ 3.在同一坐标系下，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是_______ 4.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）． （1）求m的值和抛物线的解析式； （2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案） 【方法总结】 解这类题的方法是：先利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的交点， 牢记:函数值大的函数在函数值小函数的上方！ 【随堂练习】 1．如图，一次函数y1=mx+n（m≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于两点A（﹣1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围（　　） A．﹣1≤x≤9 B．﹣1≤x＜9 C．﹣1＜x≤9 D．x≤﹣1或x≥9 2．（2018•冠县二模）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是______． 3．（2018•长丰县一模）已知二次函数y=﹣x2+4x （1）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴方程； （2）在所给坐标系中画出该函数的函数； （3）根据图象直接写出不等式﹣x2+4x＞3的解集． 综合运用：二次函数与方程、不等式的综合 1.已知二次函数y=﹣x2+2x+3与x轴的交点为A、B（A在 B的左边），与y轴交点为C，顶点为D． （1）在图中给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象（要求所画图象与坐标轴交点A、B、与y轴交点为C，顶点为D的位置准确）． （2）若M（m﹣1，y1），N（m，y2）是函数y=﹣x2+2x+3图象上的两点，且m＜1，请比较y1，y2的大小关系．（直接写结果） （3）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1有实数根，写出实数n的范围． （4）你能利用函数图象求不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集吗？写出你的结果． 2.已知二次函数y1=x2﹣2x﹣3及一次函数y2=x+m． （1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标； （2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y2=x+m有三个不同公共点时m的值； （3）当0≤x≤2时，函数y=y1+y2+（m﹣2）x+3的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围． 3.小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整： 例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解． （1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）． （2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解． 如图，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=　 的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解． （3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=　　　　　　的图象与一个一次函数y=　　的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解． 4.利用图象解一元二次方程x2﹣2x﹣1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解． （1）请再给出一种利用图象求方程x2﹣2x﹣1=0的解的方法； （2）已知函数y=x3的图象（如图），求方程x3﹣x﹣2=0的解．（结果保留2个有效数字） 学科网（北京）股份有限公司 $