四川省荣县中学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

四川省荣县中学校2025-2026学年高三上10月月考 数学试题 一、单选题 1．已知命题，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．复数，其中i为虚数单位，则（    ） A． B．2 C． D．5 3．曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 5．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 7．若函数单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若．且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 10．随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即，，则（    ） A． B． C． D． 11．若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知向量，，若，则 ，若，则 ． 13． 14．对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则 ． 四、解答题 15．如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． (1)证明：直线直线; (2)求直线与平面所成的角的大小． 16．2021年，中国新能源汽车销售火爆，A省相关部门调查了该省2021年1月份至10月份的新能源汽车销量情况，得到一组样本数据（，）（i＝1，2，…，10），其中表示第i个月，表示第i个月A省新能源汽车的销量（单位：万辆），由样本数据的散点图可知，y与x具有线性相关关系，并将这10个月的数据作了初步处理，得到下面一些统计量的值： 1.5 89.1 385 15 (1)建立y关于x的线性回归方程，并估计A省12月份新能源汽车的销量； (2)为鼓励新能源汽车销售商积极参与调查，A省汽车行业协会针对新能源汽车销售商开展抽奖活动，所有费用由某新能源汽车厂商赞助．奖项共设一、二、三等奖三个奖项，其中一等奖、二等奖、三等奖分别奖励2万元、1万元、5千元，抽中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为，，．现有甲、乙两家汽车销售商参加了抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求这两家汽车销售商所获奖金总额X（单位：万元）的分布列及数学期望． 附：对于一组数据（，），（，），…，（，），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 17．在△中，内角所对的边分别是，已知，，. (1)求的值； (2)求△的面积. 18．已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）． (1)计算． (2)设函数． ①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求； ②若且，函数，证明：． 19．已知函数，其中为自然对数的底，. (1)求证：； (2)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的取值集合，若不存在请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 四川省荣县中学校2025-2026学年高三上10月月考 数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A D B D C CD ABC 题号 11 答案 BC 1．D 【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得： 命题的否定是． 故选：D 2．C 【分析】根据给定条件，利用复数模的计算公式求解即得. 【详解】因为，则 故选：C 3．B 【分析】求函数在处的导数即可. 【详解】因为， 所以 曲线在点处的切线的斜率为． 故选：B 4．A 【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案. 【详解】由题意得，即，则． 故选：A． 5．D 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 6．B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 7．D 【分析】由恒成立，分离常数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】依题意，即对任意恒成立， 即恒成立，因为（当且仅当时取“=”）， 所以. 故选：D 8．C 【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答. 【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有， 又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，      显然平面，于是平面，又平面， 因此平面平面，显然平面平面， 直线平面，则直线在平面内的射影为直线， 从而为直线与平面所成的角，令，则，在中，由余弦定理得： ， 由正弦定理得，即， 显然是锐角，， 所以直线与平面所成的角的正切为. 故选：C 9．CD 【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】，当且仅当时等号成立， 则或， 则， 即AB错误，D正确. 对于C选项，，C选项正确. 故选：CD 10．ABC 【分析】A选项，根据正态分布对称性得到A正确；BC选项，根据正态分布和二项分布求期望和方差公式求出答案；D选项，利用二项分布求概率公式进行求解. 【详解】A选项，根据正态分布的定义得，故A正确； B选项，，，故，故B正确； C选项，，，故，故C正确； D选项，，故D错误. 故选：ABC． 11．BC 【分析】利用赋值法计算可判断A错误，BC正确，对二项展开式两边同时求导并令计算可判断D错误. 【详解】对于A：令，则，故A错误； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则，故C正确； 对于D，由， 两边同时求导得， 令，则，故D错误. 故选：BC. 12． 【分析】根据平面向量共线以及垂直的坐标运算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，若，则； 若，则 故答案为:; 13．2 【详解】 14．/ 【分析】由已知结合新定义及元素与集合的关系，利用不等式的性质可求． 【详解】由与都是集合的元素， 不妨设， 因为，所以， 由已知，所以，则， 又，所以，即， 所以， 所以，， 则，即， 因为，所以，则，即. 故答案为：． 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明垂直； （2）求出平面的法向量，利用线面角的公式可求答案. 【详解】（1）不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， ,. ,因为，所以. （2），, 易知平面的一个法向量为, 设直线与平面所成的角为，则， 所以，即直线与平面所成的角的大小为. 16．(1)，A省12月份新能源汽车的销量约为万辆 (2)分布列见解析； 【分析】（1）根据直线回归方程求出，代入便可求出线性回归方程 （2）根据独立事件的概率计算方法算出两个参加抽奖车商的分布列，然后根据期望计算公式求出期望值. 【详解】（1）解：由题意得： ， 当时， 故A省12月份新能源汽车的销量约为万辆. （2）这两家汽车销售商所获得的奖金总额X（单位：万元）可取4，3，2.5，2，1.5，1； ,,, ,,, 分布列如下： X（单位：万元） 4 3 2.5 2 1.5 1 P 数学期望为： 17．(1) (2) 【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解； （2）先用同角三角函数关系式求出，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由余弦定理可得 ，即， 解得， （2）∵，且， ∴, 由得，, ∴. 故△的面积为. 18．(1)18 (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）根据题设定义，即可求解； （2）根据题设定义，得到，（i）先利用极值点的定义，求得，进而有，即可求解；（ii）构造函数，利用导数与函数单调性间的关系得到，再构造函数，利用二次函数的性质得到的单调性，从而得到，即可求解. 【详解】（1）原式 ． （2） ．             （i）． 当或时，；当时，．                 所以在和上是增函数，在上是减函数， 所以的极大值点为，极小值点为1．                 因为的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0， 所以，                     则公差，所以，                    所以．                 （ii）因为， 所以在上无零点，在上存在唯一零点，且．                 令， 则， 当时，单调递增；当时，单调递减．                 所以，                     而，所以．                     令，则． 因为在上单调递诚， 所以当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增，                 所以， 而，所以．                 综上，． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）令，其中，利用导数法可得出，再利用余弦函数的有界性以及不等式的基本性质可证得结论成立； （2）令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，验证对任意能否恒成立，综合可得出实数的取值集合. 【详解】（1）证明：令，其中，则，. 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，即， 故对任意的，. （2）解：令，其中， 若存在实数，使得恒成立，则，其中， 令，令. 令. ①当时，由（1）可知，且不恒为零，、 此时，函数在上为增函数， 因为，所以，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，合乎题意； ②当时，，当时，， 当时，， 所以，函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在，使得， 当时，，则函数在上单调递减， 则当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递减， 故当时，，不合乎题意； ③当时，若，则存在，使得， 且当时，； 若时，可取，当时，. 因此，当时，函数在上为增函数， 当时，，所以，函数在上为增函数， 当时，，所以，函数在上为增函数， 故当时，，不合乎题意. 综上所述，存在，使得恒成立， 故实数的取值集合为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $