已知曲线的切线方程求参数值及其范围 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题五、已知曲线的切线方程求参数值及其范围 1.切点的三重身份：(1)切点在切线上；(2)切点在曲线上；(3)曲线在切点处的导数值等于切线的斜率. 2.共切点公切线地理：当和与公切线切于同一点，设切点为，如图1，则有如下等量关系： 3.非公共切点公切线定理：当和与公切线切于两点点，如图2，则有如下等量关系： 图1 图2 例题1：函数在点处的切线方程为，则 ， . 答案： 解析：对函数求导可得，由已知条件可得，即，解得. 例题2：已知曲线在的切线方程为，则 ， . 答案： 解析：对函数求导可得，由题意可知，即，解得. 例题3：若曲线与曲线存在公共切线，则实数的取值范围是 . 答案： 解析：结合函数和的图像可知，如右图： 要使曲线和存在公共切线，只要方程在上有解，从而，令，即直线与函数图像有交点，则，得，，得，所以函数在单调递减，单调递增，所以，所以. 例题4：若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则该切线方程为 . 答案： 解析：函数的定义域为，，设曲线与曲线公共点为,由于在公共点处有共同的切线,所以,解得，，由，可得，联立方程组，解得，则切点坐标为，切线斜率为，所以切线方程为. 例题5：已知函数与的图像在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数变化时，实数的取值范围是( ) 答案： 解析：设切点为，则，整理的，所以，解得，且，令，求导得恒成立，所以函数在单调递减，则，即，故选. 例题6：若函数在上仅有一个零点，则 . 答案： 解析：方法一：由已知函数在上仅有一个零点，等价于方程在在上仅有一个解，即方程有一个解，即曲线与曲线在第一象限有唯一交点，此时两曲线相切，设切点为，则，即，即，解得或， (1)当时，，显然不和题意，舍去； (2)当时，，则. 方法二：令，则，得，两边取对数， ，则，令，求导得，由，得，，得，如下图： 数形结合，可知. 例题7：已知为常数，若曲线上存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是 . 答案： 解析：方法一：由题意知曲线上存在某点的导数值为，所以方程有正实数根，即方程有正根， ①当时，显然满足条件； ②当时，需满足，则 综上所述，实数的取值范围是. 方法二：由题意知曲线上存在某点的导数值为，所以方程有正实数根，即方程有正根，令，则直线与函数的的图像有交点，，由，得，，得，则，如下图： 数形结合，可得，即. 例题8：已知点是函数图像上一点，点是函数图像上一点，若存在使得成立，则的值为 . 答案： 解析：因为，且函数的图像是斜率为的直线，所以，解得，则曲线在处的切线方程为，又直线与直线平行，且它们之间的距离为，如图所示： 因为,所以最小时,点为切点且坐标为,所以,解得. 例题9：若直线与曲线相切于点,则( ) 答案： 解析：对求导可得，因为直线与曲线相切于点，所以，解得，故选. 学科网（北京）股份有限公司 $专题五、己知曲线的切线方程求参数值及其范围 1.切点的三重身份：(1)切点在切线上；(2)切点在曲线上；(3)曲线在切点处的导数值等于切 线的斜率。 2.共切点公切线地理：当y=f(x)和y=g(x)与公切线切于同一点，设切点为P(xo,yo), f(xo)=g'(xo) 如图1，则有如下等量关系： f(xo)=g(xo) 3.非公共切点公切线定理：当y=f(x)和y=g(x)与公切线切于两点点 P(,0(,),如图2，则有如下等量关系：f"(x)=g'(x,)=f）-8) X1-X2 fx) g(x) fx) g(x) 0 图1 图2 例题1：函数f=anx+。在点0，f0)处的切线方程为x+2y-3=0,则a=一 x+1 x b= 例题2：己知曲线f)=ae'nr+he 在(1.fI)的切线方程为y=e(x-1)+2,则 a=-,b=- 例题3：若曲线C:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=e存在公共切线，则实数a的取值范围 是一 例题4：若函数f(x)=alnx与函数g(x)=√x,在公共点处有共同的切线，则该切线方程 为一 例题5：已知函数f(x)=a(a>0)与g(x)=2x2-m(m>0)的图像在第一象限有公共点， 且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围是() 例题6：若函数fx)=e -x2+2x在(0，+o)上仅有一个零点，则a= 例题7：己知a为常数，若曲线y=ax2+3x-lnx上存在与直线x+y-1=0垂直的切线， 则实数a的取值范围是一 例题8：己知点P(x,y)是函数f(x)=2x图像上一点，点Q(x2,y2)是函数g(x)=2lnx图 2v5 像上一点，若存在，使得1P长兮成立，则x的值为 5 例题9：若直线y=二x与曲线y=mx-ln(2x+1)相切于点O(0,0),则m=() 2 A.0 B. c号 9 D ·2