第十五章 轴对称图形与等腰三角形（单元测试·提升卷）数学沪科版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十五章 轴对称图形与等腰三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）下面四幅图是天气图标，其中是轴对称图形的是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，B、C、D均不是轴对称图形，故不符合要求； A中是轴对称图形，故符合要求； 故选：A． 2．（本题4分）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标的对称，利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案，解题的关键是熟知关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为， 故选：． 3．（本题4分）如图，在中，是它的角平分线，是它的中线，，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的中线的概念、角平分线的性质是解题的关键；过点D作于G，于H，根据角平分线的性质得到，从而得到，再根据高相等的两三角形，底边比等于面积比可得，进而求出，再根据中线的性质求出，即可得解； 【详解】解：如图，过点D作于G，于H，     ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线，， ∴， ∴， 故选：． 4．（本题4分）如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质， 根据是的垂直平分线得，继而得到，可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴周长为． 故选：B． 5．（本题4分）如图，在中，，，，若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．10 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一是解答本题的关键．先根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到，再根据三线合一得到，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：在中，，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， 即． 故选：D． 6．（本题4分）在中，，，，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据含30度角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：B． 7．（本题4分）如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到，下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东省佛山市南海区桂城街道灯湖初级中学2024-2025学年九年级下学期6月月考数学试题 【分析】本题考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．依据折叠即可得到，进而得出的形状． 【详解】解：由题可得，与可重合，即， ∴是等腰三角形，， 故A选项正确，不符合题意； ∵与可重合，折痕是 ∴，，， 故B、C选项正确，不符合题意； 根据已知条件无法得出，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 8．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，点B在直线上，轴于点A，且点A的坐标为，若点A与点关于x轴对称，点B与点关于y轴对称，则直线与x轴的交点坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称点的坐标特征． 根据条件分别求出点、的坐标，再利用中位线性质得到，继而求出直线与x轴的交点坐标即可． 【详解】解：在直线中，当时，， ∴， ∵点A与点关于x轴对称，点B与点关于y轴对称， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9．（本题4分）在平面直角坐标系中，已知点，，动点在直线上，当的值最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与几何综合； 作点为点关于的对称点，则，连接交直线于点，此时点就是的值最小时的位置，设直线的解析式为，代入点，求出，将代入计算即可． 【详解】解：如图，作点为点关于的对称点，则，连接交直线于点，此时点就是的值最小时的位置， 设直线的解析式为，代入点得： ，解得， ， 当时，，解得， ， 故选：D 10．（本题4分）如图，，和都是等边三角形，F为中点， 交于G点，下列结论中，正确的结论有（   ）个． ①；②四边形是菱形；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由和都是等边三角形，可得，，则，，如图，连接，则，由，，可得垂直平分，即，可判断①的正误；，，由，可得，则四边形不是菱形，可判断②的正误；由是等边三角形，F为中点，可得，即，证明，，可证四边形是平行四边形，则，，即，可判断③的正误；由，，，可证，可判断④的正误． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，， 如图，连接， ∵，F为中点， ∴， ∵，， ∴垂直平分，即，①正确，故符合要求； ∴， ∴， ∵， ∴，四边形不是菱形，②错误，故不符合要求； 是等边三角形，F为中点， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，即，③正确，故符合要求； ∵，，， ∴，④正确，故符合要求； 故选：C． 行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。 【详解】解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，将其左右翻转后，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：． 故答案为：． 12．（本题5分）如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键． 利用线段垂直平分线的性质来求解的周长即可． 【详解】解：和分别为、的垂直平分线， ，， 的周长， 故答案为：． 13．（本题5分）如图，已知在中，与的平分线相交于点，过点作，分别交于点．若，则的周长为 ． 【答案】30 【分析】本题考查等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，掌握等角对等边是解题的关键． 根据平行线的性质和角平分线的定义证，再根据等角对等边可得，据此求解． 【详解】如图，分别是与的平分线， ． 又， ，， ， ， 的周长． 又， 的周长． 故答案为：30． 14．（本题5分）如图，，A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、动点问题及一元一次方程的应用．解题的关键是分情况讨论等腰三角形的构成条件． （1）用t表示线段长度：分情况为确定；或定； （2）分二种情况讨论，排除时，、两种无解情况． 【详解】解：由题意，动点P速度为速度为运动时间为则． ∵A在延长线上， ∴当P在A到O之间时， 当P在O到B之间时，． 又，A在延长线上，故． 要使为等腰三角形，分以下二种情况： ①若，不可能与其它边相等,因是钝角，是三角形内的最大角，根据“大角对大边”可知最长. ∴，, ∴ 解得 ②若因，使为等腰三角形时，必构成等边三角形， ∴ 解得． 综上，t的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（共4小题，每小题8分，共32分） 15．（本题8分）已知：如图，D是等腰中边上一点，E是上的一点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查等边对等角及角的和差计算，结合图形得出，，然后作差即可证明． 【详解】证明：∵等腰， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（本题8分）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．      (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可证明； （2）由，，得出为直角三角形，，再根据，得出，进而求出的长，进而求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴为直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为：． 17．（本题8分）已知在中，，在如图的平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，与轴平行． (1)求点的坐标； (2)在如图的平面直角坐标系中作出关于轴对称的，并在图中标出，两点的坐标； (3)若与关于轴对称，求各顶点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，作轴对称图形，解题关键是正确作出图形． （1）先根据点的坐标及与轴平行，求出点的横坐标，再根据，，，求出点的纵坐标即可； （2）作出关于轴对称的，根据轴对称的性质求出，两点的坐标； （3）作出与关于轴对称，再求出各顶点的坐标． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，与轴平行， ∴点的横坐标为， ∵，，， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为； （2）如图所示，即为所求． ∵点的坐标为，点的坐标为，关于轴对称的， ∴点的坐标，点的坐标； （3）如图，即为所求． ∵与轴平行，，点的坐标为， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为，与关于轴对称， ∴． 18．（本题8分）尺规作图：如图，某快递公司要在区域修建一个快递中转站．要满足中转站到两个城镇的距离必须相等，到两条高速公路的距离也必须相等，中转站应修建在什么位置？在图上标出中转站的位置．（保留必要的作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和角平分线的作法，熟练掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法是解答关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，解平分线上的点到角的两边的距离相等来求解． 【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，再作两条高速公路夹角的平分线相交于点，则，到两条高速公路的距离也必须相等，点即为所求． 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．（本题10分）如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，根据角平分线性质定理得到，再证明，则，再由等腰三角形性质即可证明； （2）先证明，则，那么，再代入数据求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 平分，于E，交的延长线于F， , 在和中， ， ∴， ， 是中点， ； （2）解：由(1)知： 在和 中， ， , ，，， ． 20．（本题10分）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G． (1)求证：G为中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定；熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据等腰三角形的性质可进行求证； （2）与交于点M，由（1）可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分， 又∵， ∴， 即G为的中点； （2）解：如图，与交于点M， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．（本题12分）如图，中，，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形得出，再由，结合直角三角形两锐角互余，推出，通过对顶角相等得到，从而得证． （2）根据已知角的关系和直角三角形性质求出，再利用含角的直角三角形的性质求出，最后结合的长度求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 22．（本题12分）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，以及全等三角形的判定与性质，需熟练掌握分类讨论思想，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据角平分线的性质可得，在由三角形面积公式计算即可； （2）根据三角形面积公式得到，再根据点E和点G的运动速度可表示，，由此可证明； （3）先证明，在分类讨论点M在线段上，点M在线段延长线上两种情况由此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵动点E以的速度从A点向F点运动， 且动点G以的速度从C点向A点运动， 又∵当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动， ∴，． ∴， ∴， ∴在运动过程中，不管t取何值，都有； （3）解：∵在与中， ， ∴， ∴， ∵点E以的速度从A点向F点运动， 且动点G以的速度从C点向A点运动， 又∵当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为t， ∴，． ∴， ∴， ①当M在线段上时，， 当时，与全等， ∴， 解得； ②当M在线段延长线上时，， 当时，与全等， ∴， 解得：， ∴当或时，与全等． 6、 解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．（本题14分）如图1，A，B，C三点共线，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形，则有，． (1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，若把图2中“等边三角形和等边三角形”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形和等腰直角三角形”，其余条件不变，则______°；若，则______． (3)在图2中，若把“等边三角形和等边三角形”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，会变化吗？若变化，设，请用含的式子表示． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)90,6 (3)等腰三角形和等腰三角形，且，时，依然相等， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 对于（1），根据等边三角形的性质得，即可得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），仿照（1）解答即可； 对于（3），添加条件仿照（1）证明，进而得出答案. 【详解】（1）解：成立， 理由如下：∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. ∵，， ∴. （2）解：90，6； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. ∵，， ∴. 故答案为：90,6； （3）解：当和是等腰三角形，且，满足时，依然相等，发生变化， ∵和是等腰三角形，且，， ∴， 即， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵，， ∴. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十五章 轴对称图形与等腰三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）下面四幅图是天气图标，其中是轴对称图形的是（　　） A．B．C． D． 2．（本题4分）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（本题4分）如图，在中，是它的角平分线，是它的中线，，则长为（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图，在中，，，，若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．10 D．5 6．（本题4分）在中，，，，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（本题4分）如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到，下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 8．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，点B在直线上，轴于点A，且点A的坐标为，若点A与点关于x轴对称，点B与点关于y轴对称，则直线与x轴的交点坐标为(　　) A． B． C． D． 9．（本题4分）在平面直角坐标系中，已知点，，动点在直线上，当的值最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，，和都是等边三角形，F为中点， 交于G点，下列结论中，正确的结论有（   ）个． ①；②四边形是菱形；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ． 12．（本题5分）如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为 ． 13．（本题5分）如图，已知在中，与的平分线相交于点，过点作，分别交于点．若，则的周长为 ． 14．（本题5分）如图，，A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 三、解答题（共4小题，每小题8分，共32分） 15．（本题8分）已知：如图，D是等腰中边上一点，E是上的一点，，求证：． 16．（本题8分）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．      (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 17．（本题8分）已知在中，，在如图的平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，与轴平行． (1)求点的坐标； (2)在如图的平面直角坐标系中作出关于轴对称的，并在图中标出，两点的坐标； (3)若与关于轴对称，求各顶点的坐标． 18．（本题8分）尺规作图：如图，某快递公司要在区域修建一个快递中转站．要满足中转站到两个城镇的距离必须相等，到两条高速公路的距离也必须相等，中转站应修建在什么位置？在图上标出中转站的位置．（保留必要的作图痕迹） 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．（本题10分）如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．（本题10分）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G． (1)求证：G为中点； (2)若，求的度数． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．（本题12分）如图，中，，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 22．（本题12分）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等． 6、 解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．（本题14分）如图1，A，B，C三点共线，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形，则有，． (1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，若把图2中“等边三角形和等边三角形”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形和等腰直角三角形”，其余条件不变，则______°；若，则______． (3)在图2中，若把“等边三角形和等边三角形”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，会变化吗？若变化，设，请用含的式子表示． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十五章 轴对称图形与等腰三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）下面四幅图是天气图标，其中是轴对称图形的是（　　） A．B．C． D． 2．（本题4分）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（本题4分）如图，在中，是它的角平分线，是它的中线，，则长为（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图，在中，，，，若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．10 D．5 6．（本题4分）在中，，，，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（本题4分）如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到，下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 8．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，点B在直线上，轴于点A，且点A的坐标为，若点A与点关于x轴对称，点B与点关于y轴对称，则直线与x轴的交点坐标为(　　) A． B． C． D． 9．（本题4分）在平面直角坐标系中，已知点，，动点在直线上，当的值最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，，和都是等边三角形，F为中点， 交于G点，下列结论中，正确的结论有（   ）个． ①；②四边形是菱形；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ． 12．（本题5分）如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为 ． 13．（本题5分）如图，已知在中，与的平分线相交于点，过点作，分别交于点．若，则的周长为 ． 14．（本题5分）如图，，A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 三、解答题（共4小题，每小题8分，共32分） 15．（本题8分）已知：如图，D是等腰中边上一点，E是上的一点，，求证：． 16．（本题8分）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．      (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 17．（本题8分）已知在中，，在如图的平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，与轴平行． (1)求点的坐标； (2)在如图的平面直角坐标系中作出关于轴对称的，并在图中标出，两点的坐标； (3)若与关于轴对称，求各顶点的坐标． 18．（本题8分）尺规作图：如图，某快递公司要在区域修建一个快递中转站．要满足中转站到两个城镇的距离必须相等，到两条高速公路的距离也必须相等，中转站应修建在什么位置？在图上标出中转站的位置．（保留必要的作图痕迹） 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．（本题10分）如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．（本题10分）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G． (1)求证：G为中点； (2)若，求的度数． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．（本题12分）如图，中，，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 22．（本题12分）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等． 6、 解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．（本题14分）如图1，A，B，C三点共线，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形，则有，． (1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，若把图2中“等边三角形和等边三角形”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形和等腰直角三角形”，其余条件不变，则______°；若，则______． (3)在图2中，若把“等边三角形和等边三角形”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，会变化吗？若变化，设，请用含的式子表示． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十五章 轴对称图形与等腰三角形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C B D B D B D C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11． 12．20 13．30 14．或 三、解答题（共4小题，每小题8分,共32分） 15．（本题8分）已知：如图，D是等腰中边上一点，E是上的一点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查等边对等角及角的和差计算，结合图形得出，，然后作差即可证明． 【详解】证明：∵等腰， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．（8分） 16．（本题8分）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．      (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可证明； （2）由，，得出为直角三角形，，再根据，得出，进而求出的长，进而求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；（4分） （2）解：∵，， ∴为直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为：．（8分） 17．（本题8分）已知在中，，在如图的平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，与轴平行． (1)求点的坐标； (2)在如图的平面直角坐标系中作出关于轴对称的，并在图中标出，两点的坐标； (3)若与关于轴对称，求各顶点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，作轴对称图形，解题关键是正确作出图形． （1）先根据点的坐标及与轴平行，求出点的横坐标，再根据，，，求出点的纵坐标即可； （2）作出关于轴对称的，根据轴对称的性质求出，两点的坐标； （3）作出与关于轴对称，再求出各顶点的坐标． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，与轴平行， ∴点的横坐标为， ∵，，， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为；（2分） （2）如图所示，即为所求． ∵点的坐标为，点的坐标为，关于轴对称的， ∴点的坐标，点的坐标；（5分） （3）如图，即为所求． ∵与轴平行，，点的坐标为， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为，与关于轴对称， ∴．（8分） 18．（本题8分）尺规作图：如图，某快递公司要在区域修建一个快递中转站．要满足中转站到两个城镇的距离必须相等，到两条高速公路的距离也必须相等，中转站应修建在什么位置？在图上标出中转站的位置．（保留必要的作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和角平分线的作法，熟练掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法是解答关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，解平分线上的点到角的两边的距离相等来求解． 【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，再作两条高速公路夹角的平分线相交于点，则，到两条高速公路的距离也必须相等，点即为所求． （8分） 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．（本题10分）如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，根据角平分线性质定理得到，再证明，则，再由等腰三角形性质即可证明； （2）先证明，则，那么，再代入数据求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 平分，于E，交的延长线于F， , 在和中， ， ∴， ， 是中点， ；（5分） （2）解：由(1)知： 在和 中， ， , ，，， ．（10分） 20．（本题10分）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G． (1)求证：G为中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定；熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据等腰三角形的性质可进行求证； （2）与交于点M，由（1）可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分， 又∵， ∴， 即G为的中点；（5分） （2）解：如图，与交于点M， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴．（10分） 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．（本题12分）如图，中，，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形得出，再由，结合直角三角形两锐角互余，推出，通过对顶角相等得到，从而得证． （2）根据已知角的关系和直角三角形性质求出，再利用含角的直角三角形的性质求出，最后结合的长度求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴；（6分） （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴．（12分） 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 22．（本题12分）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，以及全等三角形的判定与性质，需熟练掌握分类讨论思想，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据角平分线的性质可得，在由三角形面积公式计算即可； （2）根据三角形面积公式得到，再根据点E和点G的运动速度可表示，，由此可证明； （3）先证明，在分类讨论点M在线段上，点M在线段延长线上两种情况由此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴；（4分） （2）证明：∵，， ∴， ∵动点E以的速度从A点向F点运动， 且动点G以的速度从C点向A点运动， 又∵当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动， ∴，． ∴， ∴， ∴在运动过程中，不管t取何值，都有；（8分） （3）解：∵在与中， ， ∴， ∴， ∵点E以的速度从A点向F点运动， 且动点G以的速度从C点向A点运动， 又∵当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为t， ∴，． ∴， ∴， ①当M在线段上时，， 当时，与全等， ∴， 解得； ②当M在线段延长线上时，， 当时，与全等， ∴， 解得：， ∴当或时，与全等．（12分） 6、 解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．（本题14分）如图1，A，B，C三点共线，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形，则有，． (1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，若把图2中“等边三角形和等边三角形”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形和等腰直角三角形”，其余条件不变，则______°；若，则______． (3)在图2中，若把“等边三角形和等边三角形”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，会变化吗？若变化，设，请用含的式子表示． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)90,6 (3)等腰三角形和等腰三角形，且，时，依然相等， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 对于（1），根据等边三角形的性质得，即可得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），仿照（1）解答即可； 对于（3），添加条件仿照（1）证明，进而得出答案. 【详解】（1）解：成立， 理由如下：∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. ∵，， ∴. （4分） （2）解：90，6； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. ∵，， ∴. 故答案为：90,6； （8分） （3）解：当和是等腰三角形，且，满足时，依然相等，发生变化， ∵和是等腰三角形，且，， ∴， 即， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵，， ∴. （12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $