专题12 解直角三角形应用的七大题型（高效培优专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题12 解直角三角形应用的七大题型 题型一：解直角三角形的相关计算 题型二：解非直角三角形 题型三：不规则图形的边长或面积 题型四：仰角俯角问题 题型五：方向角问题 题型六：坡度坡比问题 题型七：其它问题 题型一：解直角三角形的相关计算 1．如图，在中，，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用含有度的直角三角形的性质求出和的长； （2）先利用线段差求出，再求． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． 2．在中，，，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形．过A点作于D点，则是等腰直角三角形，是含角的直角三角形，解直角三角形即可求解． 【详解】解：过A点作于D点， 在直角三角形中，，， ∴， 在直角三角形中，， ∴． 3．如图，在中，． (1)已知，，求的长． (2)已知，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题关键． （1）根据在中，即可求解； （2）根据在中，求得，通过特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， ． （2）解：在中，， ． 4．如图，在中，，，，，垂足为D，E为的中点，与交于点F，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式以及相似三角形的判定与性质．这些知识点的综合运用，是解决此类几何计算问题的关键． 首先利用勾股定理求出斜边的长度，再通过三角形面积相等求出的长度，然后利用相似三角形的性质求出的长度． 【详解】∵，，， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴． 由勾股定理得，． 过点E作交于点G， ，， ∵， ∴， ∴． 5．已知：如图，在中，，，，求的长和的正切值． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，先根据正弦的定义求出，由勾股定理得出，最后根据正切的定义计算即可得解． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得：， ∴． 题型二：解非直角三角形 6．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 7．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 8．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 9．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，为顶角为的等腰三角形，从而可以求得的值； （2）根据中，，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可以解答本题； （3）根据中，， ，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题． 【详解】（1）解：∵顶角为的等腰三角形是等边三角形， ∴． （2）解：作于点，如图所示： 中，， ， ， ， 即． （3）解：如图③所示，在上截取，作于点E， 中，，， 设，，则． ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． 10．阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用 ，掌握直角三角形的边角关系 ，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提. （1）根据题目提供的方法进行证明即可； （2）根据（1）的结论，直接进行计算即可. 【详解】（1）证明：证明： 如图， 过点作于点， 在中， ， 在中， ， ∴， ； （2）解：∵， ∴， 在中， 又∵， 即， ∴． 11．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：    (1)________． (2)对于，的正对值的取值范围是________． (3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，,，所以. （2）如图，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的；当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的；于是． （3）如图，在上截取，过H作于D，设，则,．解，，． 【详解】（1）解：如图，, , ∵, ∴.    （2）解：如图，点A在的中垂线上，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的； 当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的逐渐接近0，； ∴    （3）解：如图，在上截取，过H作于D， ， 设，则，, ∴． 中，， ∴．    【点睛】本题考查新定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质；添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． 题型三：不规则图形的边长或面积 12．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 13．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】过点N作CD的垂线交于点E，根据对折和平分线可以得到，再利用三角函数可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的长． 【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E 由折叠可知： ，， ∵AN平分 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理可得： 故选：C 【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 14．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【答案】A 【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度． 【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么， ∵坝高，CF⊥AB， ∴DE=CF=5cm 又斜坡的坡比为 ∴BF=12cm， 在RtBCF中 BC= = =13cm 【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义． 15．如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高8米，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度为1：3，则坝底宽BC为（　　） A．36米 B．72米 C．78米 D．38米 【答案】D 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，得到两个直角三角形和一个矩形，根据斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度为1：3求解即可． 【详解】解：如下图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F， ∴四边形AEFD是矩形， ∴AD=EF=6，AE=DF=8． ∵斜坡AB的坡角为45°， ∴BE =AE=8． ∵斜坡CD的坡度为1：3， ∴FC=24， ∴BC=BE+EF+FC=38． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，构造合适的矩形和直角三角形、掌握坡角和坡度的概念是解题的关键． 16．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为37°，建筑物底端的俯角为30°，若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为(精确到米，参考数据：，)（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，根据坡度及AB的长可求出BN的长，进而可求出CN的长，即可得出ME的长，利用∠MBE的正切可求出CM的长，利用∠DCM的正切可求出DM的长，根据DE=DM+ME即可得答案． 【详解】如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M， ∵沿着坡度为的斜坡AB步行26米到达点B处， ∴， ∴AN=2.4BN， ∴BN2+（2.4BN）2=262， 解得：BN=10（负值舍去）， ∴CN=BN+BC=11.6， ∴ME=11.6， ∵∠MCE=30°， ∴CM==11.6， ∵∠DCM=37°， ∴DM=CM·tan37°=8.7， ∴DE=ME+DM=11.6+8.7≈26.7（米）， 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键． 17．如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 18．某班正在点处上体育课，上完体育课后，小巴和小川准备去四食堂处吃午饭，经测量，点位于点的正东方100米处，点位于点的北偏东方向80米处，且位于点正南方30米处，点位于点的正西方，且位于点的东北方向（点、、、、在同一平面内，参考数据：）． (1)求点到点的距离（结果保留整数）； (2)下课后，小巴沿以的速度前往四食堂，小川沿以的速度前往四食堂，请通过计算判断小川与小巴谁先到达四食堂（结果保留整数）？ 【答案】(1)81米 (2)小川先到达四食堂 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，读懂题意，数形结合，掌握方位角表示位置及特殊角的三角函数是解决问题的关键． （1）过点作，交延长线于点，延长交于点，如图所示，根据矩形的判定得到四边形为矩形，结合题意，由特殊角的三角函数值列式求解即可得到答案； （2）先解直角三角形求出，再由小川和小巴运行路线及速度列式求时间，比较长短即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作，交延长线于点，延长交于点，如图所示： 由题意得， 四边形为矩形， 点位于点的北偏东方向80米处， 在中，，米，则米，米， ，点位于点正南方30米处， 米， 点位于点的正东方100米处， 米， 点位于点的东北方向， 在中，，米，则米， ∴（米）， 答：的距离为81米； （2）解：在中，米， 小川沿以米/秒的速度前往四食堂， （秒）； 小巴沿以米/秒的速度前往四食堂， （秒）； ∵， ∴小川先到达四食堂． 19．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：在中，， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 20．重庆市某校数学兴趣小组在水库某段的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的处测得水库右岸处某标志物顶端的仰角为．在处一架无人飞机以北偏西方向飞行米到达点处，无人机沿水平线方向继续飞行30米至处，测得正前方水库右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点、、在同一条直线上． （1）求无人机的飞行高度； （2）求标志物的高度．（结果精确到0.1米） （已知数据：，，，，，，） 【答案】（1）200米；（2）207.3米 【分析】（1）由题意可知，，在中，利用，求，即可得到答案． （2）如详解图， ，，，在中，，，得到，将在中，求出的，以及代入等式，即可求出DC，在中，，即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意可知，． 在中，． ∴米． 所以无人机的飞行高度为200米． （2）过点作，垂足为，则，，． 在中， ∵，即：， ∴． ∴， ∵在中，． ∴， ∴． ∴在中，米． 所以，标志物的高度约为207.3米． 【点睛】本题考查利用三角函数解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法． 题型四：仰角俯角问题 21．如图，某校有一教学楼其上有一避雷针为7米，教学楼后面有一小山，其坡度为,山坡上有一休息亭E供爬山人员休息，测得山坡脚F与教学楼的水平距离为19米，与休息亭的距离为10米，从休息亭E测得教学楼上避雷针顶点C的仰角为，求教学楼的高度.（结果保留根号） 【答案】教学楼的高度为 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用、坡度与坡角等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 根据坡度的定义可得，再根据正切三角函数即可得；先根据直角三角形的性质可得的长，从而可得的长，再根据矩形的判定与性质可得，然后解直角三角形可得的长，最后根据即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：， 在中，， 则， 过点作于点， ∴ 则四边形是矩形， ， 由题意得：， 在中，，米， 米，米， 米， 米， （米）， 在中，（米）， 则（米）， 答：教学楼的高度为． 22．如图，小明为测量宣传牌的高度，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）后，小明沿坡度为的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为． (1)填空： ______度， ______度； (2)求F距离地面的高度（结果保留根号）； (3)求宣传牌的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)， (2)米 (3)米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用． （1）由题意，得，，则，，即可由，求解； （2）过点作于，先证明四边形是矩形，得，解，求出的长，即可求解； （3）解，求得米，再根据是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， ， ， 由题意，得， ， ； （2）如图，过点作于， 由题意得，， 四边形是矩形， ， 在中，米， 米， 答：距离地面的高度为米； （3）解：斜坡的坡度为， 在中，米， 米， 在中，， 米， 在中，米， 米． 答：宣传牌的高度约为米． 23．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进20米至B处，测得仰角为，求这栋楼的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 【答案】这栋楼的高度约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键，设米，在直角中，利用锐角三角函数定义表示出，在直角中，利用锐角三角函数定义表示出，再由列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设米，在直角中，， ∴， ∴米， 在直角中，， ∴， ∴米， ∵米， ∴，即， 解得：， 答：这栋楼的高度约为米 24．如图，一楼房后有一假山，其坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房顶测得点的俯角为，求楼房的高． 【答案】楼房的高为米． 【分析】解题思路为通过作辅助线构造直角三角形，利用坡度求出相关线段长度，再结合俯角的三角函数关系求出楼房高度．本题主要考查了解直角三角形的应用 - 坡度坡角问题、俯角仰角问题，熟练掌握坡度的定义以及三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于，于点． 在中，， 米，米 米，米 在中，， 米 米， 答：楼房AB的高为米． 25．如图，是长为，倾斜角为的自动扶梯，平台与大楼垂直，且与扶梯的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为，求大楼的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，，） 【答案】大楼的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先在中，利用正弦函数可求出的长，再在中，利用正切函数可求出的长，然后根据线段的和差即可得． 【详解】解：如图，作于点F，则， 由题意得：，，，， 在中，， 则， 在中，， 则， 则， 答：大楼的高度约为． 26．某数学兴趣小组在操场上开展利用无人机测量教学楼高度的数学活动．如图，此时无人机在离地面28米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为，又经过人工测量得操控者A和教学楼的距离为53米．求教学楼的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：） 【答案】教学楼的高度约为15米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质； 过点D作于点E，过点C作于点F，在中，解直角三角形求出，可得，证明四边形是矩形，再在中，根据等腰直角三角形的性质可得，然后根据进行计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E，过点C作于点F， 由题意得，． 在中，，， ， ， ∵， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， ， 答：教学楼的高度约为15米． 27．如图，一栋商务楼的高为54米，远处有一栋居民楼，小明在商务楼的楼顶处测得居民楼顶处的俯角为，测得居民楼的楼底处的俯角为（图中点均在同一平面内），求居民楼的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】居民楼的高度约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．过点作于点，在中，求出的长，在中，求出的长，即可得到长，得到结果． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，米， （米）， （米）， 在中，，， （米）， （米）， （米）， 答：居民楼的高度约为米． 28．如图，某人在山坡坡脚处测得一座建筑物顶点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得该建筑物顶点的仰角为．已知米，且、、在同一条直线上，山坡坡度，求此人所在位置点的铅直高度．（结果精确到米，取，取）    【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意设，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而表示出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如下图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为，   ， 四边形是矩形， ，， 山坡坡度， ， 设，， 在中，，米， （米）， 米，米， 在中，， ， ， 经检验，是原方程的根， （米）， 此人所在位置点的铅直高度为米． 题型五：方向角问题 29．如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在点处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，且测得点与观测点的距离为海里． (1)求观测点与点之间的距离； (2)有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间． 【答案】(1)海里 (2)小时 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义． （1）过点作于点，根据题意可得，海里，根据勾股定理可得海里，由，即可得结论； （2）作于点，证明四边形是矩形，可得海里，海里，根据勾股定理求出的长，进而可得救援船到达点需要的最少时间． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 根据题意可知：，海里， 海里， ， 海里， 海里． 答：观测点与点之间的距离为海里； （2）解：如图，作于点， ，，， 四边形是矩形， 海里，海里， 海里， 在中，根据勾股定理，得 海里， 小时． 答：救援船到达点需要的最少时间是小时． 30．如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别去、两港装载物资，港位于港西南方向，最后都运送到港．甲货轮沿港的南偏东方向航行60海里后到达港，再沿北偏东航行一定距离到达港．乙货轮沿港的正东方向航行一定距离到达港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达港．（参考数据： ，，） (1)求、两港之间的距离（结果保留根号）． (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】(1)海里 (2)甲货轮先到达港 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方位角，构建直角三角形是解题的关键． （1）作于点，根据方位角的定义得到，，海里，推出，然后在中，利用三角函数求得、即可得到答案； （2）作于点，由（1）可求得，然后根据解直角三角形得到，，，，结合，从而求得，进而得到、，计算出和进行比较即可． 【详解】（1）解：作于点，如图所示， 则， 由题意可知，，，海里， ∴， ∴， 在中，（海里）， （海里）， ∴海里， 答：、两港之间的距离为海里． （2）解：作于点，如图所示， 则， 由题意可知，，， 由（1）可知，，（海里）， ∴，， ∴，，，， ∵，即， 解得， ∴海里， 海里， ∴（海里）， （海里）， ∵，甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同）， ∴甲货轮先到达港． 31．学校附近路段都设有限速标志，如图①．某天放学，小亮和同学尝试用自己所学的知识检测过往车辆是否超速，他们在公路上选取A，B两点，把观测点设在公路同侧的点P处，且测得点B与观测点P 的距离是，这时，一辆卡车由西向东匀速行驶，如图②，测得卡车从A 处行驶到 B 处所用的时间为3秒，且，． (1)求观测点 P 到公路的距离？(参考数据： (2)试判断卡车是否超过了限制速度？ 【答案】(1)观测点 P 到公路的距离是 (2)卡车超过了限制速度 【分析】本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）过点P作于点 D，证明 是等腰直角三角形，得出．设，，由勾股定理得解答即可． （2）先求出的长，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：过点P作于点 D， ∵，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴． 在中，设，， 由勾股定理得：， 解得 ， 即观测点 P 到公路的距离是． （2）解：在中，，由（1）知， ， 即  ， 解得． ． ∵， ∴卡车超过了限制速度． 32．为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正西方向20千米的处，乙无人机位于的南偏东方向40千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏东方向上．（参考数据：，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿，往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．请问甲无人机飞离处多少千米时，乙无人机到处的距离是甲无人机到处的距离的倍（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)的长度为千米 (2)甲无人机飞离处千米时，乙无人机到处的距离是甲无人机到处的距离的倍． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定， 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键； （1）过点A作于E，过点B作于F，由题意得，，解得到千米，千米，证明四边形是矩形， 得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的长. （2）如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足，求解，，，设，则，可得，解方程即可得到答案. 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F， ∴， 由题意得，， 在中，（千米）， （千米）， ∵无人机甲位于A的正西方向20千米的B处，C位于D的正西方向上， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（千米），（千米）， ∴（千米）， ∴（千米）， 答：的长度为千米. （2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足， 由（1）得：，而， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， 答：甲无人机飞离处千米时，乙无人机到处的距离是甲无人机到处的距离的倍． 33．如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东方向上，继续行驶900米后到达B处，测得桥头C在南偏东方向上，桥头D在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】329米 【分析】本题考查解直角三角形的应用－方向角问题，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 过点C作 于E、过D作于F，根据矩形的性质得到，，求得米，在中，，，在中，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解∶过点C作于E、过D作于F， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴米， 在中，，， ∴米， （米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：大桥的长度约是329米． 34．如图，船向正东航行，在A处望见某岛C在北偏东处，前进6海里到点B，测得该岛在北偏东处．已知该岛周围海里内有暗礁，若船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． 【答案】有触礁危险；理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解本题的关键是求出C到航线的最近的距离CD的长． 作于点D，求出C到航线的最近的距离的长，与海里比较大小即可． 【详解】解：过点C作于点D，设海里， 在中，， ， ∴．， 在中， ∵， ∴， ∵海里， ∴， 解得， ∴ ∵， ∴， ∴， 答：若船继续向东航行，有触礁危险． 35．如下图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为．在C处一架无人机以北偏西方向飞行到达A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行至B处，测得正前方水库右岸D处的俯角为．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上（已知数据：）． (1)求无人机的飞行高度AM． (2)求标志物DE的高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握方向角和仰角俯角定义. 【详解】（1）解：根据题意可知，， ． 故:无人机的飞行高度AM为． （2）解：根据题意可知，． 如图，过点B作于点G，交AC于点H． ， ． ， ，解得． ， ， ， ． 故:标志物DE的高度约为． 36．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离灯塔有多远？（结果取整，）        【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于，根据余弦的定义求出，再根据余弦的定义求出即可． 【详解】解：作于， 由题意得，，，， 在中，， 在中，， 答：处距离灯塔有． 题型六：坡度坡比问题 37．如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 【答案】(1) (2)点M与点N的高度差为 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角函数（正弦、正切）的应用及解直角三角形的知识点，关键在于通过作辅助线构造直角三角形，利用已知条件和三角函数关系计算未知量，特别是正确识别和应用俯角、坡角等概念，以及灵活运用三角函数解决实际问题的能力． （1）通过作辅助线构造直角三角形，利用已知的点B到地面距离和长度，根据三角函数正弦值求出的度数； （2）先分别求出和的长度，再通过两者相减得到点M与点N的高度差． 【详解】（1）解：过B作于E， 在中， ，， ， ， ， 答：斜坡l的坡角的度数为； （2）过点B作于F，则，， ， ， ，， ， ， ， 答：点M与点N的高度差为． 38．如图，在综合实践课上，李玲要测量一棵与地面垂直的大树的高度，她从大树底部点处水平前进到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得树顶的仰角为，于点，已知斜坡的坡角为，且点，，，，在同一平面内，求大树的高度．(参考数据：，，) 【答案】大树的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，连接，证明四边形是矩形，然后利用特殊角三角函数即可解决问题． 【详解】解：由题意可知：，，， 如图：过点作，垂足为，连接， 斜坡的坡角为， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 大树的高度为． 39．如图，某大楼正前方有一栋小楼，小明从大楼顶端A测得小楼顶端E的俯角为，小楼底端D到大楼前梯坎的底端C有80米，梯坎长65米．梯坎的坡度，求大楼的高度（结果精确到1米，参考数据：，，，） 【答案】203米 【详解】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 根据题意可得：，从而可得，，再根据已知易得，从而设米，则米，然后在中，利用勾股定理可求出，的长，从而求出，的长，最后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【分析】解：如图： 由题意得：，， ∴，， ∵梯坎的坡度， ∴ ∴设米，则米， 在中，， ∵米， ∴， ∴， ∴米，米， ∵米， ∴（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴大楼的高度约为203米． 40．翱翔广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为，一楼到地下停车场地面的垂直高度，如果一辆货车高度为，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，）（结果精确到） 【答案】按这样的设计能保证货车顺利进入地下停车场，见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点C作，垂足为E，根据垂直定义可得：，从而可得，再根据题意可得：，，从而可得，然后根据同角的余角相等可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：按这样的设计能保证货车顺利进入地下停车场， 理由：如图：过点C作，垂足为E， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴按这样的设计能保证货车顺利进入地下停车场． 41．如图，是某学校食堂楼梯部分的示意图，上楼楼梯是由两段互相平行并且与地面成角的楼梯、和一段水平天台构成，计划将其改为整段楼梯．已知楼梯顶部B到地面的垂直高度为9.6米，与地面垂直的平台立柱的高度为6米，水平天台的长度为3.2米．求改造后楼梯的坡度．（结果精确到0.1，参考数据：，．） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过点D作于F，求解，过作于，延长交于G，证明，求解，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过点D作于F， 则米， 在中，，米， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 过作于，延长交于G， 结合实际意义可得：四边形为矩形；四边形为矩形； ∴米，米，， ∵， ∴与水平线的夹角为，即， ∵，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴改造后楼梯的坡度为：. 42．【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，界面的示意图如图1所示，一楼和二楼地面平行（即点A与点B所在的直线与平行），层高为8m，坡角． （1）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则A，B之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图2中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度i不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （2）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取0.34，取0.94，取0.36） 【答案】（1）A，B之间的距离要大于5米；（2）平台EF的最大长度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确作出辅助线是解题的关键． （）连接，过点作交于点，可得，再解即可求解； （）延长交于点，可得四边形为平行四边形，即得，由坡度的定义得米，解得米，进而求出即可求解； 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于点， ， ， ， （米）， 答：，之间的距离要大于米； （2）解：如图，延长交于点， ∵段和段的坡度， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵段和段的坡度， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：平台的最大长度约为米． 43．测量主教学楼高度的方案． 任务驱动 测量主教学楼的高度 测量工具 测角仪，皮尺 模型抽象 测量步骤 ①测量出教学楼前斜坡的长为8米，坡度； ②在距离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为． 数据说明 ①、在同一水平线上 ②点、、、在同一平面内 参考数据 ，，， 模型求解 （1）求台阶底部到教学楼的水平距离； （2）计算教学楼的高度． 结果要求 精确到0.1米 【答案】（1）6.9米（2）23.7米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决此类问题要了解已经和俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，然后灵活运用三角函数的定义计算相应的边长．也考查了坡度． （1）延长交于点，如图，先根据坡度的定义和正切的定义得到，则，则可计算出米，米； （2）在中利用正切的定义得到，然后解方程求出即可． 【详解】解：（1）延长交于点，如图， 的坡度， ， ， （米）， 米； （2）在中，， 即， ， 解得米． 答：教学楼的高度为23.7米． 题型七：其它问题 44．年春晚中《秧》的舞蹈中，如图所示的机器人身穿红绿大花袄与舞蹈演员们整齐划一地扭秧歌，充分展示了传统与科技的完美融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距，图是其侧面示意图，机器人身体垂直于水平地面，胳膊段长，段长，胳膊与身体的夹角旋转的手绢近似圆形，半径，与保持垂直，与手绢旋转点之间的水平距离为． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．若图中机器人身体与舞者之间的距离为，此时手绢端点与舞者距离是否在安全距离范围内？请说明理由． 参考数据： 【答案】(1) (2)此时手绢端点与舞者距离在安全距离范围内，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）先利用直角三角形的性质求出的度数，再通过作辅助线构造直角三角形，结合余弦值求出的度数，最后根据平角的性质求出的度数． （2）作辅助线构造直角三角形，先求出的度数，再利用正弦值求出的长度，结合等腰直角三角形的性质求出的长度，进而求出手指端点与舞者的距离，判断是否在安全范围内． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 如图，过点作于点，则，， ∴≈， 答∶的度数约为． （2）解：在安全距离范围内．理由如下． 过点作于点，则， ∵，， ∴， ∴·． ∵，， ∴此时手绢端点与舞者距离为． ∵， ∴此时手绢端点与舞者距离在安全距离范围内． 45．如图，、区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若点A到点B的距离． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)的长度为 (2)的长度为 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合，，得，即可作答． （2）先证明四边形是矩形，故，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：在中，，， 则， 答：的长度为； （2）解：∵，，． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 则， 答：的长度为． 46．展示台又称实物展示台．把它连接在投影机和电视机上时，就可以将资料、讲义、实物、幻灯片等清晰地展示出来，是多媒体教室不可或缺的教学设备之一．一台普通的视频展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图（1）是一个实物展示台，图（2）、图（3）是其侧面抽象示意图．立柱 且立柱垂直水平桌面．C为摄像头，可绕点B旋转，且． (1)当与水平桌面平行时，如图（2），投影宽度，投影线，求摄像头的广角的度数； (2)在（1）的条件下，将 绕点B旋转，使得，如图（3），旋转过程中摄像头的广角及的大小始终保持不变，求此时的投影宽度的长．（结果保留一位小数）（参考数据：， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过作辅助线构造矩形和等腰三角形，利用三角函数求出角度； （2）同样通过作辅助线构造矩形，利用三角函数求出线段长度，进而得到投影宽度. 【详解】（1）解：如图（1），过点C作于点F，则易知四边形是矩形， ∴． ∵， ，                                       ∴， ∴． 答：摄像头的广角 的度数约为． （2）解：如图（2），过点 C作 于点 P，过点 B作 于点 Q，则易知四边形是矩形， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ 在 中，，， ∴ ．    ∵， ∴， ∴ ， ∴在中，； 在 中，， ∴． 即此时的投影宽度的长约为． 【点睛】本题主要运用矩形的判定和性质、等腰三角形“三线合一”的性质、三角函数的应用，添加辅助线构造矩形和直角三角形是关键． 47．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 (2)线段的长度为 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案； （2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）解：如图，过点作于点H，于点，过点作于点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 48．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：， ， 延长，交于点， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 解直角三角形应用的七大题型 题型一：解直角三角形的相关计算 题型二：解非直角三角形 题型三：不规则图形的边长或面积 题型四：仰角俯角问题 题型五：方向角问题 题型六：坡度坡比问题 题型七：其它问题 题型一：解直角三角形的相关计算 1．如图，在中，，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 2．在中，，，若，求的长． 3．如图，在中，． (1)已知，，求的长． (2)已知，，求的度数． 4．如图，在中，，，，，垂足为D，E为的中点，与交于点F，求的长． 5．已知：如图，在中，，，，求的长和的正切值． 题型二：解非直角三角形 6．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 7．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 8．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 9．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 10．阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 11．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：    (1)________． (2)对于，的正对值的取值范围是________． (3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值． 题型三：不规则图形的边长或面积 12．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 13．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 14．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 15．如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高8米，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度为1：3，则坝底宽BC为（　　） A．36米 B．72米 C．78米 D．38米 16．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为37°，建筑物底端的俯角为30°，若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为(精确到米，参考数据：，)（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 17．如图，在中，已知，，，求的面积． 18．某班正在点处上体育课，上完体育课后，小巴和小川准备去四食堂处吃午饭，经测量，点位于点的正东方100米处，点位于点的北偏东方向80米处，且位于点正南方30米处，点位于点的正西方，且位于点的东北方向（点、、、、在同一平面内，参考数据：）． (1)求点到点的距离（结果保留整数）； (2)下课后，小巴沿以的速度前往四食堂，小川沿以的速度前往四食堂，请通过计算判断小川与小巴谁先到达四食堂（结果保留整数）？ 19．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 20．重庆市某校数学兴趣小组在水库某段的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的处测得水库右岸处某标志物顶端的仰角为．在处一架无人飞机以北偏西方向飞行米到达点处，无人机沿水平线方向继续飞行30米至处，测得正前方水库右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点、、在同一条直线上． （1）求无人机的飞行高度； （2）求标志物的高度．（结果精确到0.1米） （已知数据：，，，，，，） 题型四：仰角俯角问题 21．如图，某校有一教学楼其上有一避雷针为7米，教学楼后面有一小山，其坡度为,山坡上有一休息亭E供爬山人员休息，测得山坡脚F与教学楼的水平距离为19米，与休息亭的距离为10米，从休息亭E测得教学楼上避雷针顶点C的仰角为，求教学楼的高度.（结果保留根号） 22．如图，小明为测量宣传牌的高度，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）后，小明沿坡度为的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为． (1)填空： ______度， ______度； (2)求F距离地面的高度（结果保留根号）； (3)求宣传牌的高度（结果保留根号）． 23．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进20米至B处，测得仰角为，求这栋楼的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 24．如图，一楼房后有一假山，其坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房顶测得点的俯角为，求楼房的高． 25．如图，是长为，倾斜角为的自动扶梯，平台与大楼垂直，且与扶梯的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为，求大楼的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，，） 26．某数学兴趣小组在操场上开展利用无人机测量教学楼高度的数学活动．如图，此时无人机在离地面28米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为，又经过人工测量得操控者A和教学楼的距离为53米．求教学楼的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：） 27．如图，一栋商务楼的高为54米，远处有一栋居民楼，小明在商务楼的楼顶处测得居民楼顶处的俯角为，测得居民楼的楼底处的俯角为（图中点均在同一平面内），求居民楼的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 28．如图，某人在山坡坡脚处测得一座建筑物顶点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得该建筑物顶点的仰角为．已知米，且、、在同一条直线上，山坡坡度，求此人所在位置点的铅直高度．（结果精确到米，取，取）    题型五：方向角问题 29．如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在点处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，且测得点与观测点的距离为海里． (1)求观测点与点之间的距离； (2)有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间． 30．如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别去、两港装载物资，港位于港西南方向，最后都运送到港．甲货轮沿港的南偏东方向航行60海里后到达港，再沿北偏东航行一定距离到达港．乙货轮沿港的正东方向航行一定距离到达港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达港．（参考数据： ，，） (1)求、两港之间的距离（结果保留根号）． (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 31．学校附近路段都设有限速标志，如图①．某天放学，小亮和同学尝试用自己所学的知识检测过往车辆是否超速，他们在公路上选取A，B两点，把观测点设在公路同侧的点P处，且测得点B与观测点P 的距离是，这时，一辆卡车由西向东匀速行驶，如图②，测得卡车从A 处行驶到 B 处所用的时间为3秒，且，． (1)求观测点 P 到公路的距离？(参考数据： (2)试判断卡车是否超过了限制速度？ 32．为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正西方向20千米的处，乙无人机位于的南偏东方向40千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏东方向上．（参考数据：，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿，往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．请问甲无人机飞离处多少千米时，乙无人机到处的距离是甲无人机到处的距离的倍（结果保留小数点后一位）？ 33．如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东方向上，继续行驶900米后到达B处，测得桥头C在南偏东方向上，桥头D在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到1米，参考数据：） 34．如图，船向正东航行，在A处望见某岛C在北偏东处，前进6海里到点B，测得该岛在北偏东处．已知该岛周围海里内有暗礁，若船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． 35．如下图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为．在C处一架无人机以北偏西方向飞行到达A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行至B处，测得正前方水库右岸D处的俯角为．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上（已知数据：）． (1)求无人机的飞行高度AM． (2)求标志物DE的高度（结果精确到）． 36．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离灯塔有多远？（结果取整，）        题型六：坡度坡比问题 37．如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 38．如图，在综合实践课上，李玲要测量一棵与地面垂直的大树的高度，她从大树底部点处水平前进到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得树顶的仰角为，于点，已知斜坡的坡角为，且点，，，，在同一平面内，求大树的高度．(参考数据：，，) 39．如图，某大楼正前方有一栋小楼，小明从大楼顶端A测得小楼顶端E的俯角为，小楼底端D到大楼前梯坎的底端C有80米，梯坎长65米．梯坎的坡度，求大楼的高度（结果精确到1米，参考数据：，，，） 40．翱翔广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为，一楼到地下停车场地面的垂直高度，如果一辆货车高度为，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，）（结果精确到） 41．如图，是某学校食堂楼梯部分的示意图，上楼楼梯是由两段互相平行并且与地面成角的楼梯、和一段水平天台构成，计划将其改为整段楼梯．已知楼梯顶部B到地面的垂直高度为9.6米，与地面垂直的平台立柱的高度为6米，水平天台的长度为3.2米．求改造后楼梯的坡度．（结果精确到0.1，参考数据：，．） 42．【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，界面的示意图如图1所示，一楼和二楼地面平行（即点A与点B所在的直线与平行），层高为8m，坡角． （1）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则A，B之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图2中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度i不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （2）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取0.34，取0.94，取0.36） 43．测量主教学楼高度的方案． 任务驱动 测量主教学楼的高度 测量工具 测角仪，皮尺 模型抽象 测量步骤 ①测量出教学楼前斜坡的长为8米，坡度； ②在距离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为． 数据说明 ①、在同一水平线上 ②点、、、在同一平面内 参考数据 ，，， 模型求解 （1）求台阶底部到教学楼的水平距离； （2）计算教学楼的高度． 结果要求 精确到0.1米 题型七：其它问题 44．年春晚中《秧》的舞蹈中，如图所示的机器人身穿红绿大花袄与舞蹈演员们整齐划一地扭秧歌，充分展示了传统与科技的完美融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距，图是其侧面示意图，机器人身体垂直于水平地面，胳膊段长，段长，胳膊与身体的夹角旋转的手绢近似圆形，半径，与保持垂直，与手绢旋转点之间的水平距离为． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．若图中机器人身体与舞者之间的距离为，此时手绢端点与舞者距离是否在安全距离范围内？请说明理由． 参考数据： 45．如图，、区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若点A到点B的距离． (1)求的长度； (2)求的长度． 46．展示台又称实物展示台．把它连接在投影机和电视机上时，就可以将资料、讲义、实物、幻灯片等清晰地展示出来，是多媒体教室不可或缺的教学设备之一．一台普通的视频展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图（1）是一个实物展示台，图（2）、图（3）是其侧面抽象示意图．立柱 且立柱垂直水平桌面．C为摄像头，可绕点B旋转，且． (1)当与水平桌面平行时，如图（2），投影宽度，投影线，求摄像头的广角的度数； (2)在（1）的条件下，将 绕点B旋转，使得，如图（3），旋转过程中摄像头的广角及的大小始终保持不变，求此时的投影宽度的长．（结果保留一位小数）（参考数据：， 47．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 48．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $