专题08 一元一次方程实际问题十四大题型（专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题08 一元一次方程实际问题十四大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型二：工程问题 2 题型三：销售盈亏问题 3 题型四：比赛积分问题 4 题型五：方案选择 5 题型六：数字问题 6 题型七：几何图形问题 7 题型八：动点问题 8 题型九：和差倍分问题 10 题型十：电费水费问题 10 题型十一：行程问题 12 题型十二：比例问题 12 题型十三：日历问题 13 题型十四;古代问题 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一：配套问题 1．)一套仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可做40个A部件或200个B部件，现要用钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做A部件，多少立方米钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？（此题必须利用方程解答） 2．(24-25七上·陕西宝鸡太白县黄柏塬乡中学·)中国瓷器对世界文明的影响丝毫不亚于中国的四大发明，那些制作精美的瓷器更是成了西方人眼中的“神器”，以至于他们就用瓷器（）来称呼中国，某瓷器厂共有90名工人，每名工人一天能做200只茶杯或50只茶壶，如果8只茶杯和1只茶壶为一套茶具． (1)应安排多少人生产茶杯，可以使每天生产的茶具刚好配套？ (2)按（1）中的安排，每天可以生产多少套茶具？ 3．北京时间2024年11月4日1时24分，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功，随着航空航天的发展，航空航天模型也受到大家的喜爱，某车间生产航空航天模型，为提高生产量，在原有13名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多1人． (1)求调入工人的人数； (2)调入工人后，车间内每名工人每天可以生产60个部件或80个部件，1个部件和2个部件组成一个模型，为使每天生产的部件和部件刚好配套组成模型，应该安排生产部件和部件的工人各多少名？ 4．北京时间2024年11月4日1时24分，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功．随着航空航天的发展，航空航天模型也受到大家的喜爱，某车间生产航空航天模型，为提高生产量，在原有13名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多1人 (1)求调入工人的人数； (2)调入工人后，车间内每名工人每天可以生产60个A部件或80个B部件，1个A部件和2个B部件组成一个模型，为使每天生产的A部件和B部件刚好配套组成模型，应该安排生产A部件和B部件的工人各多少名？ 题型二：工程问题 5．(24-25七上·重庆秀山土家族苗族自治县新星初级中学·)一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成． (1)两队合做需几天完成？ (2)甲队先做5天，剩下的部分由两队合做，那么还需几天完成？ 6．(24-25七上·天津育贤中学·期末)一条地下管线由甲工程队单独需要铺设12天，由乙工程队单独铺设需要24天． (1)甲先做3天，甲乙再合作，还需要几天完成？ (2)若甲每天的费用是800元，乙每天的费用是600元，甲乙工程队先后铺设完地下管线正好用了18天，花费12000元，问甲需要干几天？ 7．故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、有现代科学理念和架构的“综合性文物医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以“延年益寿”．文物修复师们计划用36个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物﹐需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由10名文物修复师一起修复了12个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？ 8．某中学利用暑假对教室进行修缮，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付给甲工程队每天1600元，付给乙工程队每天2600元． (1)求该中学一共有多少个教室？ (2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间比甲工程队的工作时间的2倍还多8天，乙工程队共粉刷多少天？此时学校需要分别付给甲、乙工程队多少元？ 题型三：销售盈亏问题 9．某商场将一种家庭组合音响在进价2000元/套的基础上增加元进行售卖．在一次电商购物节中，将这种组合音响打9折促销，已知打折后的利润率为打折前的利润率的一半，求这种家庭组合音响打折前的售价． 10．如图，小文和小红相约到图书大世界去买书，请根据他们的对话内容，求出小红上次购买书籍的原价． 11．(24-25七上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·)某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如表一： 表一 A型利润 B型利润 甲店 200 170 乙店 160 150 表二 A型（40件） B型（60件） 甲店（70件） 乙店（30件） x (1)设分配给乙店A型产品x件，把表二填写完整； (2)若两商店销售这两种产品的总利润为17560元，则分配给甲店A型产品多少件． 表二 A型（40件） B型（60件） 甲店（70件） 乙店（30件） x 12．(24-25七上·山东青岛·期末)国庆节期间蔬菜加工公司共储存蔬菜吨，根据市场信息，将蔬菜直接销售，每吨可获利元；如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工吨，每吨可获利元；如果进行精加工，每天可加工吨，每吨可获利元．限于公司加工条件，在同一天中只能采用一种方式加工，计划要求必须在节日期间（7天）全部销售出去．为此公司制定了以下几种销售方案： 方案一：直接销售； 方案二：全部粗加工销售； 方案三：7天时间都进行精加工，未来得及加工的在市场上直接销售； (1)上述三种方案那种获利最多？请通过计算说明理由． (2)问：是否存在第四种方案可获得更多利润？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由． 题型四：比赛积分问题 13．(23-24七上·西藏拉萨尼木县中学·期末)为落实国家“双减”政策，林芝市某中学举行知识竞赛，共出了25道题，评分标准如下：答对1题得4分；答错1题倒扣1分，拉姆答完了全部试题，共得70分，则她答对了多少道题？ 14．某校举行足球比赛，共有8个球队参加比赛，赛制为双循环赛（任意两队之间比赛两场）．计分规则为胜一场得3分，平一场得一分，负一场得0分．已知甲队负4场，乙队平8场，甲队的胜场数比乙队胜场数的2倍少2场，且甲队比乙队多得2分． (1)每支球队比赛几场？ (2)请求出甲队和乙队各胜几场？ 15．下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)观察积分榜，请直接写出球队胜一场积 分，负一场积 分； (2)根据积分规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共18轮（每个球队各有18场比赛），D队希望最终积分达到32分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 16．(24-25七上·山东济宁微山县实验中学教育集团·月考)周末，数学老师带同学们去某市博物馆参观． 【基础设问】 （1）坐车途中，数学老师和大家玩游戏．数学老师根据方程编写了一道应用题，请你帮他们把空缺的部分补充完整． 某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个； ，请问手工小组有几人．（设手工小组有x人） 【开放设问】 （2）请你结合生活实例根据方程编写一道应用题． 【能力设问】 （3）小明想起来之前和爸爸一共下了8盘围棋，爸爸赢一盘记2分，自己赢一盘记6分，每盘都分出了胜负，比赛结束后，爸爸说：“我的得分比你的得分多2分．”请你帮小明判断爸爸的说法是否正确，并给出理由． （4）参观结束后，小明打算给朋友带一些文创用品，现博物馆有以下两种优惠方案： 方案一 可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多可使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券． 例：某次消费120元，使用代金券后，实际花费（元）． 假如小明消费了元． ①若使用代金券，实际花费 元（用含x的代数式表示）； ②选择哪种方案更省钱？ 【拓展设问】 （5）买完文创用品后，所有人员乘客车返回相距的酒店，客车的行驶速度为，同时，酒店工作人员小王开车以的速度从酒店出发，前去迎接，数学老师在两车相遇后换乘小王的车，和小王立刻返回酒店先为大家办理入住手续（车辆掉头、数学老师下车和上车的时间忽略不计），求客车行驶多长时间时两车相距． 题型五：方案选择 17．(24-25七上·安徽合肥四十八中学·)某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 18．某体育用品店出售某品牌的篮球和羽毛球．已知羽毛球的标价为每个5元，篮球的标价为每个40元．节假日期间，为了让利顾客，该店推出两种优惠方案： 甲方案：篮球和羽毛球都按标价打九折出售． 乙方案：买一个篮球送一个羽毛球． 某顾客现要购买40个篮球和a个羽毛球． (1)当时，分别计算按甲、乙两种方案购买，该顾客需付款多少元？ (2)购买羽毛球多少个时，两种方案的收费相同？ 19．(23-24七上·重庆四川外国语大学附属外国语学校·)【方案问题】某小学组织学生去春游，若租用45座客车，则有15人没有座位；若租用同样数目的60座客车，则一辆客车空车．已知45座客车的租金为220元，60座客车的租金为300元． (1)这个学校一共有学生多少人？ (2)怎样租车最经济合算？此时租金是多少？ 20．我校体育组决定购买羽毛球和羽毛球拍若干．甲、乙两家体育用品商店出售同一品牌同一规格的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价8元，羽毛球拍每副定价80元、现两家商店都在搞促销活动：甲店每出售一副球拍赠2个羽毛球；乙店球拍和羽毛球均按九折优惠．若体育组需购副球拍，300个羽毛球．根据题意完成下列问题． (1)购买方案一：全部到甲商店购买，需付款______元；购买方案二：全部到乙商店购买，需付款______元；（用含的代数式表示） (2)当取何值时，两种方案所需费用相等？ (3)当，请根据甲、乙两商店的促销信息，判断是否有比（1）中两个方案更优惠的购买方法，如果有，写出方案并列式求出所需费用；如果没有，请说明理由． 题型六：数字问题 21．(24-25七上·江苏淮安清河开明中学·期中)有一个两位数，两个数位上的数字和是6，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，那么所得的新两位数比原两位数大18，求原两位数． 22．(24-25七上·江苏连云港赣榆区·期中)将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为a，请计算十字框中五个数之和； (3)十字框中的五个数之和能为2024吗？能为2025吗？ 23．将连续的偶数0，2，4，6，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移） (1)若框住的5个数中，正中间的一个数为40，则这5个数的和为____________； (2)十字框内五个数的最小和是____________； (3)十字框能否框住这样的5个数，它们的和等于2030？若能，求出正中间的数：若不能，请说明理由． 24．将奇数1至2025按照顺序排成下表： 记表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是17 (1)______； (2)若，推理______；______； (3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于100，若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由． (4)用m、n的式子表示=______ 题型七：几何图形问题 25．(24-25七上·陕西安康汉滨区五里镇民主九年制学校·)如图，某公园有一处长为，宽为的长方形空地，为美化环境，现计划在阴影部分种植花卉，在空白三角形部分修建一个游客观赏区，已知种植花卉的面积为，求长方形空地的长． 26．如图，一个长方形纸片的长为，在这张纸片的长和宽上各剪去宽为的长条，剩下的长方形面积是原长方形面积的，求原长方形纸片的宽． 27．为践行劳动教育，学校特意划出一块长方形土地供学生劳作．如图，长方形土地一面靠墙，现将不靠墙的三面向内推进x米修建小路，在小路内侧用篱笆围出一块长方形菜地． (1)当时，篱笆的长度为 米． (2)用x的代数式表示篱笆的长度．（列式并化简） (3)若篱笆长度为36米，求小路的宽度． 28．(24-25七上·重庆酉阳土家族苗族自治县桃花源中学·期中)如图将一张正方形纸片剪去一个宽为5厘米的长方形长条后，再从剩下的长方形纸片上按如图所示剪去一个宽3厘米的长方形长条．如果第一次剪下的面积是第二次剪下的面积的2倍，那么，原正方形的面积是多少？ 题型八：动点问题 29．如图，点A、B都在数轴上，O为原点，点A在原点O的右侧，点B在原点O的左侧，且O，A两点间的距离为2个单位长度，A，B两点间的距离为6个单位长度． (1)分别求出点A和点 B对应的数； (2)点M以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿数轴向右运动，运动时间为t秒，当点M与点A之间的距离为4个单位长度时，求t的值； (3)对折数轴，使数轴上点A与点B重合，求同时与 对应的点重合的点对应的数． 30．(24-25七上·广东汕头潮南实验学校·期中)如图，在数轴上点表示的数是8．若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为（秒）． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； (3)当点到原点的距离为4时，求点到原点的距离． 31．【问题背景】 如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 【问题发现】 （1）若数轴上数x到原点的距离为3，且x在原点左边，则x的值为 ； 【探索求知】 （2）若数轴上表示a和2的两点之间的距离为7，求a表示的数； 【拓展延伸】 （3）若点A表示的数是，点B与点A的距离是6，且点B在点A的右侧，点P的速度是每秒5个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，则运动几秒时，点P与点Q之间的距离为1？（请写出求解过程） 32．(24-25七上·四川成都青山教育·期中)如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，C在原点左侧，且，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点C表示的数为______，并用含 t的代数式表示点P所表示的数为______； (2)设M是的中点，N是的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求线段的长度； (3)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三点同时出发，在运动过程中，P到R的距离、P到Q的距离，这两段距离何时相等，请求出此时t的值． 题型九：和差倍分问题 33．四盘苹果共100个，把第一盘的个数加上4，第二盘的个数减去4，第三盘的个数乘以4，第四盘的个数除以4，所得的数目一样．问原来四盘苹果各多少个？ 34．今年小明13岁，王老师45岁，再过几年小明年龄是王老师年龄的三分之一？ 35．小华的年龄是8岁，小青的年龄是9岁，求得他们今年的年龄之和是17岁，像这样的问题就是年龄问题． (1)3年前，小康的年龄是17岁；3年后，小康的年龄是多少岁？ (2)小晨的年龄是5岁，小铃的年龄是7岁，多少年后他们的年龄和是30岁？ (3)小丁对小当说：“我到你这个年纪时，你就25岁了．”小当对小丁说：“我在你这么大时，你才4岁．”小丁今年多少岁？ 36．一次春游活动，一个同学到负责后勤的老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领55个．又问“多少人吃饭？”他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗．”请算一算，这个同学给参加春游活动的多少人领碗．嘉嘉说我是这样列的算式： ，淇淇说我是这样列的算式： (1)请判断以上两位同学的解法是否正确？________（把正确选项填写在横线上） A．嘉嘉的解法正确，淇淇的解法不正确    B．嘉嘉的解法不正确，淇淇的解法正确 C．两人的解法都正确        D．两人的解法都不正确 (2)选择其中一位同学的算式说明道理． (3)请用列方程的方法解决这个问题． 题型十：电费水费问题 37．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 38．节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 39．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元/度） 不超过50度的部分 0.5 超过50度但不超过200度的部分 0.6 超过200度的部分 0.8 已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是___________月份，实际用电量为___________度； (2)小刚家一月份应交纳电费___________元； (3)若小刚家七月份应交纳的电费为163元，求小刚家七月份的用电量． 40．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某区采用价格调控手段达到节水的目的，如表是调控后的价目表． 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费 元，若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为 吨； (2)若该户居民11月、12月共用水18吨，共交水费52元，12月用水量不低于11月．求11月、12月各应交水费多少元． 题型十一：行程问题 41．(24-25七上·陕西西安阎良区·期末)小秦和小明在操场练习跑步，两人从同一起点A出发，小秦每分钟跑300米，小明每分钟跑200米，小秦比小明晚出发3分钟，结果两人同时到达终点B，求两地的路程． 42．一天，小王和小颖在一条平缓的坡路上玩，小王从坡底跑到坡顶用时5分钟，从坡顶跑到坡底用时3分钟，已知他下坡比上坡每分钟多跑80米，小颖上坡、下坡的速度跟小王相同．从某一时刻开始，小颖从坡顶往下跑，同时小王从坡底往上跑，经过多长时间后他们俩相距56米？ 43．某校七年级的两个班要到文化馆参加活动，但只有一辆校车接送学生．七（）班的学生从学校坐车从学校出发的同时，七（）班开始步行：车到途中某处，让七（）班的学生下车步行，车立刻返回接七（）班学生上车，并直接开往文化馆，学生步行速度为每小时千米，载学生时车速为每小时千米，空车为每小时千米，要使两个班的学生同时到达文化馆，七（）班的学生步行了全程的几分之几？ 44．甲、乙和丙三人一起去派遣，乙和丙是徒步旅行的好手，他们每小时都可以走6公里，甲的脚力不行，他驾驶一辆小型电动汽车，可以坐两个人，但坐不下三个，这辆车每小时跑30公里，这三个朋友采取下面这个方案：他们一起出发，丙乘甲开的车，乙走路，过一会儿甲丢下丙让他继续走路，甲回去接乙．然后他们俩驾车直至追上丙，此时，他们进行了轮换，即丙换上去坐车，乙又步行，这就回到了开始时的情形，这样整个过程不断重复直至必要的次数． (1)他们每小时前进多少公里？ (2)旅行中有几分之几的时间汽车上只有一个人？ 题型十二：比例问题 45．新华书店新进一种畅销书，第一天售出总数的，第二天售出总数的还多20本，书店还剩140本这种书，新华书店新进这种肠销书多少本？ 46．甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？ 47．如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 48．如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 题型十三：日历问题 49．将连续的奇数排成如下一个数表，并用一个如图所示的十字框框住数表中的五个数，且该十字框可以在数表中上、下、左、右平移，试解决以下问题： (1)若设十字框中间的数为a，试求十字框框住的五个数的和： (2)在（1）的条件下，试问：该十字框框住的五个数字之和能等于吗？若能，试求出a的值；若不能，请说明理由． 50．如图是某月的月历表，在此月历表上用一个“十”字形方框任意框出5个数． (1)若框出的5个数中，最中间的数为a，则它左边的数为，下面的数为___________． （用含 a的代数式表示） (2)若框出的5个数之和为100，则框出的5个数中，最中间的数为多少？ 51．生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？如图，这是2025年1月的月历． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)它的横行、竖列上的相邻两数之间分别有什么关系？ (2)如果一竖列上连续三个数的和为48，你能知道这三个数分别是多少吗？ (3)如果用一个正方形圈出四个数，这四个数的和能等于60吗？若能，请求出圈出的四个数分别是多少；若不能，请说明理由． 52．将自然数1，2，3，…如下排列，用一个3×3的正方形方框框出9个数 (1)若框出的9个数之和是2025，那么框出的数中最大的数是多少？ (2)能不能使框出数之和为2205，若能，请求出框出数中最大的那个数，若不能请说明理由． 题型十四;古代问题 53．《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 54．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 55．课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 56．我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房”，诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． (1)列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠；若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 1．贵州，不仅有着迷人的自然风光，还拥有着独特而丰富的饮食文化，贵州刺梨汁以其丰富的营养价值和独特的风味受到广大消费者的喜爱．某商家用刺梨汁制作出了刺梨饮品和刺梨蛋糕，并以“2个蛋糕+1杯饮品”的套餐进行推广销售．该商家现有店员8名，每位店员每日可制作蛋糕60份或饮品90份，每位店员每天只负责一种商品的制作，要使每天制作的蛋糕和饮品刚好配套，应安排制作蛋糕和饮品的店员各多少名？ 2．有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷7个房间，结果其中有墙面未来得及粉刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间之外，还多粉刷了另外的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷墙面．求每个房间需要粉刷的墙面面积． 3．贵州有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，都匀毛尖、湄潭翠芽、贵定云雾茶、凤冈锌硒茶等均产自贵州．某采购商计划购进甲、乙两种茶叶，已知甲种茶叶每盒的进价比乙种茶叶每盒的进价少20元．若购进甲种茶叶5盒，乙种茶叶3盒，则共需要700元． (1)甲、乙两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ (2)该采购商购进了甲种茶叶300盒、乙种茶叶200盒．在销售时，甲种茶叶每盒的售价为110元，要使这500盒茶叶所获利润率为，乙种茶叶每盒的售价应是多少元？ 4．在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)若这支球队9场比赛得到的积分是21分，求这9场比赛中的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？ 5．“中国最美的五大沙漠之一”—鸣沙山月牙泉风景名胜区，是国家级旅游景区，寒假期间拟定门票价格为50元/张，团队票可选择两种购票优惠方案： 方案一：全体人员打八折． 方案二：有人可以免票，剩下的人员打九折． (1)若某团队有人，为节省购票费用，则该团队应该选择哪种购票方案？ (2)若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，则该团队共有多少人？ 6．（1）【阅读理解】 三阶幻方又名九宫格，是一种将个数字数字不重复使用安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． 在金庸先生的著作射雕英雄传中黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九履一，左七右三，五居中央”请你根据这个口诀把，九个数分别填入图的九宫格里得到一个三阶幻方． （2）【探究发现】 将九个数填入图的方格中，使之构成三阶幻方； 思考问题：若将所填的九个数同时加减或乘除同一个不为的数，你有什么发现？ （3）【结论应用】若满足“幻方”的九个数字之和为，请在图的方格中写出一种符合题意的互不相等的九个数． （4）【类比拓展】在如图的三阶幻方中填写了一些数和字母，则的值为 ． 7．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值、这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．数学之星小明查阅资料发现：若一个长方形的短边与长边的比为，这样的长方形称为黄金长方形，黄金长方形能够给画面带来美感，令人愉悦．如图，为了使长220米的篱笆恰好用完．同时围住花田的三面，且长方形的形状更接近黄金长方形，应设计成多少米？(结果保留整数) 8．(24-25七上·广西南宁第四十七中学·)【知识背景】在数学中，可以用一条直线上的点表示数，我们把这条直线叫做数轴；数轴要满足以下要求： （1）在直线上任取一点表示0，这个点叫做原点； （2）通常情况下，从原点向右为正方向，从原点向左为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示为1，2，3…； 例如点表示的数为4，是从原点向右移动4个单位长度得到的；点表示的数为7，是由表示的数为9的点向左移动2个单位长度得到的． 【知识应用】若点表示的数是10，向右移动8个单位长度得到的数是_________；同时，点也可以看成是12向_________（“左”或“右”）移动_________个单位得到的． 【拓展提升】如图，从原点出发，以每秒4个单位的速度向右匀速运动，点表示的数是8，在出发的同时，以每秒2个单位的速度向右匀速运动． ①几秒后和重合？ ②出发秒后与相距4个单位长度，请直接写出此时的值． 9．列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 10．(24-25七上·湖北荆州沙区·期末)为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如下表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 单价（元/立方米） 不超出6立方米的部分 2 超出6立方米不超出10立方米的部分 4 超出立方米的部分 8 例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为（元） 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费多少元？ (2)若某户居民4月份用水a立方米（其中），请用含a的代数式表示应收水费多少元？（结果需化简） (3)若某户居民3月份交水费60元，则3月份用水量为多少立方米？ 11．(24-25七上·河南漯河实验中学·期中)已知甲、乙两人在一个米的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分成相等的段，即两条直道和两条弯道的长度相同，甲平均每秒跑米，乙平均每秒胞米，甲、乙两人分别从、两处同时相向出发（如图），试解答下列问题    (1)首次相遇后，又经过多少时间他们第次相遇，在哪一段跑道上？ (2)他们第次相遇时，在哪一段跑道上？ (3)若甲乙两人在首次相遇后，甲乙两人决定同方向练习跑步，问甲乙两人经过多少时间再次相遇，在哪一段跑道上？ 12．在《国家空间科学中长期发展规划（2024-2050年）》中，明确了我国空间科学发展目标，提出我国拟突破的“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”5大科学主题．某班老师在进行相关科普时，让48名学生从这5大科学主题中各自选择一个喜欢的主题，最终选择“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”的人数比是，那么喜欢“宜居行星”主题的人数是多少？ 13．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示． (1)若，则=______； (2)设，用含x的式子分别表示M； (3)判断（2）中M的值能否等于2025，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一元一次方程实际问题十四大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型二：工程问题 4 题型三：销售盈亏问题 6 题型四：比赛积分问题 9 题型五：方案选择 13 题型六：数字问题 16 题型七：几何图形问题 20 题型八：动点问题 22 题型九：和差倍分问题 27 题型十：电费水费问题 30 题型十一：行程问题 34 题型十二：比例问题 37 题型十三：日历问题 39 题型十四;古代问题 42 B综合攻坚・能力跃升 题型一：配套问题 1．)一套仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可做40个A部件或200个B部件，现要用钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做A部件，多少立方米钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？（此题必须利用方程解答） 【答案】应用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器200套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应用钢材做A部件，钢材做B部件，然后根据等量关系列出方程，求解即可． 【详解】解：设应用钢材做A部件，钢材做B部件， 根据题意得，， 解得， ， 套． 答：应用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器200套． 2．(24-25七上·陕西宝鸡太白县黄柏塬乡中学·)中国瓷器对世界文明的影响丝毫不亚于中国的四大发明，那些制作精美的瓷器更是成了西方人眼中的“神器”，以至于他们就用瓷器（）来称呼中国，某瓷器厂共有90名工人，每名工人一天能做200只茶杯或50只茶壶，如果8只茶杯和1只茶壶为一套茶具． (1)应安排多少人生产茶杯，可以使每天生产的茶具刚好配套？ (2)按（1）中的安排，每天可以生产多少套茶具？ 【答案】(1)应安排60人生产茶杯，可以使每天生产的茶具刚好配套 (2)每天可以生产1500套茶具 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用；找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设安排人生产茶杯，则人生产茶壶，根据“每名工人一天能做200只茶杯或50只茶壶，8只茶杯和1只茶壶为一套”列方程求解即可； （2）求出按（1）中的安排生产的茶壶数量即可得到答案． 【详解】（1）解：设安排人生产茶杯，则人生产茶壶． 根据题意，得， 解得, 答：应安排60人生产茶杯，可以使每天生产的茶具刚好配套． （2）由（1）知：（套） 答：每天可以生产1500套茶具． 3．北京时间2024年11月4日1时24分，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功，随着航空航天的发展，航空航天模型也受到大家的喜爱，某车间生产航空航天模型，为提高生产量，在原有13名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多1人． (1)求调入工人的人数； (2)调入工人后，车间内每名工人每天可以生产60个部件或80个部件，1个部件和2个部件组成一个模型，为使每天生产的部件和部件刚好配套组成模型，应该安排生产部件和部件的工人各多少名？ 【答案】(1)12人 (2)10名工人生产部件，15名工人生产部件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键． （1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多1人”列方程，解方程即可得到答案； （2）先求出工人总人数，设y名工人生产部件，则名工人生产部件，再根据“每名工人每天可以生产60个部件或80个部件，1个部件需要2个部件”列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设调入工人的人数为人， 根据题意得：， 解得， 所以调人工人的人数为12人． （2）解： 调人12名工人后，车间有工人（名）， 设名工人生产部件，则名工人生产部件， 因为每天生产的部件和部件刚好配套， 所以， 解得， 所以， 所以10名工人生产部件，15名工人生产部件，可使每天生产的部件和部件刚好配套． 4．北京时间2024年11月4日1时24分，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功．随着航空航天的发展，航空航天模型也受到大家的喜爱，某车间生产航空航天模型，为提高生产量，在原有13名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多1人 (1)求调入工人的人数； (2)调入工人后，车间内每名工人每天可以生产60个A部件或80个B部件，1个A部件和2个B部件组成一个模型，为使每天生产的A部件和B部件刚好配套组成模型，应该安排生产A部件和B部件的工人各多少名？ 【答案】(1)调入工人的人数为12人 (2)10名工人生产A部件，15名工人生产B部件，可使每天生产的A部件和B部件刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． （1）调入的人数调入的人数，列方程，即可求解； （2）设y名工人生产A部件，则名工人生产B部件，每天生产A部件的数量每天生产B部件的数量，列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设调入工人的人数为x人， 根据题意得：， 解得， 所以调入工人的人数为12人． （2）解：调入12名工人后，车间有工人（名）， 设y名工人生产A部件，则名工人生产B部件， 因为每天生产的A部件和B部件刚好配套， 所以， 解得， 所以， 所以10名工人生产A部件，15名工人生产B部件，可使每天生产的A部件和B部件刚好配套． 题型二：工程问题 5．(24-25七上·重庆秀山土家族苗族自治县新星初级中学·)一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成． (1)两队合做需几天完成？ (2)甲队先做5天，剩下的部分由两队合做，那么还需几天完成？ 【答案】(1)两队合作需6天完成 (2)还需要3天完成 【分析】该题考查了一元一次方程的应用． （1）可设两队合作需天完成，根据题意可得出：（甲队的工作效率乙队的工作效率）时间，由此可列出方程求解． （2）可设还需要天完成，根据题意可得出：（甲队的工作效率乙队的工作效率时间甲队先做5天的工作量，由此可列出方程求解． 【详解】（1）解：设两队合作需天完成， 依题意有， 解得． 答：两队合作需6天完成． （2）解：设还需要天完成， 依题意有， 解得：． 答：还需要3天完成． 6．(24-25七上·天津育贤中学·期末)一条地下管线由甲工程队单独需要铺设12天，由乙工程队单独铺设需要24天． (1)甲先做3天，甲乙再合作，还需要几天完成？ (2)若甲每天的费用是800元，乙每天的费用是600元，甲乙工程队先后铺设完地下管线正好用了18天，花费12000元，问甲需要干几天？ 【答案】(1)铺好这条管线还需要6天完成 (2)甲需要干6天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意设出未知数，列出方程是解题关键． （1）设铺好这条管线需要x天，根据“甲乙工程队工作量之和”列方程，解方程即可求解． （2）设甲需要干y天，则乙需要干天，根据花费12000元列方程解决即可． 【详解】（1）解：设铺好这条管线需要x天，列方程得： ， 解得 ， 答：铺好这条管线还需要6天完成． （2）解：设甲需要干y天，则乙需要干天， ， 解得：， 答：甲需要干6天． 7．故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、有现代科学理念和架构的“综合性文物医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以“延年益寿”．文物修复师们计划用36个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物﹐需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由10名文物修复师一起修复了12个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？ 【答案】还需要增加15名文物修复师才能按时完成修复工作 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设还需要增加x名文物修复师才能按时完成修复工作，根据每名文物修复师的工作效率相同，先由10名文物修复师一起修复了12个月，把完成某件文物的修复工作看作“1”．列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设还需要增加x名文物修复师才能按时完成修复工作， 由题意得： 解得：， 答：还需要增加15名文物修复师才能按时完成修复工作． 8．某中学利用暑假对教室进行修缮，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付给甲工程队每天1600元，付给乙工程队每天2600元． (1)求该中学一共有多少个教室？ (2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间比甲工程队的工作时间的2倍还多8天，乙工程队共粉刷多少天？此时学校需要分别付给甲、乙工程队多少元？ 【答案】(1)该中学一共有120个教室 (2)乙工程队共粉刷32天，学校需要付给甲工程队的费用为19200元，付给乙工程队的费用为元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． （1）设该中学一共有x个教室，根据“甲工程队比乙工程队要多用20天”，列出方程求解即可； （2）设乙工程队共粉刷y天，则甲工程队粉刷了，根据（1）中求出的教室总数，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该中学一共有x个教室， ， 解得：， 答：该中学一共有120个教室． （2）解：设乙工程队共粉刷y天，则甲工程队粉刷了， ， 解得：， ∴乙工程队共粉刷32天，学校需要付给乙工程队的费用为：（元）； 甲工程队共粉刷天，学校需要付给甲工程队的费用为：（元）． 答：乙工程队共粉刷32天，学校需要付给甲工程队的费用为19200元，付给乙工程队的费用为元． 题型三：销售盈亏问题 9．某商场将一种家庭组合音响在进价2000元/套的基础上增加元进行售卖．在一次电商购物节中，将这种组合音响打9折促销，已知打折后的利润率为打折前的利润率的一半，求这种家庭组合音响打折前的售价． 【答案】2500元/套 【分析】本题考查一元一次方程的销售问题，掌握知识点是解题的关键． 根据题意可知这种家庭组合音响打折前的售价为元/套，打折后的售价为元/套，由打折后的利润率为打折前的利润率的一半，列出一元一次方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得 解得， ∴ 答：这种家庭组合音响打折前的售价为2500元/套． 10．如图，小文和小红相约到图书大世界去买书，请根据他们的对话内容，求出小红上次购买书籍的原价． 【答案】元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设小红上次购买书籍的原价为元，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设小红上次购买书籍的原价为元， 依题意，列方程得 解得 答：小红上次购买书籍的原价是元． 11．(24-25七上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·)某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如表一： 表一 A型利润 B型利润 甲店 200 170 乙店 160 150 表二 A型（40件） B型（60件） 甲店（70件） 乙店（30件） x (1)设分配给乙店A型产品x件，把表二填写完整； (2)若两商店销售这两种产品的总利润为17560元，则分配给甲店A型产品多少件． 【答案】(1)见解析 (2)分配给甲店A型产品38件 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用． （1）设分配给乙店A型产品x件，结合甲乙两店需要的数量，A型产品40件，B型产品60件，再分别列式填表即可． （2）由两店的利润之和等于总利润，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：填表如下： 表二 A型（40件） B型（60件） 甲店（70件） 乙店（30件） x （2）解：， 解得， ∴分配给甲店A型产品为（件）， 答：分配给甲店A型产品38件． 12．(24-25七上·山东青岛·期末)国庆节期间蔬菜加工公司共储存蔬菜吨，根据市场信息，将蔬菜直接销售，每吨可获利元；如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工吨，每吨可获利元；如果进行精加工，每天可加工吨，每吨可获利元．限于公司加工条件，在同一天中只能采用一种方式加工，计划要求必须在节日期间（7天）全部销售出去．为此公司制定了以下几种销售方案： 方案一：直接销售； 方案二：全部粗加工销售； 方案三：7天时间都进行精加工，未来得及加工的在市场上直接销售； (1)上述三种方案那种获利最多？请通过计算说明理由． (2)问：是否存在第四种方案可获得更多利润？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)方案三获利最多，见解析 (2)存在，销售后所获利润为元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用； （1）根据题意分别计算三种销售方案的利润，即可求解； （2）设天用于精加工，则天用于粗加工，根据题意得出，进而计算销售利润，即可求解． 【详解】（1）解：方案三获利最多，理由如下： 方案一：， 方案二：， 方案三：， ， 所以方案三获利最多； （2）存在，销售后所获利润为元 设天用于精加工，则天用于粗加工，由题意： ， 解得： 获利： 题型四：比赛积分问题 13．(23-24七上·西藏拉萨尼木县中学·期末)为落实国家“双减”政策，林芝市某中学举行知识竞赛，共出了25道题，评分标准如下：答对1题得4分；答错1题倒扣1分，拉姆答完了全部试题，共得70分，则她答对了多少道题？ 【答案】她答对了19道题 【分析】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是根据题意，正确列出一元一次方程．设她答对了道题，则答错了道题，根据得分70，列方程求解即可． 【详解】解：设她答对了道题，则答错了道题，由题意可得： 解得 答：她答对了19道题． 14．某校举行足球比赛，共有8个球队参加比赛，赛制为双循环赛（任意两队之间比赛两场）．计分规则为胜一场得3分，平一场得一分，负一场得0分．已知甲队负4场，乙队平8场，甲队的胜场数比乙队胜场数的2倍少2场，且甲队比乙队多得2分． (1)每支球队比赛几场？ (2)请求出甲队和乙队各胜几场？ 【答案】(1)每支队伍比赛14场 (2)甲队胜6场乙队胜4场 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）设乙队胜场数场为x 场，则甲队胜场数为场，则甲队的平场数为，乙队的负场数为场，根据甲队比乙队多得2分，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：“任意两队之间比赛两场”可以理解为每支队伍需要与其他队伍分别比赛两场，由题意（场）． 答：每支队伍比赛14场． （2）解：设乙队胜场数场为x  则甲队胜场数为：， 所以甲队的平场数为， 乙队的负场数为， 由题意列方程， 解得， 则， 答：甲队胜6场乙队胜4场． 15．下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)观察积分榜，请直接写出球队胜一场积 分，负一场积 分； (2)根据积分规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共18轮（每个球队各有18场比赛），D队希望最终积分达到32分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)胜2场，负9场 (3)不可能实现，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）观察C队和D队积分，即可解答； （2）设E队胜场，利用E队的积分是13分，得到等量关系，再列出方程求出的值，即可解答； （3）由题意得，D队还有7场比赛，假设D队剩下7场全胜，算出最终积分，再与32分比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：观察C队和D队积分可知，球队胜一场积分， 负一场积分， 球队胜一场积2分，负一场积1分． 故答案为：2；1． （2）解：设E队胜场，则负场， 由题意得，， 解得：， ， 答：E队已经进行了11场比赛中胜2场，负9场． （3）解：不可能实现，理由如下： 每个球队各有18场比赛，D队已经进行了11场比赛， D队还有场比赛， 假设D队剩下7场全胜，则最终积分， 又， D队不可能实现最终积分达到32分． 16．(24-25七上·山东济宁微山县实验中学教育集团·月考)周末，数学老师带同学们去某市博物馆参观． 【基础设问】 （1）坐车途中，数学老师和大家玩游戏．数学老师根据方程编写了一道应用题，请你帮他们把空缺的部分补充完整． 某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个； ，请问手工小组有几人．（设手工小组有x人） 【开放设问】 （2）请你结合生活实例根据方程编写一道应用题． 【能力设问】 （3）小明想起来之前和爸爸一共下了8盘围棋，爸爸赢一盘记2分，自己赢一盘记6分，每盘都分出了胜负，比赛结束后，爸爸说：“我的得分比你的得分多2分．”请你帮小明判断爸爸的说法是否正确，并给出理由． （4）参观结束后，小明打算给朋友带一些文创用品，现博物馆有以下两种优惠方案： 方案一 可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多可使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券． 例：某次消费120元，使用代金券后，实际花费（元）． 假如小明消费了元． ①若使用代金券，实际花费 元（用含x的代数式表示）； ②选择哪种方案更省钱？ 【拓展设问】 （5）买完文创用品后，所有人员乘客车返回相距的酒店，客车的行驶速度为，同时，酒店工作人员小王开车以的速度从酒店出发，前去迎接，数学老师在两车相遇后换乘小王的车，和小王立刻返回酒店先为大家办理入住手续（车辆掉头、数学老师下车和上车的时间忽略不计），求客车行驶多长时间时两车相距． 【答案】（1）如果每人做6个，那么就比计划多8个；（2）班主任奖励一个小组学生棒棒糖，如果每人奖励5个，那么就还剩2个棒棒糖；如果每人奖励6个，那么就差8个棒棒糖．请问这个小组有几个学生？（3）爸爸的说法不正确，见解析；（4）①；②当时，选择方案一更省钱；当时，费用一样；当时，选择方案二更省钱；（5），或 【分析】（1）根据方程得出答案即可； （2）根据生活实例编写应用题即可； （3）设小明赢x盘，则爸爸赢盘，根据爸爸的得分比你的得分多2分列出方程，解方程即可； （4）①根据题干提供的信息，列出代数式即可； ②分情况进行讨论即可； （5）分三种情况讨论：在两车相遇之前，两车相遇之后，小王回到酒店，分别列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个；如果每人做6个，那么就比计划多8个，请问手工小组有几人． （2）班主任奖励一个小组学生棒棒糖，如果每人奖励5个，那么就还剩2个棒棒糖；如果每人奖励6个，那么就差8个棒棒糖．请问这个小组有几个学生？．（答案不唯一） （3）设小明赢x盘，则爸爸赢盘，根据题意得： ， 解得：， ∵不是正整数， ∴爸爸的说法不正确． （4）①由题意得，若使用代金券，实际花费元． ②使用方案二的实际花费为元， 当时， 解得：， ∴当时，选择方案一更省钱； 当时，费用一样； 当时，选择方案二更省钱． （5）①在两车相遇之前，设客车从出发到两车相距行驶的时间为． 根据题意，得， ∴； ②设两车相遇所需时间为， 根据题意，得， ∴， 设在两车相遇之后到两车相距时所需时间为， 根据题意，得， ∴， 所以此时客车行驶的时间为． ③小王回到酒店共需要， 客车行驶了， 离酒店还有． 设当小王到达酒店后到两车相距时所需时间为． 根据题意，得60d＝5， ∴， 所以此时客车行驶的时间为． 综上所述：客车行驶、或时两车相距． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是根据等量关系列出方程． 题型五：方案选择 17．(24-25七上·安徽合肥四十八中学·)某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 【答案】(1) (2)选旅行社便宜，原因见解析 【分析】本题考查了列方程解决实际问题，通过分析题目可以知道，本题考查的是列方程解决实际问题． （）设当学生有人时，两家旅行社收费一样多，依据旅行社各自 的优惠策略，列出方程即可解出未知数． （）当带名学生时，分别算出两家旅行社的收费，进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设当学生有人时两家旅行社收费一样多，依题意有： 整理方程，得 解得 答：学生人数是人时，收费一样多， （2）旅行社收费：元， 旅行社收费：元， 因为， 所以选旅行社便宜； 原因是学生数超过收费相等的人后，旅行社学生半价的优惠在人数增加时，总费用增长更慢，优惠力度体现更明显． 答：当学生人数是人时，选旅行社划算． 18．某体育用品店出售某品牌的篮球和羽毛球．已知羽毛球的标价为每个5元，篮球的标价为每个40元．节假日期间，为了让利顾客，该店推出两种优惠方案： 甲方案：篮球和羽毛球都按标价打九折出售． 乙方案：买一个篮球送一个羽毛球． 某顾客现要购买40个篮球和a个羽毛球． (1)当时，分别计算按甲、乙两种方案购买，该顾客需付款多少元？ (2)购买羽毛球多少个时，两种方案的收费相同？ 【答案】(1)甲方案1890元，乙方案1900元 (2)购买羽毛球80个时，两种方案的收费相同 【分析】该题考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）分别根据甲方案和乙方案的优惠解答即可； （2）根据“两种方案的收费相同”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：甲方案需付款：； 乙方案需付款：； （2）解：， 解得：， 答：购买羽毛球80个时，两种方案的收费相同． 19．(23-24七上·重庆四川外国语大学附属外国语学校·)【方案问题】某小学组织学生去春游，若租用45座客车，则有15人没有座位；若租用同样数目的60座客车，则一辆客车空车．已知45座客车的租金为220元，60座客车的租金为300元． (1)这个学校一共有学生多少人？ (2)怎样租车最经济合算？此时租金是多少？ 【答案】(1)240人 (2)租用4辆45座客车，1辆60座客车时，最经济合算，租金为元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设这个学校一共有学生x人，根据租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60座客车，刚刚好有一辆客车空车列出方程求解即可； （2）求出45座客车每人的平均租金比60座客车的每人的平均租金要低，则在保证全部坐完学生的情况下，45座客车要尽可能的多，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设这个学校一共有学生x人， 由题意得，， 解得， 答：这个学校五年级一共有学生240人； （2）解：， 所以45座客车每人的平均租金比60座客车的每人的平均租金要低， 所以在保证全部坐完学生的情况下，45座客车要尽可能的多， 辆， 当租用6辆45座客车时的租金为元， 人， 当租用4辆45座客车，1辆60座客车时的租金为元， 因为， 所以租用4辆45座客车，1辆60座客车时，最经济合算，租金为元． 答：租用4辆45座客车，1辆60座客车时，最经济合算，租金为元． 20．我校体育组决定购买羽毛球和羽毛球拍若干．甲、乙两家体育用品商店出售同一品牌同一规格的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价8元，羽毛球拍每副定价80元、现两家商店都在搞促销活动：甲店每出售一副球拍赠2个羽毛球；乙店球拍和羽毛球均按九折优惠．若体育组需购副球拍，300个羽毛球．根据题意完成下列问题． (1)购买方案一：全部到甲商店购买，需付款______元；购买方案二：全部到乙商店购买，需付款______元；（用含的代数式表示） (2)当取何值时，两种方案所需费用相等？ (3)当，请根据甲、乙两商店的促销信息，判断是否有比（1）中两个方案更优惠的购买方法，如果有，写出方案并列式求出所需费用；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)30 (3)当去甲商店买球拍，去乙商店购买剩余的羽毛球时更优惠，所需费用为5440元 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确的列出代数式和一元一次方程，是解题的关键： （1）根据两种优惠方案，列出代数式即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可； （3）去甲商店买球拍，去乙商店买羽毛球，求出费用即可． 【详解】（1）解：由题意，得：到甲商店购买，需付款（元） 到乙商店购买，需付款：（元） 故答案为：，； （2）由题意，得： 解得： 故当时，两种方案所需费用相等； （3）有；去甲商店买球拍，去乙商店买羽毛球 当时：方案一费用： 元 方案二费用为：元 当去甲商店买球拍，去乙商店买羽毛球时，所需费用为：元 答：当去甲商店买球拍，去乙商店购买剩余的羽毛球时更优惠，所需费用为5440元． 题型六：数字问题 21．(24-25七上·江苏淮安清河开明中学·期中)有一个两位数，两个数位上的数字和是6，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，那么所得的新两位数比原两位数大18，求原两位数． 【答案】原数是24． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用；由题意可设十位数字为x，则个位数字为，然后根据题意可列方程为，进而求解即可． 【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为， 根据题意得：， 解之得：． ，原数为24． 答：原数是24． 22．(24-25七上·江苏连云港赣榆区·期中)将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为a，请计算十字框中五个数之和； (3)十字框中的五个数之和能为2024吗？能为2025吗？ 【答案】(1)十字框中的五个数之和是中间数15的5倍 (2) (3)十字框中的五个数之和不能为2024，能为2025 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式的计算，一元一次方程的运用，理解数量关系，掌握整式的加减，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）运用代数式表示数或数量关系，运用整式的加减运算即可求解； （3）根据题意，运用一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴十字框中的五个数之和是中间数15的5倍； （2）解：设中间数为a， ∴中间上面的数为，中间下面的数为，中间左边的数为，中间右边的数为， ∴； （3）解：根据题意，， 解得，，不符合题意； ， 解得，，且是奇数， ∴十字框中的五个数之和不能为2024，能为2025． 23．将连续的偶数0，2，4，6，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移） (1)若框住的5个数中，正中间的一个数为40，则这5个数的和为____________； (2)十字框内五个数的最小和是____________； (3)十字框能否框住这样的5个数，它们的和等于2030？若能，求出正中间的数：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)它们的和不能等于2030，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及数字的变化规律，熟练掌握通过设未知数，根据数量关系列方程求解，以及分析数字排列规律是解题的关键． （1）根据数阵中数的排列规律，正中间的数与上下左右四个数的关系为：左右两个数比中间数少 2 和多 2，上下两个数比中间数少 12 和多 12，据此求出这 5 个数并求和． （2）要使十字框内五个数的和最小，则正中间的数要尽可能小，结合十字框的框取规则确定正中间最小的数，进而求出这五个数并求和． （3）设正中间的数为，根据上述数量关系表示出其余四个数，然后根据五个数的和等于 2030 列出方程，求解并根据实际情况判断解是否合理． 【详解】（1）解：∵正中间的一个数为， ∴左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， ∴这个数的和为． （2）解：∵十字框只能平移，且要框住个数， ∴正中间最小的数为， 此时左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， ∴这个数的和为． （3）解：和能不等于2030，理由如下： 设正中间的数为，则左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， 依题意得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． ∵将连续的偶数0，2，4，6，…排成如图所示的数阵， ∴第个数为， 当时，解得：， ∴排在第位， ∵在第，即在第行第个，即是第34行最后一个数， ∴不能在十字框的中间， ∴它们的和不能等于2030． 24．将奇数1至2025按照顺序排成下表： 记表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是17 (1)______； (2)若，推理______；______； (3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于100，若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由． (4)用m、n的式子表示=______ 【答案】(1)41 (2)169，5 (3)不能，理由见解析 (4) 【分析】（1）根据题意可知表示第4行第3个数，每行都有6个数，先求出对应的偶数，再得出奇数，然后即可计算出相应的值； （2）根据题意，可以得到，然后m为整数，，即可得到m、n的值； （3）设4个阴影格子中的数分别为,即可列出相应的方程，然后求解即可说明理由； （4）根据表格中的数据和发现，可以用含m、n的代数式表示出. 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为：41； （2）解：， ∴， 即. ∵m是正整数，， ∴. 故答案为：169，5； （3）解：所覆盖的4个数之和不能等于100. 理由：设4个阴影格子中的数分别为, 由题意可得，, 解得， 为整数， 所覆盖的4个数之和不能等于100； （4）解：由题意可得，， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，找出等量关系，列出相应的方程． 题型七：几何图形问题 25．(24-25七上·陕西安康汉滨区五里镇民主九年制学校·)如图，某公园有一处长为，宽为的长方形空地，为美化环境，现计划在阴影部分种植花卉，在空白三角形部分修建一个游客观赏区，已知种植花卉的面积为，求长方形空地的长． 【答案】15m 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先求出空白三角形的两直角边长分别为：，，然后根据种植花卉的面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：空白三角形的两直角边长分别为： ，， 根据题意可得：， 解得：， ∴， 答：长方形空地的长为． 26．如图，一个长方形纸片的长为，在这张纸片的长和宽上各剪去宽为的长条，剩下的长方形面积是原长方形面积的，求原长方形纸片的宽． 【答案】原长方形纸片的宽是 【分析】本题考查一元一次方程的应用，注意计算的准确性．设原长方形纸片的宽是，由题意即可建立方程求解． 【详解】解：设原长方形纸片的宽是， 由题意得： 解得：； 答：原长方形纸片的宽是． 27．为践行劳动教育，学校特意划出一块长方形土地供学生劳作．如图，长方形土地一面靠墙，现将不靠墙的三面向内推进x米修建小路，在小路内侧用篱笆围出一块长方形菜地． (1)当时，篱笆的长度为 米． (2)用x的代数式表示篱笆的长度．（列式并化简） (3)若篱笆长度为36米，求小路的宽度． 【答案】(1)32 (2)米 (3)1米 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）根据图形列出代数式即可； （3）根据篱笆长度为米列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（米）， 答：篱笆的长度为米； （2）解：米， 答：篱笆的长度为米； （3）解：当篱笆长度是米时，根据解析（2）可得： ， 解得：， 答：小路的宽度为米． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，数形结合，利用方程思想解决问题． 28．(24-25七上·重庆酉阳土家族苗族自治县桃花源中学·期中)如图将一张正方形纸片剪去一个宽为5厘米的长方形长条后，再从剩下的长方形纸片上按如图所示剪去一个宽3厘米的长方形长条．如果第一次剪下的面积是第二次剪下的面积的2倍，那么，原正方形的面积是多少？ 【答案】原正方形的面积为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设原正方形的边长为，根据第一次剪下的面积是第二次剪下的面积的2倍，列一元一次方程，解方程求出边长，进而求出正方形的面积． 【详解】解：设原正方形的边长为， 则， 解得：， 故原正方形的面积为． 答：原正方形的面积为． 题型八：动点问题 29．如图，点A、B都在数轴上，O为原点，点A在原点O的右侧，点B在原点O的左侧，且O，A两点间的距离为2个单位长度，A，B两点间的距离为6个单位长度． (1)分别求出点A和点 B对应的数； (2)点M以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿数轴向右运动，运动时间为t秒，当点M与点A之间的距离为4个单位长度时，求t的值； (3)对折数轴，使数轴上点A与点B重合，求同时与 对应的点重合的点对应的数． 【答案】(1)点对应的数为2，点表示的数为 (2)的值为1或5 (3)同时与对应的点重合的点对应的数 【分析】题目主要考查数轴上的点的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）分两种情况：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别求解即可； （3）设线段的中点为，点所对应的数为，得出，设点所表示的数为，与表示的点重合，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴点对应的数为2， ， ∴点表示的数为； （2）当点在点左侧时，， 解得； 当点在点右侧时，， 解得． 综上所述，当点与点之间的距离为4个单位长度时，的值为1或5； （3）设线段的中点为，点所对应的数为， ∵对折数轴，使数轴上的点与点重合， ∴， ∴， 解得：， 设点所表示的数为，与表示的点重合， ∴点是线段的中点， ∴， ∴， 解得：． 答：同时与对应的点重合的点对应的数． 30．(24-25七上·广东汕头潮南实验学校·期中)如图，在数轴上点表示的数是8．若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为（秒）． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； (3)当点到原点的距离为4时，求点到原点的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)2或6 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分两种情况，点在还没达到原点，点Q到点O的距离为4；到达原点后返回时，与点O的距离为，再计算时间，即可得到点到点O的距离，即可解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ， ∴时点Q到达原点，然后开始向右运动， ∴当时，点向右运动了得，此时点到原点的距离为； （3）解：当时， 或， 或， 当时，； 当时，． 31．【问题背景】 如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 【问题发现】 （1）若数轴上数x到原点的距离为3，且x在原点左边，则x的值为 ； 【探索求知】 （2）若数轴上表示a和2的两点之间的距离为7，求a表示的数； 【拓展延伸】 （3）若点A表示的数是，点B与点A的距离是6，且点B在点A的右侧，点P的速度是每秒5个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，则运动几秒时，点P与点Q之间的距离为1？（请写出求解过程） 【答案】（1） （2）或9 （3）或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）由数轴上数x到原点的距离为3，可列出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出x的值，再结合x在原点左边，即可确定x的值； （2）根据数轴上表示a和2的两点之间的距离为7，可列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由点A，B之间的距离结合点A表示的数，可找出点B表示的数，当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）根据题意得：， 解得：或， 又∵x在原点左边， ∴x的值为． 故答案为：； （2）根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：a表示的数为或9； （3）∵点A表示的数是，点B与点A的距离是6，且点B在点A的右侧， ∴点B表示的数是， 当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：运动或秒时． 32．(24-25七上·四川成都青山教育·期中)如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，C在原点左侧，且，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点C表示的数为______，并用含 t的代数式表示点P所表示的数为______； (2)设M是的中点，N是的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求线段的长度； (3)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三点同时出发，在运动过程中，P到R的距离、P到Q的距离，这两段距离何时相等，请求出此时t的值． 【答案】(1)； (2)点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，其值为5 (3)t的值为1或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示出运动时间为t秒时点P所表示的数；（2）根据各点之间的关系，用含t的代数式表示出点M，N表示的数；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设点C表示的数为x，根据，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出点C表示的数，根据点P的出发点、运动速度、运动方向及运动时间，即可用含t的代数式表示出运动时间为t秒时点P所表示的数； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，结合M是的中点，N是的中点，可得出点M表示的数为，点N表示的数为，再利用数轴上两点间的距离公式，可求出，进而可得出结论； （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设点C表示的数为x， 根据题意得：， 解得：， 数轴上点C表示的数为， 当运动时间为t秒时，点P表示的数为． 故答案为：，； （2）解：线段的长度不发生变化，其值为． 当运动时间为t秒时，点P表示的数为， 是的中点，N是的中点， 点M表示的数为，点N表示的数为， ， 点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，其值为5； （3）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：t的值为1或． 题型九：和差倍分问题 33．四盘苹果共100个，把第一盘的个数加上4，第二盘的个数减去4，第三盘的个数乘以4，第四盘的个数除以4，所得的数目一样．问原来四盘苹果各多少个？ 【答案】4个盘中原先各有12个、20个、4个、64个苹果 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设当四个盘相等时苹果的个数为， 根据四盘苹果共100个，把第一盘的个数加上4，第二盘的个数减去4，第三盘的个数乘以4，第四盘的个数除以4，所得的数目一样，进行列式解得，解得，再分别算出4个盘的个数，即可作答． 【详解】解：设当四个盘相等时苹果的个数为， 则， ∴， 解得， 则第一个盘中的个数是（个）； 第二个盘中的个数是（个）； 第三个盘中的个数是（个）； 第四个盘中的个数是（个）． 答：4个盘原先各有12个、20个、4个、64个苹果． 34．今年小明13岁，王老师45岁，再过几年小明年龄是王老师年龄的三分之一？ 【答案】再过3年小明年龄是王老师年龄的三分之一 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设再过x年小明年龄是王老师年龄的三分之一，再根据今年小明13岁，王老师45岁，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设再过x年小明年龄是王老师年龄的三分之一， 由题意得， 解得：， 答：再过3年小明年龄是王老师年龄的三分之一． 35．小华的年龄是8岁，小青的年龄是9岁，求得他们今年的年龄之和是17岁，像这样的问题就是年龄问题． (1)3年前，小康的年龄是17岁；3年后，小康的年龄是多少岁？ (2)小晨的年龄是5岁，小铃的年龄是7岁，多少年后他们的年龄和是30岁？ (3)小丁对小当说：“我到你这个年纪时，你就25岁了．”小当对小丁说：“我在你这么大时，你才4岁．”小丁今年多少岁？ 【答案】(1)23 (2)9 (3)11 【分析】本题主要考查年龄问题的应用，关键是利用年龄差不变做题 （1），需要明确年龄随时间变化的规律，即时间往前年龄减少，时间往后年龄增加。结合题意分析解答即可； （2）根据两人年龄同时增长，年龄和每年增加的量是两人每年增长年龄之和，利用年龄和的变化规律来解题； （3）通过两人不同表述构建关于年龄差的关系，再利用年龄差不变的性质来求解． 【详解】（1）（岁）， （岁）， 答：3年前，小康的年龄是17岁；3年后，小康的年龄是23岁． （2）（岁）， （年）， 答：小晨的年龄是5岁，小铃的年龄是7岁，9年后他们的年龄和是30岁． （3）设小丁今年岁，则二人年龄差是岁，小当的年龄是岁， 则， 即， ， 解得， 答：小丁今年11岁． 36．一次春游活动，一个同学到负责后勤的老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领55个．又问“多少人吃饭？”他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗．”请算一算，这个同学给参加春游活动的多少人领碗．嘉嘉说我是这样列的算式： ，淇淇说我是这样列的算式： (1)请判断以上两位同学的解法是否正确？________（把正确选项填写在横线上） A．嘉嘉的解法正确，淇淇的解法不正确    B．嘉嘉的解法不正确，淇淇的解法正确 C．两人的解法都正确        D．两人的解法都不正确 (2)选择其中一位同学的算式说明道理． (3)请用列方程的方法解决这个问题． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)30人 【分析】本题考查了分数的应用，方程的应用，解题的关键是： （1）分析两人的解法是否正确即可； （2）选择其中一位同学的算式，说明其解题思路即可； （3）设参加春游活动的x人领碗，根据碗的总数列出方程求解即可． 【详解】（1）解：已知一人一个饭碗，即饭碗数等于人数，两人一个菜碗，那么菜碗数是人数的，三人 一个汤碗，那么汤碗数是人数的，而碗的总数是55个， 则人数+人数的+人数的， 所以人数为， 故嘉嘉的解法正确； 因为1、2、3的最小公倍数是6， 所以可以把6个人看作一组， 一组6个人需要的饭碗数是6个，菜碗数是个，汤碗数是个，那么一组6人共需要的碗数是个， 现在总共有55个碗，，说明一共有5组，每组6人， 所以总人数为人， 故琪琪的解法正确， 故选：C； （2）解：选择嘉嘉的解法：算式，其中1代表每人一个饭碗，代表两人一个菜碗，代表三人一个汤碗， 用碗的总数55除以这些分数的和，得到的就是参加春游活动的人数； 选择琪琪的解法：算式，先找出1、2、3的最小公倍数是6，把6个人看作一组， 一组6个人需要的6个饭碗数，3个菜碗数，2个汤碗数总共是11个碗， 用碗的总数55除以11得到组数，再乘以每组6个人，得到的就是参加春游活动的人数； （3）解：设参加春游活动的有x人， 根据题意，得， 解得， 答：参加春游活动的有30人． 题型十：电费水费问题 37．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据水费标准进行计算即可； （2）判断出10月份的用水量超过，根据水费的收费办法列方程求解即可． 本题考查一元一次方程的应用，理解题目中“收费办法”是解决问题的关键． 【详解】（1）由题意得，， 解得， 答：； （2）， 该居民用户10月份的用水量超过， 设该居民用户10月份的用水量为，由题意得， ， 解得， 答：该用户10月份用水． 38．节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 【答案】(1)用水在立方米之间的收费标准元/立方米 (2)他家8月份的用水量是32立方米 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键． （1）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以，根据方程即可求出a的值； （2）先根据第（1）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． 答：用水在立方米之间的收费标准元/立方米； （2）当用水量为30立方米时，缴费元， 小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元， 小明家去年8月份用水量超过30立方米， 设他家8月份的用水量是x立方米． 由题意得：， 解得． 答：他家8月份的用水量是32立方米． 39．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元/度） 不超过50度的部分 0.5 超过50度但不超过200度的部分 0.6 超过200度的部分 0.8 已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是___________月份，实际用电量为___________度； (2)小刚家一月份应交纳电费___________元； (3)若小刚家七月份应交纳的电费为163元，求小刚家七月份的用电量． 【答案】(1)五，236 (2)85 (3)260 【分析】本题考查了正负数的实际意义，列代数式和解一元一次方程，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据正负数表示的意义，结合表格找到最多的，加上基础量进行计算即可解答； （2）根据表格求出用电量，结合收费标准列式计算即可得到答案； （3）根据收费标准，判断出小刚家七月份用电量超过了200度，再设小刚家七月份的用电量为x度，利用前两档满额计算加上第三档的即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知， 五月份用电量最多，实际用电量为：（度）， 故答案为：五，236； （2）小刚家一月份用电：（度）， 小刚家一月份应缴纳电费：（元）， 故答案为：85； （3）居民每月用电量为50度时，电费为：（元）， 居民每月用电量为200度时，电费为：（元）， ， 小刚家七月份用电量超过了200度， 设小刚家七月份用电量为x度， ， 解得， 答：小刚家七月份用电量为260度． 40．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某区采用价格调控手段达到节水的目的，如表是调控后的价目表． 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费 元，若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为 吨； (2)若该户居民11月、12月共用水18吨，共交水费52元，12月用水量不低于11月．求11月、12月各应交水费多少元． 【答案】(1)， (2)该户居民11月份应交水费16元，12月份应交水费36元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键． （1）该户居民8月份用水8吨，应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，计算即得答案；若该户居民9月份应交水费26元，判断应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，设未知数列方程并求解，即得答案； （2）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨，根据12月用水量不低于11月，可得，，分、，三种情况，分别列方程并求解验证，即得答案． 【详解】（1）解：， 所以该用户8月应交水费20元； 设该用户9月用水量为x吨， ，， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户9月用水量为吨； 故答案为：，； （2）解：设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨， 12月用水量不低于11月， ， 得， 当时，， 由题意得， 解得，不合题意，舍去； 当时，， 由题意得， 解得， ， （元）， （元）； 当时，， ，不合题意，舍去． 故11月份应交水费16元，12月份应交水费36元 题型十一：行程问题 41．(24-25七上·陕西西安阎良区·期末)小秦和小明在操场练习跑步，两人从同一起点A出发，小秦每分钟跑300米，小明每分钟跑200米，小秦比小明晚出发3分钟，结果两人同时到达终点B，求两地的路程． 【答案】A，B两地的路程为1800米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设A，B两地的路程为x米，利用时间路程速度，结合小秦比小明少用3分钟，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设A，B两地的路程为x米， 根据题意得：， 解得：． 答：A，B两地的路程为1800米． 42．一天，小王和小颖在一条平缓的坡路上玩，小王从坡底跑到坡顶用时5分钟，从坡顶跑到坡底用时3分钟，已知他下坡比上坡每分钟多跑80米，小颖上坡、下坡的速度跟小王相同．从某一时刻开始，小颖从坡顶往下跑，同时小王从坡底往上跑，经过多长时间后他们俩相距56米？ 【答案】经过1.7分钟或2.05分钟后他们俩相距56米 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键．先设坡路的长度为米，由等量关系列一元一次方程求出坡长，从而根据速度路程时间求出小颖下坡和小王上坡速度，进而设经过分钟后他们俩相距56米，分两种情况列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设坡路的长度为米， 根据题意，得， 解得， 则小颖下坡的速度为（米/分钟）；小王上坡的速度为（米/分钟）； 设经过分钟后他们俩相距56米， ①相遇之前相距56米，则，解得； ②相遇之后相距56米，则，解得； 答：经过1.7分钟或2.05分钟后他们俩相距56米． 43．某校七年级的两个班要到文化馆参加活动，但只有一辆校车接送学生．七（）班的学生从学校坐车从学校出发的同时，七（）班开始步行：车到途中某处，让七（）班的学生下车步行，车立刻返回接七（）班学生上车，并直接开往文化馆，学生步行速度为每小时千米，载学生时车速为每小时千米，空车为每小时千米，要使两个班的学生同时到达文化馆，七（）班的学生步行了全程的几分之几？ 【答案】三十七分之五 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，因为两个班的同学都是一段路步行，一段路乘车，而乘车的速度比步行快，中间又没有停留，因此要同时到达文化馆，两个班的同学步行的路程一定要一样长，所以设七（）班学生走的路程为，全程为，列出方程求出的值即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：因为两个班的同学都是一段路步行，一段路乘车，而乘车的速度比步行快，中间又没有停留，因此要同时到达文化馆，两个班的同学步行的路程一定要一样长， 所以设七（）班学生走的路程为，全程为， 则， 解得 答：七（）班的学生步行了全程的三十七分之五． 44．甲、乙和丙三人一起去派遣，乙和丙是徒步旅行的好手，他们每小时都可以走6公里，甲的脚力不行，他驾驶一辆小型电动汽车，可以坐两个人，但坐不下三个，这辆车每小时跑30公里，这三个朋友采取下面这个方案：他们一起出发，丙乘甲开的车，乙走路，过一会儿甲丢下丙让他继续走路，甲回去接乙．然后他们俩驾车直至追上丙，此时，他们进行了轮换，即丙换上去坐车，乙又步行，这就回到了开始时的情形，这样整个过程不断重复直至必要的次数． (1)他们每小时前进多少公里？ (2)旅行中有几分之几的时间汽车上只有一个人？ 【答案】(1)公里 (2)旅行中有四分之一的时间汽车上只有一个人 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用及逻辑判断，理解题意，列出方程求解是解题关键． （1）设甲和丙开了x小时车，甲返回接乙，甲与丙x小时开车行程为公里，乙x小时步行路程为公里，根据题意列出方程求解即可； （2）根据题意，甲乙丙从出发到再次相聚，其间，甲返回去接乙这段时间是独自一人在车上，由第（1）问可知这段时间是小时，结合题意求解即可． 【详解】（1）解：设甲和丙开了x小时车，甲返回接乙， 甲与丙x小时开车行程为公里，乙x小时步行路程为公里， 此时甲与乙相距公里， 此处甲接上乙需要的时间是（小时）， 此时，甲丙距离为（公里）， 甲追上丙需要的时间是（小时）， 甲和乙开车追上丙时，三人的行程所花时间是（小时）， 其中丙步行所用时间（小时）， 这时，三人离起点的距离是（公里）， 则他们每小时前进的路程是（公里） （2）根据题意，甲乙丙从出发到再次相聚，其间，甲返回去接乙这段时间是独自一人在车上， 由第（1）问可知这段时间是小时， 甲乙丙从出发到再次相聚共用的时间是小时， 因此，即旅行中有四分之一的时间汽车上只有一个人． 题型十二：比例问题 45．新华书店新进一种畅销书，第一天售出总数的，第二天售出总数的还多20本，书店还剩140本这种书，新华书店新进这种肠销书多少本？ 【答案】新华书店新进这种畅销书600本 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设新华书店新进这种畅销书x本，由总数减去两次销售的数量等于140，再建立方程求解即可． 【详解】解：设新华书店新进这种畅销书x本． ， ， ， 答：新华书店新进这种畅销书600本． 46．甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？ 【答案】甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为，根据他们共捐了374本，即可求出这三位同学各捐书多少册； 【详解】解：设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为， ∵他们共捐了374本， ∴， 解得， ∴甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为本． 47．如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 【答案】桶内水深12厘米． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确没入水中的长度即是水深并由此设未知数列出方程是解题的关键． 由两根铁棒没如水中部分的长度相等，设桶内水深为x厘米，则第一根铁棒的长度为，第二根铁棒法长度为，又知两根铁棒的长度之和是31厘米列方程求解即可． 【详解】解：设桶内水深为x厘米， ， ， ， ， ， ． 答：桶内水深12厘米． 48．如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据空宽：字宽：字距设边空宽为，字宽为，字距为.再根据长的横幅列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：因为边空宽：字宽：字距， 所以设边空宽为，字宽为，字距为. 由题意可得：， 解得. 答：横幅字距为． 题型十三：日历问题 49．将连续的奇数排成如下一个数表，并用一个如图所示的十字框框住数表中的五个数，且该十字框可以在数表中上、下、左、右平移，试解决以下问题： (1)若设十字框中间的数为a，试求十字框框住的五个数的和： (2)在（1）的条件下，试问：该十字框框住的五个数字之和能等于吗？若能，试求出a的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及列代数式，根据十字框中5个数之间的关系求出5个数之和是解题的关键． （1）由题意观察图形，根据5个数之间的关系即可求出这十字框中五个数的和； （2）由题意可得，，求出，根据不是整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵十字框中间的数为a， ∴这十字框中五个数的和为． （2）设十字框中间的数为a，根据题意，得：， 解得：． ∵不是整数， ∴假设不成立，即十字框中的五个数之和不能等于2023． 50．如图是某月的月历表，在此月历表上用一个“十”字形方框任意框出5个数． (1)若框出的5个数中，最中间的数为a，则它左边的数为，下面的数为___________． （用含 a的代数式表示） (2)若框出的5个数之和为100，则框出的5个数中，最中间的数为多少？ 【答案】(1) (2)20 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据一星期为7天即可得出答案． （2）设最中间的数为a，则它左边的数为，右边数为，下面的数为，上面的数为，然后根据框出的5个数之和为100列出关于a的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：框出的5个数中，最中间的数为a，则它左边的数为，下面的数为：， 故答案为：． （2）解：如（1）设最中间的数为a，则它左边的数为，右边数为，下面的数为，上面的数为， ， 整理得：， 解得：， 则最中间的数为20． 51．生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？如图，这是2025年1月的月历． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)它的横行、竖列上的相邻两数之间分别有什么关系？ (2)如果一竖列上连续三个数的和为48，你能知道这三个数分别是多少吗？ (3)如果用一个正方形圈出四个数，这四个数的和能等于60吗？若能，请求出圈出的四个数分别是多少；若不能，请说明理由． 【答案】(1)横行上的相邻两数之间的关系为：后一个数与前一个数的差为，竖列上的相邻两数之间的关系为：下一列的数与上一列的数的差是； (2)这三个数分别是、、 (3)不能，理由见详解 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出日历中的规律是解题的关键． （1）观察日历即可求解； （2）设中间的数为，则有，即可求解； （3）设最左上角的数为，则有，即可求解． 【详解】（1）解：横行上的相邻两数之间的关系为：后一个数与前一个数的差为， 竖列上的相邻两数之间的关系为：下面一行的数与上面一行的数的差是； （2）解：设中间的数为，则有 ， 解得， 所以， ， 故这三个数分别是、、； （3）解：不能； 理由如下： 设最左上角的数为，则有 ， 解得， 所以，，， 所以四个数分别是、、、， 由日历得与不在同一列，与不在同一列， 故不能用一个正方形圈出四个数，这四个数的和不能等于60． 52．将自然数1，2，3，…如下排列，用一个3×3的正方形方框框出9个数 (1)若框出的9个数之和是2025，那么框出的数中最大的数是多少？ (2)能不能使框出数之和为2205，若能，请求出框出数中最大的那个数，若不能请说明理由． 【答案】(1)233 (2)不能使框出数之和为2205 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意表示出各数是解题关键． （1）设最小数为x，则其余数为：，，，，，，，，从而列方程求解； （2）设最小数为x，则其余数为：，，，，，，，，从而列方程求解． 【详解】（1）解：设最小数为x，则其余数为：，，，，，，，， 由题意可得， 解得：， ∴框出数阵中的五个数最大的数为； （2）解：这五个数的和能为2205．理由如下： 解：设最小数为x，则其余数为：，，，，，，，， 由题意可得， 解方程得：． ，最小数在第6列，没有第8列可框， ∴不能使框出数之和为2205． 题型十四;古代问题 53．《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 【答案】长木长尺 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． 设长木长为x尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺”可得绳长为尺；根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可得绳长为尺；列方程求解可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 答：长木长尺． 54．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】客人共有30位，盘子共有13个． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 55．课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 【答案】624个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设寺里有x个和尚，根据“每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗”，可列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设寺里有x个和尚， 根据题意得：，解得：． 答：寺里有624个和尚． 56．我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房”，诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． (1)列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠；若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 【答案】(1)该店有客房4间，到了63名房客 (2)诗中的“众客”再次一起入住，他们可以选择订20间房更合算，理由见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列出方程求解是解题的关键． （1）设该店有客房x间，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房”，列方程求解即可； （2）根据题意得至少需要16间客房，按照优惠方式分别计算订16间房和20间房，即可得到结果． 【详解】（1）解：设该店有客房x间， 由题意得，， 解得， ∴（人）， 答：该店有客房8间，到了63名房客； （2）解：若每间房最多入住4人，得，则至少需要16间客房， ∵不低于10间但低于20间，给予九折优惠， ∴订16间房需要付（钱）， ∵等于20间或是超过20间的，给予七折优惠， ∴订20间房需要付（钱）， ∵， ∴诗中的“众客”再次一起入住，他们可以选择订20间房更合算． 1．贵州，不仅有着迷人的自然风光，还拥有着独特而丰富的饮食文化，贵州刺梨汁以其丰富的营养价值和独特的风味受到广大消费者的喜爱．某商家用刺梨汁制作出了刺梨饮品和刺梨蛋糕，并以“2个蛋糕+1杯饮品”的套餐进行推广销售．该商家现有店员8名，每位店员每日可制作蛋糕60份或饮品90份，每位店员每天只负责一种商品的制作，要使每天制作的蛋糕和饮品刚好配套，应安排制作蛋糕和饮品的店员各多少名？ 【答案】应该安排6名店员制作蛋糕，剩余的2名店员制作饮品 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设安排名店员制作蛋糕，则安排名店员制作饮品，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】设安排名店员制作蛋糕，则安排名店员制作饮品，根据题意得， ， 解得：， 答：应该安排6名店员制作蛋糕，剩余的2名店员制作饮品． 2．有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷7个房间，结果其中有墙面未来得及粉刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间之外，还多粉刷了另外的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷墙面．求每个房间需要粉刷的墙面面积． 【答案】每个房间需要粉刷的墙面面积为 【分析】本题主要考查了列一元一次方程来解决现实生活中的实际问题；解题的关键是准确找出命题中隐含的等量关系，正确列出方程． 设每个房间需要粉刷的墙面面积为，根据等量关系：每名师傅每天粉刷的墙面每名徒弟每天粉刷的墙面，列出方程即可解决问题． 【详解】解：设每个房间需要粉刷的墙面面积为，则每名师傅每天粉刷墙壁，每名徒弟每天粉刷墙壁； 由题意得：， 解得：． 答：每个房间需要粉刷的墙面面积为． 3．贵州有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，都匀毛尖、湄潭翠芽、贵定云雾茶、凤冈锌硒茶等均产自贵州．某采购商计划购进甲、乙两种茶叶，已知甲种茶叶每盒的进价比乙种茶叶每盒的进价少20元．若购进甲种茶叶5盒，乙种茶叶3盒，则共需要700元． (1)甲、乙两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ (2)该采购商购进了甲种茶叶300盒、乙种茶叶200盒．在销售时，甲种茶叶每盒的售价为110元，要使这500盒茶叶所获利润率为，乙种茶叶每盒的售价应是多少元？ 【答案】(1)甲种茶叶每盒的进价是80元，乙种茶叶每盒的进价是100元； (2)乙种茶叶每盒的售价应是121元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设甲种茶叶商品的进价是元，乙种茶叶商品的进价是元，若购进甲种茶叶商品5盒，乙种茶叶商品3盒 ，共需要700元．列出一元一次方程组，解方程组即可； （2）设每件乙种茶叶商品的售价为元，根据使得这500件茶叶商品所获利润率为，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲种茶叶每盒的进价是元，则乙种茶叶每盒的进价是元． 根据题意，得， 解得． 所以． 答：甲种茶叶每盒的进价是80元，乙种茶叶每盒的进价是100元． （2）解：设乙种茶叶每盒的售价是元， 根据题意，得， 解得． 答：乙种茶叶每盒的售价应是121元． 4．在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)若这支球队9场比赛得到的积分是21分，求这9场比赛中的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？ 【答案】(1)这9场比赛中胜6场，平3场 (2)这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）设该队共胜了场，则平了场，根据共得20分，列方程求解； （2）由题意得，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设该队共胜了场，则平了场， 根据题意列出方程为， 解得． 答：这9场比赛中胜6场，平3场； （2）解：由题意得， 解得不符合实际意义， ∴这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 5．“中国最美的五大沙漠之一”—鸣沙山月牙泉风景名胜区，是国家级旅游景区，寒假期间拟定门票价格为50元/张，团队票可选择两种购票优惠方案： 方案一：全体人员打八折． 方案二：有人可以免票，剩下的人员打九折． (1)若某团队有人，为节省购票费用，则该团队应该选择哪种购票方案？ (2)若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，则该团队共有多少人？ 【答案】(1)该团队应该选择方案一 (2)该团队共有人 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确方案一和方案二的收费方式，再列出方程解题． （1）分别计算出方案一和方案二的费用，再比较哪种更划算即可； （2）设团队有人，根据题意，可以列出方程，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 方案一的花费为：（元） 方案二的花费为：（元） ∵， ∴该团队应该选择方案一． （2）解：该团队共有人． 根据题意，得， 解得 答：该团队共有人． 6．（1）【阅读理解】 三阶幻方又名九宫格，是一种将个数字数字不重复使用安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． 在金庸先生的著作射雕英雄传中黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九履一，左七右三，五居中央”请你根据这个口诀把，九个数分别填入图的九宫格里得到一个三阶幻方． （2）【探究发现】 将九个数填入图的方格中，使之构成三阶幻方； 思考问题：若将所填的九个数同时加减或乘除同一个不为的数，你有什么发现？ （3）【结论应用】若满足“幻方”的九个数字之和为，请在图的方格中写出一种符合题意的互不相等的九个数． （4）【类比拓展】在如图的三阶幻方中填写了一些数和字母，则的值为 ． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ②构成三阶幻方的九个数，每个数同时加减或乘除同一个不为0的数，所得到的九个数仍然能构成三阶幻方 （3）见解析，答案不唯一 （4）13 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算， 对于（1），根据口诀填写即可； 对于（2），①求出9个数的平均数，结合该数与5之间的关系，即可得出三阶幻方；②由（1）及（2）①中的幻方，即可得出答案； 对于（3），求出9个数的平均数，结合该数与5之间的关系，即可得出三阶幻方； 对于（4），由第一行及对角线上的三个数字之和相等，可得出关于y的一元一次方程，求出解，再由第三行及第二列上的三个数字之和相等，可列出关于x的一元一次方程，求出解，接下来将其代入待求式，可得答案. 【详解】解：（1）如图所示， （2）①∵，， ∴将图1中每个方格中的数字即可， 如图所示. ②构成三阶幻方的九个数，每个数同时加减或乘除同一个不为0的数，所得到的九个数仍然能构成三阶幻方； （3）∵， ∴图1中每个方格的数字即可， 如图所示.（答案不唯一） （4）∵， 解得. ∵， 即， 解得， ∴. 故答案为：13. 7．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值、这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．数学之星小明查阅资料发现：若一个长方形的短边与长边的比为，这样的长方形称为黄金长方形，黄金长方形能够给画面带来美感，令人愉悦．如图，为了使长220米的篱笆恰好用完．同时围住花田的三面，且长方形的形状更接近黄金长方形，应设计成多少米？(结果保留整数) 【答案】61米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．设长方形的长边为x米，则短边长为米，根据篱笆总长为220米列出方程，解方程即可． 【详解】解：设长方形的长边为x米，则短边长为米，根据题意得： ， 解得：， （米）， 答：应设计成61米． 8．(24-25七上·广西南宁第四十七中学·)【知识背景】在数学中，可以用一条直线上的点表示数，我们把这条直线叫做数轴；数轴要满足以下要求： （1）在直线上任取一点表示0，这个点叫做原点； （2）通常情况下，从原点向右为正方向，从原点向左为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示为1，2，3…； 例如点表示的数为4，是从原点向右移动4个单位长度得到的；点表示的数为7，是由表示的数为9的点向左移动2个单位长度得到的． 【知识应用】若点表示的数是10，向右移动8个单位长度得到的数是_________；同时，点也可以看成是12向_________（“左”或“右”）移动_________个单位得到的． 【拓展提升】如图，从原点出发，以每秒4个单位的速度向右匀速运动，点表示的数是8，在出发的同时，以每秒2个单位的速度向右匀速运动． ①几秒后和重合？ ②出发秒后与相距4个单位长度，请直接写出此时的值． 【答案】18，左，2；①4，②6或2 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，实际问题与一元一次方程 ； 根据数轴上点的移动规律：向右移动，数值增大；向左移动，数值减小，来求解即可． ①分别表示出E，F的位置，列式，计算求解即可； ②根据题意列出距离方程：，分两种情况解方程即可． 【详解】解：∵点F表示的数是10，向右移动8个单位长度， ∴； 点F可看作由12移动得到， 12到10的距离为：； 因数值减小，方向为向左，移动2个单位． 故答案为：18，左，2； 【拓展提升】①E的位置：从原点出发，速度4单位/秒，时间为t秒，位置为． F的位置：从数8出发，速度2单位/秒，位置为； 重合条件：， 解得：秒； 答：4秒后和重合． ②距离方程：， 化简得 分情况解方程： ， ； ， ； 答：t的值为6或2． 9．列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】(1)生产盲盒A的工人人数为600人； (2)该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为人，根据该工厂共有1000名工人，列出方程，解方程即可； （2）设安排m人生产盲盒A，则安排人生产盲盒B，根据2个盲盒A和3个盲盒B组成，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为人， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：生产盲盒A的工人人数为600人； （2）解：设安排m人生产盲盒A，则安排人生产盲盒B， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 10．(24-25七上·湖北荆州沙区·期末)为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如下表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 单价（元/立方米） 不超出6立方米的部分 2 超出6立方米不超出10立方米的部分 4 超出立方米的部分 8 例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为（元） 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费多少元？ (2)若某户居民4月份用水a立方米（其中），请用含a的代数式表示应收水费多少元？（结果需化简） (3)若某户居民3月份交水费60元，则3月份用水量为多少立方米？ 【答案】(1)16元 (2)元 (3)该居民3月份用水量为立方米 【分析】本题主要考查列一元一次方程解实际问题，有理数混合运算的应用，列代数式，读懂题意是解题的关键． （1）根据题目规定进行计算； （2）利用用水量的范围确定单价计算出结果即可； （3）设3月份用水量为立方米，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：某户居民2月份用水7立方米，则应收水费为： （元）； （2）解：某户居民4月份用水a立方米（其中），则应该收水费为： 元； （3）解：（元）， ∵， ∴该居民3月份用水量超过10立方米， 设3月份用水量为立方米，根据题意得： ， 解得． 答：该居民3月份用水量为立方米． 11．(24-25七上·河南漯河实验中学·期中)已知甲、乙两人在一个米的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分成相等的段，即两条直道和两条弯道的长度相同，甲平均每秒跑米，乙平均每秒胞米，甲、乙两人分别从、两处同时相向出发（如图），试解答下列问题    (1)首次相遇后，又经过多少时间他们第次相遇，在哪一段跑道上？ (2)他们第次相遇时，在哪一段跑道上？ (3)若甲乙两人在首次相遇后，甲乙两人决定同方向练习跑步，问甲乙两人经过多少时间再次相遇，在哪一段跑道上？ 【答案】(1)秒后两人再次相遇，此时他们在直道上，且离点米的位置． (2)此时甲在弯道上，且离点米的位置． (3)甲在它们第一次相遇后又跑了圈，此时他们在直道上，且离点米的位置． 【分析】本题主要考查一元一次方程与实际问题： （1）设秒后两人首次相遇，依题意得到方程，设y秒后两人再次相遇，依题意得到方程，据此即可求得答案； （2）第次相遇，总用时，即秒，据此即可求得答案； （3）设甲乙两人经过秒再次相遇，依题意得到方程，据此即可求得答案． 【详解】（1）设秒后两人首次相遇，依题意得到方程 解得 甲跑的路程（米）． ∴秒后两人首次相遇，此时他们在直道上，且离点米的位置． 设y秒后两人再次相遇，依题意得到方程 ， 解得 ． 甲跑的路程（米）． 答∶秒后两人再次相遇，此时他们在直道上，且离点米的位置． （2）第次相遇，总用时秒，第次相遇，总用时，即秒，第次相遇，总用时，即秒，第次相遇，总用时，即秒，则此时甲跑的圈数为，因为（米），所以此时甲在弯道上，且离点米的位置． （3）设甲乙两人经过秒再次相遇，依题意得到方程 解得 即秒后再次相遇，甲跑的路程（米）， 即甲在它们第一次相遇后又跑了圈，此时他们在直道上，且离点米的位置． 12．在《国家空间科学中长期发展规划（2024-2050年）》中，明确了我国空间科学发展目标，提出我国拟突破的“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”5大科学主题．某班老师在进行相关科普时，让48名学生从这5大科学主题中各自选择一个喜欢的主题，最终选择“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”的人数比是，那么喜欢“宜居行星”主题的人数是多少？ 【答案】喜欢“宜居行星”主题的人数是16 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据喜欢5大科学主题的人数为48列方程求解即可． 【详解】解：设喜欢“太空格物”主题的人数为，则喜欢“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”主题的人数分别为：、、、． 由题意列方程为： 得：． 答：喜欢“宜居行星”主题的人数是16． 13．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示． (1)若，则=______； (2)设，用含x的式子分别表示M； (3)判断（2）中M的值能否等于2025，请说明理由． 【答案】(1)68 (2)； (3)能等于2025，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，仔细阅读图表排列规律，观察出其余四个数与最中间的数的关系是解题的关键． （1）由可找出a、b、c、d的值，将其相加即可得出结论； （2）根据图形即可得出a、b、c、d与x之间的关系，将a、b、c、d相加即可得出结论； （3）根据，代入2025求出x的值，根据x的奇偶性即可得出M的值能等于2025． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，， ∴； 故答案为：68； （2）解：由题意得，，，； ∴， ∴； （3）解：能等于2025，理由如下： ∵， 当时，， ∵405为奇数，，所以2025在第34行第5列， ∴的值能等于2025． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $