专题10 解一元一次方程（压轴题专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题10 解一元一次方程 目录 2 类型一、利用等式的性质进行变形 2 类型二、解一般的一元一次方程 5 类型三、解分母中含小数的一元一次方程 9 类型四、解含多重括号的一元一次方程 15 类型五、解含绝对值的一元一次方程 21 类型六、与解一元一次方程有关的新定义问题 24 类型七、同解方程 25 类型八、错解方程 27 类型九、遮挡/污染问题 30 类型十、解的关系问题 32 类型十一、整体方法解方程 35 类型十二、整数解问题 37 类型十三、解的情况 40 43 类型一、利用等式的性质进行变形 利用等式的性质对等式变形时，应分析变形前后式子发生了哪些变化，发生加减变形的依据是等式的性质1，发生乘除变形的依据是等式的性质2. 1．（2022·青海·中考真题）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（       ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 3．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）运用等式性质进行的变形，错误的是（    ） A．如果 ，那么 B．如果 ，那么 C．如果 ，那么 D．如果 ，那么 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若有理数，，互不相等，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·安徽芜湖·开学考试）求未知数的值． (1)； (2)； (3)． 类型二、解一般的一元一次方程 1）解方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 2) 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100． 6．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）解方程：． 7．（20-21七年级上·安徽合肥·期中）解方程： （1） （2） 8．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）解方程： (1)； (2)． 9．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）解方程： (1)； (2)． 10．（24-25七年级上·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 11．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）解方程 (1) (2) 类型三、解分母中含小数的一元一次方程 若方程中某些项的分母含小数，则先利用分数的性质将分子、分母同时扩大若干倍，使小数变成整数，再去分母解方程.若分母含小数的项的分子是多项式，则多项式中的每一项都应乘相应的倍数. 12．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）解方程： (1)； (2) 13．（23-24七年级上·安徽马鞍山·期末）解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）解方程： (1)； (2)． 15．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）解方程：． 16．（24-25七年级上·安徽·期中）在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下：解：原方程可变形为， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 参考小明的解题过程，解方程：． 17．（22-23六年级上·山东泰安·期末）解方程： (1) (2) 18．（22-23七年级上·安徽芜湖·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）解方程：． 类型四、解含多重括号的一元一次方程 灵活解一元一次方程时常用到的方法技巧有:①若有多重括号，应根据方程中数据特征，灵活运用去括号法则与合并同类项法则，交替进行；②若括号内含分数时，应由外向内先去括号，再去分母；③恰当运用整体思想.因此在解方程时，既要学会严格按步骤进行，又要依据方程结构特征灵活变通步骤. 20．（安徽省安庆潜山市2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）解方程：． 21．（22-23七年级上·安徽芜湖·期中）解方程 (1)； (2) 22．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) 25．（2023七年级上·全国·专题练习）解方程 类型五、解含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键是要把绝对值符号去掉，使之成为一般的一元一次方程，去绝对值的依据是绝对值的意义. 26．（22-23七年级上·安徽池州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 27．（24-25七年级下·河南南阳·期中）【阅读材料】 由绝对值的定义可知．若，则或；若，则．我们可以根据上面的定义，解一些简单的绝对值方程 例如，解方程 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时．原方程化为，解得， 所以原方程的解为或 解法二：移项得，合并同类项得，根据绝对值的意义知． 所以原方程的解为或． 【解决问题】 请你用两种方法解方程． 28．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是什么，最小值是什么．” 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，式子的最小值为3． 请你根据他们的解题思路解决下面的问题． (1)当式子取最小值时，最小值是__________． (2)已知，y的最大值是__________． (3)已知：，则__________． 类型六、与解一元一次方程有关的新定义问题 29．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）定义：叫作，的三等分点，叫做，的2倍距离．如：，，试求： (1) ， ． (2)若，则的值． 30．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 让我们来定义一种运算：，例如：，再如：． 按照这种运算的规定，请解答下列问题． (1)______（只填最后结果）； (2)求的值，使（写出解题过程）． 类型七、同解方程 1）在两个同解方程中，如果只有一个方程中含有待定字母，一般先解不含待定字母的方程，再把未知数的值代入含有待定字母的方程中，求出待定字母的值. 2）如果在两个同解方程中都含有相同的待定字母，一般是分别解两个方程，用这个待定字母分别表示两个方程的解，并建立等式，形成关于这个待定字母的方程，求出该待定字母的值. 31．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）方程与方程的解相同，求代数式的值． 32．（23-24七年级上·安徽六安·期中）关于x的方程与的解相同，求的值． 33．（18-19七年级上·全国·单元测试）如果方程的解与关于的方程的解相同，试求的值． 类型八、错解方程 将错解代入相应错误的方程中求得参数的值，再将参数的值代入原方程中求出正确的解. 34．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 35．（2022七年级上·全国·专题练习）小明是七年级（2）班的学生，他在对方程 去分母时由于粗心，方程右边的没有乘6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 36．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 37．（22-23七年级上·河南商丘·期末）七（3）班数学老师在批改小红的作业时发现，小红在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小红求出“”处的数字． (2)请你正确地解出原方程． 类型九、遮挡/污染问题 38．（23-24七年级上·全国·单元测试）小明在做作业时发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染了，，是被污染的数，他很着急，翻开书后的答案找到这道题的解为：，你能帮他补上“”的数吗？写出你的解题过程． 39．（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“”被污染了． (1)【任务1】若这道题的答案是，求“”代表的正整数； (2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“”设为m，通过计算，很快得到了“”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“”的值． 40．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 类型十、解的关系问题 41．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于的方程的解比方程的解大，求的值． 42．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）已知关于的方程的解比的解小2，求的值． 43．（23-24七年级上·云南昆明·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，则 ； (2)若关于x的两个方程与是“和谐方程”，求m的值． 44．（15-16七年级上·山东德州·阶段练习）关于x的方程与的解互为相反数． （1）求m的值； （2）求这两个方程的解． 45．（20-21七年级上·江苏苏州·期中）若关于的方程与方程的解互为倒数，求的值． 类型十一、整体方法解方程 46．（25-26七年级上·全国·课后作业）在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫作换元法．换元法的关键是设元．例如，在解方程时，把看作一个整体．设，原方程可转化为，解得，所以，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 47．（24-25七年级上·广东韶关·期末）【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 (1)【知识呈现】中的代数式化简的结果为 ；（用含、的式子表示） (2)若代数式的值为，求代数式的值； 【灵活运用】 (3)求中的值． 48．（2024七年级上·云南·专题练习）在解方程时，可先将分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫作整体求解法，请用这种方法解方程：． 类型十二、整数解问题 49．（24-25七年级上·安徽六安·期中）我们规定一种运算：，（注意：它不是绝对值运算！）． (1)计算：_________； (2)若关于的方程的解为整数，求符合条件的所有正整数的值． 50．（23-24七年级上·安徽淮北·期中）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程” 例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若方程与方程互为“反对方程”，则______． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求常数b的值． 51．（20-21七年级上·安徽亳州·期中）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对（，）与（，）．我们规定：．例如：．根据上述规定解决下列问题： （1）有理数对_____； （2）若有理数对，则____； （3）当满足等式的是整数时，求整数的值 类型十三、解的情况 52．（23-24七年级上·湖南湘西·阶段练习）阅读下列分析过程，并解答问题． 一元一次方程 ①当时，方程有唯一解； ②当时，方程无解； ③当，时，方程有无数解． 根据上面的方法， (1)当满足唯一解、无解时，求m的值； (2)满足无数解时，求m、n的值． 53．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的方程 (1)当a取何值时，方程的解是； (2)当a取何值时，方程无解； (3)当a取何值时，方程有无穷多个解． 54．（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 1．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程，解答下列问题： (1)如果方程的解是时，求字母a的值． (2)如果某同学在解此方程去分母时，方程右边的没有乘以6，结果求得解是，求字母a的值． (3)如果方程无解，请你直接写出字母a的值． 2．（23-24七年级上·河南商丘·期末）已知 是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解倍，求k的值． 3．（24-25七年级上·全国·期末）定义一种有理数的新运算“”其运算方式如下∶ ∶ ； ； … 观察上面的运算方式，请解决下列问题 (1)对于任意有理数，， （用含，的式子表示）∶ (2)解方程∶； (3)若关于的方程的解为整数，求整数的值． 4．（21-22七年级上·河南驻马店·期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题： (1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”． (2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值． 5．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较小的方程为另一个方程的“前置k格方程”． 例如：方程的解是，方程的解是． 则称方程为方程的“前置3格方程”． (1)判断方程是否为方程的“前置k格方程”________（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“前置2格方程”，求n的值； (3)当时，如果关于x的方程是方程的“前置k格方程”．求代数式的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 解一元一次方程 目录 2 类型一、利用等式的性质进行变形 2 类型二、解一般的一元一次方程 5 类型三、解分母中含小数的一元一次方程 9 类型四、解含多重括号的一元一次方程 15 类型五、解含绝对值的一元一次方程 21 类型六、与解一元一次方程有关的新定义问题 24 类型七、同解方程 25 类型八、错解方程 27 类型九、遮挡/污染问题 30 类型十、解的关系问题 32 类型十一、整体方法解方程 35 类型十二、整数解问题 37 类型十三、解的情况 40 43 类型一、利用等式的性质进行变形 利用等式的性质对等式变形时，应分析变形前后式子发生了哪些变化，发生加减变形的依据是等式的性质1，发生乘除变形的依据是等式的性质2. 1．（2022·青海·中考真题）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．根据式的基本性质逐项分析即可． 【详解】解：A．若，则，故不正确；     B．若，当时，则，故不正确； C．若，则，正确；     D．若，则，故不正确； 故选C． 2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（       ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、如果，则或，原选项变形错误，不符合题意； 、如果，当时，则，原选项变形错误，不符合题意； 、如果，当时，则，原选项变形错误，不符合题意； 、如果，则，原选项变形正确，符合题意； 故选：． 3．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）运用等式性质进行的变形，错误的是（    ） A．如果 ，那么 B．如果 ，那么 C．如果 ，那么 D．如果 ，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查等式的性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：．如果 ，那么 成立，故本选项不符合题意； ．如果 ，当，那么 不成立，故本选项符合题意； ．如果 ，因为，那么 成立，故本选项不符合题意； ．如果 ，那么 成立，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若有理数，，互不相等，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题等式的性质、整式的加减等知识，解题的关键是正确的变形合并同类项．根据得到，，，代入，即可判断A，B，C，D． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ，故B不正确，不符合题意， ∴，， ∵有理数，，互不相等， ∴，故A不正确，不符合题意， ∵ ∴，故C不正确，不符合题意， ，故D正确，符合题意， 故选：D． 5．（25-26七年级上·安徽芜湖·开学考试）求未知数的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用等式的基本性质和比例的性质解未知数： （1）（2）根据等式的基本性质即可求出x； （3）根据比例的性质即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 类型二、解一般的一元一次方程 1）解方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 2) 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100． 6．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键． 先通过去分母，然后检验即可解答即可． 【详解】解：， 去分母得:， 去括号得:， 移项得:， 合并同类项，得． 7．（20-21七年级上·安徽合肥·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接去括号、移项、合并同类项、化系数为1即可求解； （2）直接去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1即可求解． 【详解】解：（1） （2） 【点睛】此题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解题步骤． 8．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 10．（24-25七年级上·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程． （1）按照移项、合并同类项，系数化1的步骤解方程即可； （2）按照移项、合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2） 移项得， 合并同类项得， 11．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法． （1）先去括号，后展开整理求解即可； （2）先去分母，后按照解方程的基本步骤求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）， ， ， ， ． 类型三、解分母中含小数的一元一次方程 若方程中某些项的分母含小数，则先利用分数的性质将分子、分母同时扩大若干倍，使小数变成整数，再去分母解方程.若分母含小数的项的分子是多项式，则多项式中的每一项都应乘相应的倍数. 12．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤． （1）先去分母，再去括号，移项合并，然后系数化1即可得解； （2）先根据分数的基本性质，将分子分母化为整系数，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤，进行解答即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：． （2）解：， 整理，得：， 去分母，得：， 去括号得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：． 13．（23-24七年级上·安徽马鞍山·期末）解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查学生对解一元一次方程的理解和掌握．解一元一次方程的基本思路是：通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，最终把方程“转化”为（a为常数）的形式． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （4）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解： 方程可变形为， 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：． 14．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ． 15．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，整理方程，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求解即可． 【详解】解：方程整理，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得． 16．（24-25七年级上·安徽·期中）在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下： 解：原方程可变形为， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 参考小明的解题过程，解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 首先将方程变形，然后方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：原方程可变形为， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． 17．（22-23六年级上·山东泰安·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1即可； （2）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并得， 系数化为1得； （2）解：方程组化简为：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【点睛】本题考查了解一元一次方程：掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）；针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化． 18．（22-23七年级上·安徽芜湖·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）方程去括号，移项合并，即可求出解； （2）方程变形后，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解； （3）方程去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解； （4）方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项合并得； （2）解：， 整理得， 去括号，得， 移项合并，得， 将x系数化为1，得； （3）解：， 去括号，得， 移项合并，得， 将x系数化为1，得； （4）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并，得， 将x系数化为1，得． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解． 19．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 类型四、解含多重括号的一元一次方程 灵活解一元一次方程时常用到的方法技巧有:①若有多重括号，应根据方程中数据特征，灵活运用去括号法则与合并同类项法则，交替进行；②若括号内含分数时，应由外向内先去括号，再去分母；③恰当运用整体思想.因此在解方程时，既要学会严格按步骤进行，又要依据方程结构特征灵活变通步骤. 20．（安徽省安庆潜山市2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）解方程：． 【答案】 【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：去分母得， 整理得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 所以原方程的解为． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 21．（22-23七年级上·安徽芜湖·期中）解方程 (1)； (2) 【答案】(1)x＝﹣15 (2)x＝﹣8 【分析】（1）先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解； （2）根据：去括号、移项、合并同类项、化系数为1，求出方程的解即可． 【详解】（1） 去分母得，3（3x﹣5）＝6﹣2（3﹣5x） 去括号得，9x﹣15＝6﹣6+10x 移项得，9x ﹣10x＝15 合并得，﹣x＝15 系数化为1，得：x＝﹣15． （2） 去括号得：x﹣1﹣3﹣x＝2， 移项，合并同类项得：﹣x＝6， 系数化为1得：x＝﹣8． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号是解题的关键． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查解一元一次方程，根据方程的特点选择恰当的解法是解题的关键， （1）去分母解方程即可； （2）先去括号，再移项，合并同类项解方程． 【详解】（1）解：原方程可变形为． 方程两边分别通分后相加，得， 即． 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边同时除以5，得． （2）去中括号，得． 去小括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边同时除以，得． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，理解一元一次一次方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，是解答关键. （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1求解； （2）先去中括号，再去小括号，再移项，合并同类项，系数化1求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去中括号，得， 去小括号，得， 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，是解题的关键． 运用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1的方法解答即可．可先从外部去括号，使运算简便，（1），（3），（5）题，可方程两边乘一适当的数，兼顾去分母去括号，（2），（4）题出现了互为倒数，或分母能约尽的情况，用括号外的数直接乘即可． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴两边乘2，得， 移项，得， 两边乘3，得， 移项，得， ∴， 系数化为1，得． （2）∵， ∴去中括号，得， 去小括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）∵， 两边乘2，得， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （4）∵ ∴去中括号，得，， 去小括号，得，， 移项，得， 合并同类项，得， 把x的系数化为1，得； （5）∵， ∴两边乘2，得， 即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 25．（2023七年级上·全国·专题练习）解方程 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．先去小括号，去中括号，再去大括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1即可； 【详解】解： 去小括号，得：， 去中括号，得：， 去大括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得： 类型五、解含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键是要把绝对值符号去掉，使之成为一般的一元一次方程，去绝对值的依据是绝对值的意义. 26．（22-23七年级上·安徽池州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先去绝对值，化成一元一次方程求解即可； （2）先去绝对值，化成一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义得或， 解得或； （2）解：由绝对值的意义得或， 解得或． 【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的意义是求解本题的关键． 27．（24-25七年级下·河南南阳·期中）【阅读材料】 由绝对值的定义可知．若，则或；若，则．我们可以根据上面的定义，解一些简单的绝对值方程 例如，解方程 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时．原方程化为，解得， 所以原方程的解为或 解法二：移项得，合并同类项得，根据绝对值的意义知． 所以原方程的解为或． 【解决问题】 请你用两种方法解方程． 【答案】或，见解析 【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握一元一次方程的解法，理解绝对值的意义和进行分类讨论思想的应用是解题的关键． 方法一：首先根据得，于是原方程可化为，由此可解出，再根据得，是原方程可化为，由此可解出，综上所述可得原方程得解； 方法二：首先移项、合并同类项得，再将的系数化1为得，然后利用绝对值的意义可得出的值，进而得原方程得解． 【详解】解：解法一：当时，原方程化为，解得， 当时，原方程化为，解得， 所以，原方程的解为或； 解法二：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得        根据绝对值的意义可得 所以，原方程的解为或． 28．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是什么，最小值是什么．” 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，式子的最小值为3． 请你根据他们的解题思路解决下面的问题． (1)当式子取最小值时，最小值是__________． (2)已知，y的最大值是__________． (3)已知：，则__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了绝对值，解一元一次方程； （1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案； （2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． （3）分，，化简绝对值，进而解方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，原式，此时；当时，原式；当时，原式， 当时，取最小值时，最小值为． 故答案为． （2）解：当时， 当时，，当时，最大； 当，时， 综上所以时，有最大值． 故答案为：10． （3）解：， 当时，原方程可以化为， 解得： （舍去）， 当时，原方程可以化为， 解得：， 当时，原方程可以化为， ， 综上所述，或； 故答案为：3或18． 类型六、与解一元一次方程有关的新定义问题 29．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）定义：叫作，的三等分点，叫做，的2倍距离．如：，，试求： (1) ， ． (2)若，则的值． 【答案】(1)；20 (2)9 【分析】本题考查了新定义，求代数式的值，解一元一次方程等知识，理解题中的新定义是解题的关键； （1）由两个数的三等分点及2倍距离含义即可求解； （2）由两个数的三等分点及2倍距离含义得到关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，再代入可求出两个数的三等分点． 【详解】（1）解：；； 故答案为：；20； （2）解：∵， ∴， 即， 解得：， 则． 30．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 让我们来定义一种运算：，例如：，再如：． 按照这种运算的规定，请解答下列问题． (1)______（只填最后结果）； (2)求的值，使（写出解题过程）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次方程与有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，将所给式子转换为正常运算． （1）首先根据题意可得，则可求得答案； （2）由，根据题意可得一元一次方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ， ， ， 解得：． 类型七、同解方程 1）在两个同解方程中，如果只有一个方程中含有待定字母，一般先解不含待定字母的方程，再把未知数的值代入含有待定字母的方程中，求出待定字母的值. 2）如果在两个同解方程中都含有相同的待定字母，一般是分别解两个方程，用这个待定字母分别表示两个方程的解，并建立等式，形成关于这个待定字母的方程，求出该待定字母的值. 31．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）方程与方程的解相同，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程，代数式求值，先解，把代入，求出k的值，然后再代入代数式求值即可． 【详解】解： 又∵方程与方程的解相同 ∴ 32．（23-24七年级上·安徽六安·期中）关于x的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，分别解两个方程，根据解相同，得出，即可求解． 【详解】解： 解得：， ∴ 解得：， ∴， 解得：． 33．（18-19七年级上·全国·单元测试）如果方程的解与关于的方程的解相同，试求的值． 【答案】． 【分析】分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得a的值． 【详解】解：， 去分母得， 去括号， 移项合并得5x=50， 解得得x=10， 解， 移项合并得：， 解得x=， 由题意得：， 解得． 【点睛】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程是解答本题的关键． 类型八、错解方程 将错解代入相应错误的方程中求得参数的值，再将参数的值代入原方程中求出正确的解. 34．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】能，，方程正确的解为 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．由题意得，小林得到的方程为，代入，求出的值，再对原方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出方程正确的解． 【详解】解：由题意得，小林得到的方程为， 代入得，， 解得：， 原方程为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴方程正确的解为． 35．（2022七年级上·全国·专题练习）小明是七年级（2）班的学生，他在对方程 去分母时由于粗心，方程右边的没有乘6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】， 【分析】先把错误的解法得到的x的值代入方程求出a的值，然后根据一元一次方程的解法，先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，从而得到方程的解． 【详解】解：∵方程右边的忘记乘6，求出的解为， ∴， 解得， 则原方程为： ， 去分母，得， 移项、合并同类项，得． 【点睛】本题考查了一元一次方程错解问题以及解一元一次方程，根据错误的解法得到a的值是解题的关键． 36．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，故把代入，再根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． （2）把代入，然后根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得， 整理得， 去分母得， 移项， 合并同类项得， 系数化1，得； （2）解：由（1）得，则， 去分母得， 去括号得， 移项得得， 合并同类项得， 系数化1，得． 37．（22-23七年级上·河南商丘·期末）七（3）班数学老师在批改小红的作业时发现，小红在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小红求出“”处的数字． (2)请你正确地解出原方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入中，进而求出“”处的数字； （2）将（1）中的值代入原方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意将代入中， 得：， 即：， 解得：， ∴“”处的数字为； （2）将代入原方程得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解本题的关键． 类型九、遮挡/污染问题 38．（23-24七年级上·全国·单元测试）小明在做作业时发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染了，，是被污染的数，他很着急，翻开书后的答案找到这道题的解为：，你能帮他补上“”的数吗？写出你的解题过程． 【答案】，过程见解析 【分析】先将代入方程，进而得到关于“”的方程，解一元一次方程即可求解． 【详解】解： 的解为 即 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 39．（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“”被污染了． (1)【任务1】若这道题的答案是，求“”代表的正整数； (2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“”设为m，通过计算，很快得到了“”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“”的值． 【答案】(1)5 (2)解题过程见详解；2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及已知一元一次方程的解求参数，求二次一次方程的整数解等知识． （1）将代入原方程，可得出关于“〇”的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）将“〇”替换成m，可得出关于x，m的二元一次方程，结合x，m均为正整数，即可求出结论． 【详解】（1）解：将代入原方程得：， 即 解得：， ∴“〇”代表的正整数为5； （2）解：根据题意得， 解得： 又∵x，m均为正整数， ∴ ∴“〇”的值为2． 40．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【答案】(1) (2)遮挡的常数是19 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）根据题意得出方程，然后解方程即可； （2）先解方程得出，设遮挡的常数为a，然后把代入方程得，求出a的值即可． 解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算． 【详解】（1）解：由题意得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 设遮挡的常数为a， 把代入方程得， 解得． 故遮挡的常数是19． 类型十、解的关系问题 41．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于的方程的解比方程的解大，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程解的定义以及解一元一次方程等知识，掌握一元一次方程解的定义以及解一元一次方程等知识是解答本题的关键． 首先由方程，用表示，然后由第二个方程，再用表示，因为两个解的值相差，列出方程求出的值即可． 【详解】解：解关于的方程，得：， 解关于的方程，得：， 因为关于的方程的解比方程的解大， 所以，解得． 42．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）已知关于的方程的解比的解小2，求的值． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程．先求出两个方程的解，再根据题意，列出关于的一元一次方程，求解即可．掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：， 解得：； ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵关于的方程的解比的解小2， ∴， 解得：． 43．（23-24七年级上·云南昆明·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，则 ； (2)若关于x的两个方程与是“和谐方程”，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“和谐方程”得出，再求出m即可； （2）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“和谐方程”得出，再求出m即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程与方程是“和谐方程”， ， 解得：． 故答案为：9； （2）， ， ， ， ， ， ， ∵关于x的两个方程与是“和谐方程”， ， 解得：． 44．（15-16七年级上·山东德州·阶段练习）关于x的方程与的解互为相反数． （1）求m的值； （2）求这两个方程的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求出第一个方程的解，然后根据互为相反数的和等于0列式得到关于m的方程，再根据一元一次方程的解法求解即可； （2）把m的值代入两个方程的解计算即可． 【详解】解：（1）由x﹣2m=﹣3x+4得：x=m+1， 依题意有：m+1+2﹣m=0， 解得：m=6；      （2）当m=6时， 方程x﹣2m=﹣3x+4的解为x=×6+1=3+1=4， 方程2﹣m=x的解为x=2﹣6=﹣4． 45．（20-21七年级上·江苏苏州·期中）若关于的方程与方程的解互为倒数，求的值． 【答案】 【分析】首先解方程，求得x的值，然后根据两个方程的解互为倒数即可列方程求解． 【详解】解：解方程，得， 将代入方程得 去分母得，4+2m=12-3m ∴m= 【点睛】本题考查了解一元一次方程和方程的解，正确解关于x的方程，理解方程的解是解本题的关键． 类型十一、整体方法解方程 46．（25-26七年级上·全国·课后作业）在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫作换元法．换元法的关键是设元．例如，在解方程时，把看作一个整体．设，原方程可转化为，解得，所以，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【答案】 【分析】此题是一道材料信息题，主要考查了解一元一次方程，理解并应用材料中介绍的换元法是解本题的关键． 利用换元法，先设，原方程可转化为关于的一元一次方程，解出后再代入求出的值． 【详解】解：设，原方程可转化为， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以2，得， 所以， 解得． 47．（24-25七年级上·广东韶关·期末）【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 (1)【知识呈现】中的代数式化简的结果为 ；（用含、的式子表示） (2)若代数式的值为，求代数式的值； 【灵活运用】 (3)求中的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了绝对值及列代数式，理解题中所给整体思想是解题的关键． （1）根据所给方法对代数式进行化简即可； （2）利用整体思想即可解决问题； （3）将看作一个整体进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，令， 则原式， 所以， ， ， 故答案为：； （2）解：由得，， 所以； （3）解：令， 则原方程可化为， 解得， 所以， 则， 所以，． 48．（2024七年级上·云南·专题练习）在解方程时，可先将分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫作整体求解法，请用这种方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，注意用了整体代入思想，即将，分别看成整体来合并．移项、合并同类项、去分母、移项、合并同类项、系数化成1即可． 【详解】解：， 将，分别看成整体进行移项，合并同类项，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 方程两边同除以33， 得． 类型十二、整数解问题 49．（24-25七年级上·安徽六安·期中）我们规定一种运算：，（注意：它不是绝对值运算！）． (1)计算：_________； (2)若关于的方程的解为整数，求符合条件的所有正整数的值． 【答案】(1)7 (2)1，3，5 【分析】本题考查的是新定义，有理数的混合运算及解一元一次方程，正确理解新定义、掌握解一元一次方程步骤是解题的关键． （1）根据新定义列出算式，根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据新定义列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：7； （2）解：根据题意，得 ， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 因为方程的解为整数，所以3能被整除，即 或， 解得或或或． 因为为正整数， 所以，符合条件的所有正整数的值为1，3，5． 50．（23-24七年级上·安徽淮北·期中）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程” 例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若方程与方程互为“反对方程”，则______． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求常数b的值． 【答案】(1)2 (2) (3)或2 【分析】（1）根据“反对方程”的定义，求解即可； （2）根据“反对方程”的定义，得到，求解即可； （3）先根据“反对方程”的定义，得到的反对方程，求出两个方程的解，根据两个方程的解都是整数，进行求解即可． 本题考查解一元一次方程，掌握“反对方程”的定义，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵方程与方程互为“反对方程”， ∴； 故答案为：2． （2）将写成的形式， 将写成的形式， 因为与方程互为“反对方程”， 所以，所以， 所以m，n的值分别是，2； （3）的“反对方程”为， 由得， 由得， 因为与的解均为整数， 所以与都为整数， 所以当即时，，与，都为整数， 当即时，，，都为整数， 所以b的值为或2． 51．（20-21七年级上·安徽亳州·期中）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对（，）与（，）．我们规定：．例如：．根据上述规定解决下列问题： （1）有理数对_____； （2）若有理数对，则____； （3）当满足等式的是整数时，求整数的值 【答案】（1）7；（2）2；（3）或或或． 【分析】（1）根据题目中的新定义运算规则，即可求出值； （2）根据题目中的新定义运算规则建立方程，解此方程即可求出x的值； （3）根据题中的新定义运算规则，建立关于x与k的等式，由则可确定x的值的情况，可得关于k的方程，解方程后即可求出整数k的值． 【详解】解：（1）根据题意得：； 故答案为：7． （2）根据题意得： 去括号得：， 移项合并得：， 解得： 故答案为：2． （3）∵等式的x是整数， ∴， ∴， ∴， ∵x是整数， ∴或， 则或或或 ∴或或或． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解题的关键是能根据新定义运算的规则建立一元一次方程并准确求解． 类型十三、解的情况 52．（23-24七年级上·湖南湘西·阶段练习）阅读下列分析过程，并解答问题． 一元一次方程 ①当时，方程有唯一解； ②当时，方程无解； ③当，时，方程有无数解． 根据上面的方法， (1)当满足唯一解、无解时，求m的值； (2)满足无数解时，求m、n的值． 【答案】(1)时有唯一解；时，无解； (2)且． 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程． （1）将方程转化为，根据题干给出的方法，求解即可； （2）根据题意，得到，，求解即可． 理解并掌握题干中的解题方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：将方程整理得：， ①当方程无解时： ②当方程有唯一解时： ； （2）由题意，得：当方程有无数解时：且 ∴，． 53．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的方程 (1)当a取何值时，方程的解是； (2)当a取何值时，方程无解； (3)当a取何值时，方程有无穷多个解． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】此题考查了含字母系数的一元一次方程、含绝对值符号的一元一次方程． （1）将代入可得关于的方程，解出即可得出的值； （2）将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程，根据，时，方程无解，列式求解即可； （3）将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程，根据，时，方程方程有无穷多个解，列式求解即可． 【详解】（1）解：将代入可得：， 整理得， 当时，，解得． 当时，，解得， 故或时，方程的解是； （2）解：整理得， 当且时，方程无解， 解得， 故时，方程无解； （3）解：整理得， 当且时，方程有无穷多个解， 解得， 故时，方程有无穷多个解． 54．（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值等知识．熟练掌握一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值是解题的关键． （1）由题意知，方程整理得，，当，且时，方程无解，计算求解即可； （2）由题意知，当，且时，方程有无穷多个解，计算求解即可； （3）把代入，得，然后根据，，化简绝对值，然后求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得，， 由题意知，当，且时，方程无解， 解得， ∴当时，方程无解； （2）解：由题意知，当，且时，方程有无穷多个解， 解得， ∴当时，方程有无穷多个解； （3）解：把代入，得， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得， ∴当时，方程有唯一解． 1．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程，解答下列问题： (1)如果方程的解是时，求字母a的值． (2)如果某同学在解此方程去分母时，方程右边的没有乘以6，结果求得解是，求字母a的值． (3)如果方程无解，请你直接写出字母a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义，及方程的解法，理解题意，正确运算是解本题的关键； （1）把代入，再解方程即可； （2）按题意原方程去分母可得，把代入再解方程即可； （3）先把方程去分母整理为，由方程无解可得，再解方程即可. 【详解】（1）解：把代入方程，得： ， ∴， 解得，； （2）∵， ∴（去分母时漏乘）， 把代入可得： ， 整理得：， 解得：； （3）， ∴， 整理得：， 当时，方程无解， ∴； 2．（23-24七年级上·河南商丘·期末）已知 是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解倍，求k的值． 【答案】(1)a的值是3，方程的解是 (2)k的值是 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次方程的定义和绝对值等知识点，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，，求出，得出方程为，再根据等式的性质求出方程的解即可； （2）先解出，带入即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 且， ， 将代入方程得：，解得：， 答：a的值是3，方程的解是； （2）由题意得：， 将代入方程得：， 解得：， 答：k的值是． 3．（24-25七年级上·全国·期末）定义一种有理数的新运算“”其运算方式如下∶ ∶ ； ； … 观察上面的运算方式，请解决下列问题 (1)对于任意有理数，， （用含，的式子表示）∶ (2)解方程∶； (3)若关于的方程的解为整数，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为，，， 【分析】本题考查有理数的新运算，解一元一次方程，解题的关键是观察有理数的新运算，得到规律，根据规律，进行计算，解一元一次方程，即可． （1）观察有理数的新运算，得到规律，根据规律，进行计算； （2）由（1）得，有理数新运算规律，再根据解一元一次方程，即可； （3）由（1）得，有理数新运算规律，再根据解一元一次方程，进行计算，即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：． （3）解：∵， ， ， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴为整数， ∵为整数， ∴的值为：，，，． 4．（21-22七年级上·河南驻马店·期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题： (1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”． (2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值． 【答案】(1)不是 (2)m＝ 【分析】（1）求出方程的解是，再进行判断即可； （2）先求出方程的解，再根据题意得出关于的方程，最后求出方程的解即可． 【详解】（1）， ， 而， 所以不是“商解方程”； （2）， ， ， 关于的一元一次方程是“商解方程”， ， 解得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键． 5．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较小的方程为另一个方程的“前置k格方程”． 例如：方程的解是，方程的解是． 则称方程为方程的“前置3格方程”． (1)判断方程是否为方程的“前置k格方程”________（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“前置2格方程”，求n的值； (3)当时，如果关于x的方程是方程的“前置k格方程”．求代数式的值． 【答案】(1)否 (2) (3)12 【分析】（1）分别求出两个方程的解即可得到答案； （2）分别求出两个方程的解，再根据“前置2格方程”的定义求出n的值即可得到答案； （3）分别求出两个方程的解，再根据“前置k格方程”的定义求出，然后把整体代入所求代数式求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵， ∴方程不是方程的“前置k格方程”； 故答案为：否； （2）解∶解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程是关于x的方程的“前置2格方程”， ∴， ∴； （3）解：解方程，得， 解方程，得， ∵方程是方程的“前置k格方程”， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值，正确理解题意所给的“前置k格方程”的定义是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $