21.3实际问题与一元二次方程解答题专题训练2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.3 实际问题与一元二次方程 解答题专题训练 2025-2026学年人教版数学九年级上册 1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若商场销售这种衬衫每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)按这样的降价措施，该商场销售这种衬衫每天获利能否达到1300元？若能，求此时的售价；若不能，请说明理由． 2．如图，某部门举办广场舞比赛，在一块正方形绿地的两侧分别搭建宽度为的临时舞台矩形和矩形（阴影部分）．若舞台中间矩形（空白部分）的面积为，求正方形绿地的边长． 3．某超市如果将进价为每件8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件，现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件的售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少20件，若设每件商品的售价定为元． (1)每天的销售量为多少件？（用含的代数式表示） (2)每件售价应定为多少元，才能使每天获得640元的利润，并尽量减少进货量？ 4．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家月日销售玩偶共个，日、日销售量持续增长，日销量达到个． (1)求月日、日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本元，售价为每个元时，日销量可达个；每降价元，日销量可增加个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到元? 5．如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 6．某品牌服装每件进价为元，销售价为元时，平均每天可售出件为了迎接“双十一”，商家决定采取适当的降价措施，增加盈利，减少库存经市场调查发现：如果每件服装降价元，那么平均每天就可多售出件． (1)每件服装定价为多少元时，商家每天能盈利元？ (2)某电商在抖音上也在销售同款服装，标价为每件元，为提高市场竞争力，促进线上销售，该电商决定对该服装实行打折销售，使其售价不超过中的售价，则该服装至少打几折销售？ 7．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．    (1)几秒后，的长度为； (2)几秒后，的面积为； (3)的面积能否为？请说明理由． 8．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，一月份新建了320个充电桩，三月份新建了500个充电桩． (1)求二月、三月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率． (2)预计四月份新建智能充电桩个数会继续增加，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该市四月份上半月已建智能充电桩325个，则四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩最多多少个？ 9．直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个． (1)当每个水杯的售价为60元时，平均每月售出 个水杯，月销售利润是 元； (2)若月销售利润恰好为10000元，且尽可能让顾客得到实惠，求每个水杯的售价？ 10．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若每件衬衫降价4元，则该商场每天可盈利多少元？ (2)若该商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？ 11．如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米．若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； 12．如图，中，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动到达B时停止，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动到达时停止，P，Q两点同时出发，运动时间为． (1)若的面积是面积的，求的值； (2)的面积能否与四边形面积相等？若能，求出的值；若不能，说明理由． (3)线段的长度能否达到？说明理由． 13．沈阳鸡架以物美价廉，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从2022年开始销售沈阳鸡架，当年销售额为200万元，到2024年沈阳鸡架的销售额达到450万元． (1)求该电商这两年沈阳鸡架销售额的平均年增长率； (2)该电商市场调查发现，当某规格沈阳鸡架的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价1元，每天可多售出40箱．为了推广宣传，该电商决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该电商沈阳鸡架的平均成本价为50元/箱，若每天获利2160元，则每箱售价应为多少元？ 14．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． (1)若销售单价为每件60元，则每天的销售量为______件，销售利润为______元； (2)要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？ (3)公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 15．中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心1月份的参观人数为10万人，3月份的参观人数增加到万人． (1)求参观人数的月平均增长率． (2)按照这样的增长方式，请你估算出4月份参观人数是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)20 (2)不能，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，理解题意，正确列方程是解题的关键． （1）设每件衬衫应降价元，则每天售出件，根据题意列方程求解即可； （2）设每件衬衫应降价y元，则每天售出件，根据题意列方程，并通过判别式判断根的情况即可得证． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价元，则每天售出件， 由题意得， 整理得， 解得，， 尽快减少库存， ， 若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元； （2）解：按这样的降价措施，该商场每天获利不能达到1300元，理由如下： 设每件衬衫应降价y元，则每天售出件， 由题意得， 整理得， ， 方程无实数根， 按这样的降价措施，该商场每天获利不能达到1300元． 2． 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的面积，解一元二次方程，掌握正方形的四边相等是解题的关键，设正方形的边长为，根据正方形的性质可知，再求出矩形的边长，根据矩形的面积列方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ， 舞台中间矩形（空白部分）的面积为， ， 解得：（舍）， 正方形绿地的边长． 3．(1)件 (2)每件商品的售价应定为16元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解题的关键； （1）原来每天的销售量减去因涨价减少的销售量即为现在每天的销售量； （2）根据利润等于每天的销售量与单件利润的积，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：每天的销售量为件； 答：每天的销售量为件； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， 要尽量减少进货量， ∴取， 答：每件商品的售价应定为16元． 4．(1) (2)元 【分析】（）设月日、日这两天玩偶销售量的日平均增长率为，根据题意列出方程即可求解； （）设每个玩偶降价元，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设月日、日这两天玩偶销售量的日平均增长率为， 由题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月日、日这两天玩偶销售量的日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元， 由题意得，， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每个玩偶降价元时，当日总利润可达到元． 5．(1)或小时； (2)上午时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 6．(1)每件服装定价为元时，商家每天能盈利元 (2)该服装至少打折销售 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设每件服装应降价元，则每件服装定价为元，根据商家每天能盈利元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该服装打折销售，根据售价不超过中的售价，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每件服装应降价元，则每件服装定价为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，为减少库存，不符合题意，舍去， ， 答：每件服装定价为元时，商家每天能盈利元； （2）解：设该服装打折销售， 由题意得：， 解得：， 答：该服装至少打折销售． 7．(1)后，的长度为 (2)或后，的面积等于 (3)的面积不可能等于，见解析 【分析】本题主要考查动点与几何图形的综合，理解动点的运动规律，掌握几何图形的面积计算方法，一元二次方程根的判别式等知识是解题的关键． （1）设点运动的时间为，则，，，在中，根据勾股定理即可求解； （2）根据，解方程即可求解； （3）根据，得关于的一元二次方程，运用一元二次方程根的判别式判定方程是否有实数解即可． 【详解】（1）解：设点运动的时间为，则，，，， ∴在中，根据勾股定理，得，， ∴，解得或（舍去）， ∴后，的长度为． （2）解：同（1）中所设，设点运动的时间为，则，，，， ∴，即， 解得或， ∴或后，的面积等于． （3）解：不能，理由如下： 当时，即， ∴，整理得，， ∵， ∴方程没有实数根， ∴的面积不可能等于． 8．(1)二月、三月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为 (2)四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩最多20个 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，读懂题意是解题的关键． （1）根据变化前数量变化后数量，列出方程求解即可． （2）根据（1）中月平均增长率，先求出四月份新建智能充电桩个数，再作差求出下半月新建智能充电桩个数，即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 由题意可得：， 解得（负值已舍去）， ∵， 故二月、三月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为； （2）解：∵（个）， （个）， （个）， ∴四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩最多20个． 9．(1)400；12000 (2)50 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 1）利用月销售量每个水杯售价上涨的钱数，可求出月销售量，再利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×月销售量，即可求出月销售利润； （2）设每个水杯售价上涨x元，则每个水杯的销售利润为元，利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （个）， （元）， ∴当每个水杯的售价为60元时，平均每月售出400个水杯，利润是12000． 故答案为：400；12000． （2）解：设每个水杯售价上涨x元（），则每个水杯的销售利润为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ， 又∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴， 答：每个水杯的售价为50元． 10．(1)若每件衬衫降价4元，则商场平均每天可盈利1008元 (2)每件衬衫应降价20元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，因式分解法解一元二次方程，有理数的混合运算等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意得到每天的销售量，然后由“每天盈利每天销售量每件盈利”进行解答； （2）设每件衬衫应降价元，根据“每天售出件数每件盈利每天盈利”，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：∵每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴若商场每件降价4元，商场平均每天可多售出（件）， ∴每天共盈利（元）， （2）设每件衬衫应降价元，则商场平均每天可销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵要扩大销售量，尽量减少库存， ∴． 答：每件衬衫应降价20元． 11．栅栏的长为米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设，根据题意列出方程，进而根据墙长28米，即可求解． 【详解】解：设，根据题意得， ． 解得：． ∵， ∴． ∴，即的长为米． 答：栅栏的长为米． 12．(1) (2)的面积不能与四边形面积相等，理由见解析 (3)线段的长度能达到，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式和勾股定理，根据题意正确得到一元二次方程成为解题的关键． （1）利用面积公式表示出和的面积，再根据题意列出关于t的方程求解即可； （2）假设的面积与四边形面积相等，则，利用面积列出方程，方然后根据方程解的情况即可解答； （3）根据“线段的长度能达到”，结合勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 解得； ∴当时，的面积是面积的． （2）解：的面积不能与四边形面积相等．理由如下： 当的面积与四边形面积相等时， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴此方程没有实数根， ∴的面积不能与四边形面积相等． （3）解：线段的长度能达到，理由如下： 当时， 在中，由勾股定理得， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， ∴当时，线段的长度能达到． 13．(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出关系式是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出关于的一元二次方程，解出即可； （2）设售价应降元，根据题意列出关于的一元二次方程，解出即可． 【详解】（1）解：设该电商这两年沈阳鸡架销售额的平均年增长率， ∵某电商从2022年开始销售沈阳鸡架，当年销售额为200万元，到2024年沈阳鸡架的销售额达到450万元． ∴  ， 解得： 或（舍去）， ∴   答：该电商这两年沈阳鸡架销售额的平均年增长率为； （2）解：设售价应降低元，则每天可售出箱， ∵当某规格沈阳鸡架的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价1元，每天可多售出40箱． ∴， 整理，得 ：， 解得：或， ∵要尽量减少库存， ∴，（元）， 答：售价应为元． 14．(1)80；1600 (2)每件工艺品售价应为55元 (3)利润不能到2000元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“销售单价每提高1元，每天就减少售出2件”可求出销售量，再根据“利润=每件的利润×每天的销售量”计算即可得解； （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． （3）同（2），利润=每件的利润×每天的销售量，判断该方程是否有解，且小于65，若存在，则能，否则则不能． 【详解】（1）解：依题意得：销售量为：（件）， 销售利润为：（元）， 故答案为：；； （2）解：设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为55元． （3）解：设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件， 依题意得：， 整理得：， ， ∴无解， 答：利润不能到2000元． 15．(1) (2)万人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意建立方程求出增长率是解题的关键． （1）设参观人数的月平均增长率为x，根据1月份的参观人数为10万人，3月份的参观人数增加到万人建立方程求解即可； （2）用3月份的参观人数加上4月份在3月份的基础上增加的参观人数即可得到答案． 【详解】（1）解：设参观人数的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：参观人数的月平均增长率为； （2）解：万人， 答：估算4月份参观人数是万人． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $