3.3.2抛物线的简单几何性质第3、4课时（构图）同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单几何性质第3、4课时（构图）同步练习、解答、细目表 南宁市第三中学 命题教师：陶新军 一、单选题 1．设为坐标原点，为抛物线：的焦点，点在抛物线上.若，则（   ） A． B．9 C．3 D． 2．已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 3．“米”是象形字．数学探究课上，某同学用抛物线和构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点P在抛物线上，过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，若，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．唐山市科技馆以“探索、创新、梦想、共享”为主题向社会大众免费开放，其中有一个“声聚焦装置”，通过两个大的抛物镜，演示声音的反射和聚焦过程.如图（1）所示：这两个抛物镜与轴截面的交线为抛物线，两个抛物镜相距.小红站在其中一个金属圆环处说话，小明在另一个金属圆环处就会听到相应的声音.如图（2），已知抛物镜的口径（直径）为，深度为，则金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为（    ） A． B．0 C． D． 二、多选题 5．已知是抛物线上的两点，焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为2，下列说法正确的是（    ） A． B．若直线的方程为，则 C．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为（为坐标原点） D．若在轴上方，则直线的斜率为 6．已知是抛物线：的焦点，过点且倾斜角为135°的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D．以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点 7．在平面直角坐标系中，已知圆：，动圆M与圆F外切，且与直线相切．过F的直线与M的轨迹交于不同的两点A，B，则下列说法正确的是（    ） A．M的轨迹方程为 B．若，则 C．的最小值为18 D．与的夹角的余弦值最小为 三、填空题 8．已知点，直线，动圆过点且与直线相切，其圆心的轨迹为曲线，上的动点到轴的距离为到直线的距离为，则的最小值为 . 9．已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作切线，切点为A，则的最小值 . 10．如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2cm时，水面宽度为6cm，当水面再上升2cm时，水面宽度为 cm. 四、解答题 11．已知动点到定点的距离比到定直线的距离小. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点任意作互相垂直的两条直线，，分别交曲线于点，和，.设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点； （3）在（2）的条件下，求面积的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 3.3.2抛物线的简单几何性质第3、4课时（构图）同步练习、解答、细目表 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D A D A ACD BCD BC 1．D 【分析】设，先由抛物线定义和解出，得到点坐标，再由两点间距离公式求出即可. 【详解】因为抛物线：，所以焦点，准线方程为. 设，因为，所以由抛物线定义可知，解得， 因为点在抛物线上，所以，所以， 所以.故选：D 2．A 【分析】根据题意可得准线方程为，过作的准线的垂线，垂足为，从而可得，即可求解. 【详解】易知抛物线的准线方程为，过作的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，所以， 当且仅当三点共线且准线时，等号成立．故的最小值为12．故A正确. 故选：A. 3．D 【分析】根据抛物线的对称性求出P点横坐标，再由抛物线定义求出即可. 【详解】因为，即，由抛物线的对称性知， 由抛物线定义可知，，即，解得，故选：D 4．A 【分析】建立直角坐标系，设抛物线方程为，由在抛物线上求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则设抛物线方程为：， 因为在抛物线上， 所以，解得， 则， 即金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为，故选：A 5．ACD 【分析】A. 由抛物线上一点到焦点的距离为2，利用抛物线定义求解判断；B.由求得点M，N的坐标求解判断；C.根据的外接圆的圆心是各边的中垂线的交点，结合与抛物线的准线相切求解判断；D.设，得到，求倾斜角判断. 【详解】解：抛物线上一点到焦点的距离为2， 所以，解得，故A正确；则抛物线方程为， 由，解得，则，故B错误； 因为的外接圆的圆心是各边的中垂线的交点，而线段OF的中垂线方程为，又与抛物线的准线相切，则外接圆的半径为，故C正确； 如图所示：   设，则，所以， 则，，故D正确；故选：ACD 6．BCD 【分析】对于A，由焦点坐标可确定抛物线方程；对于B，将直线与抛物线方程联立，由韦达定理可判断选项正误；对于C，由B选项分析结合抛物线定义可得答案；对于D，由抛物线定义及梯形中位线定理可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，由是抛物线：的焦点，知，解得，所以选项A错误； 对于B，由可得抛物线方程为.过点且倾斜角为135°的直线的斜率，根据点斜式可得直线的方程为，即. 将代入，可得，即. 因为，是直线与抛物线C的交点，根据韦达定理，，所以选项B正确； 对于C，由抛物线的焦点弦长公式. 因为，，所以，，则. 又因为，所以，所以选项C正确； 对于D，设的中点为P，分别过M，N，P作抛物线C的准线的垂线， 垂足分别为，，， 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 则，. 所以. 这说明以为直径的圆的圆心P到准线的距离等于圆的半径， 所以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点，所以选项D正确. 故选：BCD. 7．BC 【分析】根据给定条件，求出轨迹方程判断A；设直线直线方程，与轨迹方程联立，利用韦达定理并结合抛物线定义、基本不等式及向量夹角运算判断BCD. 【详解】对于A，由动圆M与圆F外切，与直线相切，且圆在直线的右侧， 则点在直线右侧，设，得， 化简得，所以M的轨迹方程为，A错误； ，直线不垂直于轴， 设方程为：，， 由消去得：，则， 对于B，由，得，解得，， 则，B正确； 对于C，， ，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，， ， 当且仅当时取等号，因此，D错误.故选：BC 【点睛】关键点点睛：利用直译法求出动圆圆心的轨迹方程是求解的关键. 8． 【分析】由点到点的距离等于点到直线的距离求出曲线的方程，当共线时， 取最小值，求出点到直线的距离，结合抛物线的定义得出，求解得出答案. 【详解】设动圆的圆心为 依题意可知，点到点的距离等于点到直线的距离 则，两边平方化简得，即点的轨迹为抛物线，方程为 由抛物线的定义可知 点到直线的距离为 （当且仅当共线时取等号） 即的最小值为故答案为： 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由距离公式得出曲线的方程，进而结合抛物线的性质求出最小值. 9．2 【分析】设，由切线长公式求得切线长后，结合二次函数知识得最小值． 【详解】由已知，圆半径为2， 设，， 所以时，，故答案为：2. 10． 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线方程，代入点的坐标，求出抛物线方程，进而得到时，，求出水面宽度. 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为， 由题意得：点在抛物线上，所以，解得：， 抛物线方程为，则当水面再上升2cm时，即时， 故，解得：，故水面宽度为cm. 故答案为：. 11．（1）（2）证明见解析（3） 【解析】（1）由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离，由此利用抛物线的定义能求出点的轨迹的方程． （2）设 两点坐标分别为 ，则点的坐标为．由题意可设直线的方程为，，由，得．由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率、直线方程，结合已知条件能证明直线恒过定点． （3）求出，利用基本不等式能求出三角形面积的最小值． 【详解】解：(1)由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离.根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线. ，抛物线方程为： (2)设，两点坐标分别为，，则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得. . 因为直线与曲线于，两点，所以，. 所以点的坐标为.由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为. 当时，有，此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点. (3)可求得.所以面积. 当且仅当时，“”成立，所以面积的最小值为. 【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线恒过定点的证明，考查三角形面积的最小值的求法，考查抛物线、根的判别式、韦达定理、直线的斜率、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 题号 难度 知识点 一、单选题 1 全部 抛物线上的点到定点的距离及最值 2 全部 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 3 全部 抛物线的焦半径公式 4 全部 根据抛物线上的点求标准方程 二、多选题 5 全部 根据定义求抛物线的标准方程,根据抛物线的方程求参数 6 全部 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程,根据抛物线的方程求参数 7 全部 求抛物线的轨迹方程,根据抛物线的方程求参数 三、填空题 8 全部 求抛物线的轨迹方程 9 全部 根据抛物线的方程求参数 10 全部 求实际问题中的抛物线方程 四、解答题 11 全部 求抛物线的轨迹方程,根据抛物线的方程求参数 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $