精品解析：四川省自贡市荣县第一中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题

荣县一中第一学月巩固练习九年级数学练习题 总分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此判断即可． 【详解】解：A、未知数的次数为3，故此选项不符合题意； B、是一元二次方程，故此选项符合题意； C、含有两个未知数，故此选项不符合题意； D、是分式方程，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解，熟记：“形如（，其中、为常数）的函数是二次函数”是解题的关键． 【详解】解：A、是二次函数，故不符合题意； B、，是一次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、，，分式形式，故不是二次函数，故不符合题意； 故选：C． 3. 已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接用公式求解即可． 【详解】∵方程 中，，， ∴ 故选：A． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程中，，，，可以求出，所以可知方程没有实数根． 【详解】解：方程中，，，， ， 方程没有实数根． 故选：C． 5. 将抛物线 向右平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线图象的平移规则：左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位，得到的抛物线为：， 故选：A． 6. 二次函数的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的顶点坐标，解题关键是掌握二次函数的顶点是．直接由二次函数解析式求解即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 7. 某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次降价的百分率相同，则降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，设每次降价的百分率为，根据连续两次降价后的售价建立方程求解即可- 【详解】解：设每次降价的百分率为，则第一次降价后售价为元，第二次降价后售价为元， 根据题意，得方程：， ∴， 开平方得：或， ∴或（舍去） 故选：A 8. 若方程的一个根是2，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，正确使用是关键；根据一元二次方程根与系数的关系直接计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵方程的一个根是 ∴ 故选：A． 9. 用配方法解方程 ，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，将方程变形为，配方得，运用完全平方公式即可解答． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， ∴． 故选：A． 10. 二次函数 的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，整理成顶点式求解更加简便．把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值． 【详解】解：， 时，的最大值是． 故选：A． 11. 若抛物线的图象上的三个点，，，，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合开口向上，对称轴为直线，则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，又因为抛物线上有三个点，，，且，则，即可作答． 【详解】解：∵，且 ∴开口向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵抛物线上有三个点，，， 则， ∴ 故选：C 12. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误； 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，解一元二次方程等知识点，熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解决此题的关键，根据已知条件“一元二次方程有两个相等的实数根”可知根的判别式，据此可以求得的值． 【详解】解：一元二方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 14. 二次函数 的开口方向是____，顶点坐标是____，对称轴是__． 【答案】 ①. 向上 ②. ③. 直线 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；根据二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系，以及二次函数的图象和性质可直接得出答案． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴开口向上， 由可知，顶点坐标是，对称轴是直线， 故答案为：向上，，直线． 15. 一元二次方程 的二次项系数是__ ，一次项系数是____，常数项是______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 化为一般形式，然后根据一元二次方程的概念进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：原方程可化为：， 则二次项系数是，一次项系数是，常数项是 故答案为：；； 16. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为___________________ 【答案】 【解析】 【分析】利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程． 【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示， 设小路宽为x米， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键． 17. 已知是二次函数，且其图象开口向上，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的图象，由二次函数的定义可得，即得，，再根据二次函数的图象可得，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得，， ∵其图象开口向上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 已知方程的两根分别为m、n，则的值为__． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，再整体代入求值即可得到答案； 【详解】解：由条件可知：，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共78分）：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或， 解得：，； 【小问2详解】 或， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 20. 已知抛物线的对称轴是轴，顶点坐标是，且经过点，求此抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式；根据顶点坐标设抛物线顶点式解析式，再把经过的点的坐标代入解析式求解． 【详解】设此抛物线的解析式，代入点得， 解得： ∴此抛物线的解析式为． 21. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根， ∴ 解得； （2）由一元二次方程根与系数关系， ∵， ∴ 即，解得． 又由（1）知：， ∴． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于k的方程． 22. 某商场将进价为30元的台灯按40元出售，平均每月能售出600盏．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量减少10盏．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ 【答案】台灯的售价应定为50元或80元 【解析】 【分析】设售价为x元，根据“销售利润=一个灯泡的利润×销售灯泡的个数”，列出方程解方程即可． 【详解】解：设售价定为x元 ， 由题意得[600−10(x−40)](x−30)=10000 ， 整理,得x2−130x+4000=0 ， 解得：x1=50，x2=80 . ∴这种台灯的售价应定为50元或80元， 答：台灯的售价应定为50元或80元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 23. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，求n的值． 【答案】的值为8或9 【解析】 【分析】当4为腰长时，将x=4代入原一元二次方程可求出n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=8符合题意；当4为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式=0，解之可得出n值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=9符合题意． 【详解】当4为腰长时，将代入，得：， 解得：， 当时，原方程为，解得：，， ∵2+4＞4， ∴符合题意； 当4为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 当时，原方程为， 解得：， ∵3+3＞4， ∴符合题意． ∴的值为8或9． 【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质、三角形三边关系，分4为腰长及4为底边长两种情况讨论是解题的关键． 24. 已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根． （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根 （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 【答案】 （1）证明：∵关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0，△＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2 ∵（m﹣1）2≥0 ∴无论m取何值方程总有两个实数根； （2）m＝1，菱形的边长为； （3）平行四边形ABCD的周长为5． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式求出△的符号进而得出答案； （2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案； （3）将AB＝2代入方程解得m＝，进而得出x的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝BC即（m﹣1）2＝0， ∴m＝1代入方程得： ∴ ∴x1＝x2＝， 即菱形的边长为； （3）解：将AB＝2代入方程x2﹣mx+﹣＝0， 解得：m＝， 将代入方程，x2﹣mx+﹣＝0， 解得：x1＝2，x2＝， 即BC＝， 所以平行四边形ABCD的周长为2+2+＝5． 【点睛】考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出m的值是解题关键． 25. 阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1） （2）． 【答案】（1），；（2）， ， 【解析】 【分析】（1）仿照材料的方法，设，则原方程可化为，进而解方程即可求解； （2）仿照材料的方法，设，则原方程可化为，进而解方程即可求解； 【详解】解：（1）设，则原方程可化为， 整理得，解得， ． 当时，即， 当时，无解． 原方程的解为，． （2）设，则原方程可化为， 整理得，解得，． 当时，即，解得， 当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 26. 已知抛物线交x轴于A，B两点，顶点是C． （1）求点A，B，C的坐标． （2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． （3）在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或或或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，直角三角形的性质，两点间距离公式，熟练掌握抛物线的性质，直角三角形的性质，距离公式是解题的关键． （1）根据得顶点坐标为，令得，解方程可确定点A，B的坐标． （2）根据题意，得到，继而得到，设，得到，解方程即可． （3）设在抛物线上存在点Q，使，且，根据题意，，得，结合，得到根据两点间距离公式得，解方程即可． 【小问1详解】 解：由得顶点坐标为， 令得， 解得， 故． 综上所述，，． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∴ ∴， ∵点P在抛物线上， 设， ∵， ∴， ∴， ∴或 解得，， 故点P的坐标为或或或． 【小问3详解】 解：设在抛物线上存在点Q，使，且，根据题意，，得， ∵， ∴， 根据两点间距离公式得， ，（舍去）， 故点Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荣县一中第一学月巩固练习九年级数学练习题 总分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 将抛物线 向右平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 7. 某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次降价的百分率相同，则降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 8. 若方程的一个根是2，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 9. 用配方法解方程 ，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数 的最大值是（ ） A. B. C. D. 11. 若抛物线的图象上的三个点，，，，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 12. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为_________． 14. 二次函数 的开口方向是____，顶点坐标是____，对称轴是__． 15. 一元二次方程 的二次项系数是__ ，一次项系数是____，常数项是______． 16. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为___________________ 17. 已知是二次函数，且其图象开口向上，则_______ 18. 已知方程的两根分别为m、n，则的值为__． 三、解答题（共78分）：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1） （2） 20. 已知抛物线的对称轴是轴，顶点坐标是，且经过点，求此抛物线的解析式． 21. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 22. 某商场将进价为30元的台灯按40元出售，平均每月能售出600盏．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量减少10盏．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ 23. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，求n的值． 24. 已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根． （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根 （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 25. 阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1） （2）． 26. 已知抛物线交x轴于A，B两点，顶点是C． （1）求点A，B，C的坐标． （2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． （3）在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $