精品解析：普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣大联考2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题（北师大版）

2027届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高二） 数学（北师大版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（ ） A. -11 B. -5 C. 5 D. 11 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为实数，椭圆的离心率为，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 已知双曲线的右焦点为为的左支上一点，为线段的中点，为坐标原点，若，则（ ） A. 10 B. 9 C. 7 D. 6 6. 已知曲线表示圆，则实数的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 1或2 D. -1或-2 7. 已知分别为曲线（包含点与直线）上的点，定义曲线之间的最短距离为（其中表示点与点距离的最小值）.已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知动点为圆上两动点，且，点为线段的三等分点，若，存在点使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 的焦点坐标为 B. 的实轴长为4 C. 的离心率为 D. C的渐近线方程为 10. 已知圆，直线经过两点，点为圆上一动点，则下列说法正确的有（ ） A. 直线的方程为 B. 与圆相离 C. 点到直线的距离的最小值为 D. 直线斜率的最大值为 11. 已知抛物线的焦点为F，动点在的准线上，过点A作两条斜率均存在的直线，两条不同的直线与均有且只有一个交点，交点分别为点，则下列说法正确的是（ ） A. 方程为 B. 的大小随的增大而减小 C. 三点共线 D. 面积的最小值为4 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量的坐标为，则直线的斜率为________. 13. 若圆上到直线（为实数）的距离为1的点有且仅有3个，则________. 14. 已知椭圆左､右焦点分别为，是上位于第一象限内的一点，且.过原点作平行于的直线，与和的角平分线分别交于两点，且，则实数的值为________. 四､解答题：本题共小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，顶点在直线上，的坐标为的坐标为. （1）若边上的高所在的直线方程为，求顶点的坐标； （2）求的面积. 16. 已知圆经过三点. （1）求圆标准方程； （2）若圆与圆相交于两点，求直线的方程以及公共弦的长. 17. 在圆上任取一点，过作轴的垂线段为垂足，为线段的中点.当点在轴上时，规定点与点重合. （1）求点的轨迹； （2）设的轨迹方程为，若直线（为实数）与轨迹方程有且仅有一个交点，求直线的一般式方程. 18. 已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与交于两点，且点与点关于轴对称. （1）若，点的坐标为，求的值； （2）若，求的值； （3）证明：直线恒过定点. 19. 已知双曲线的焦距为4，且双曲线过点. （1）求双曲线方程； （2）设过的两条斜率存在且不重合的直线与的右支分别交于两点和两点，且.设直线的斜率为，直线的斜率为. （i）证明：的值为定值； （ii）若四边形的面积用直线的斜率表示为，求直线的斜率的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高二） 数学（北师大版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（ ） A. -11 B. -5 C. 5 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的截距式方程特征直接求解即可. 【详解】根据直线的截距式方程可知，直线在轴上的截距为5. 故选：C. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，进而求得抛物线的焦点坐标. 【详解】根据抛物线的方程可知，，则， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：D 3. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 将点代入，可得，解得， 可得所求直线方程为，故B正确. 故选：B. 4. 已知为实数，椭圆的离心率为，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先判断椭圆焦点位置，然后根据离心率的公式列方程求解即可. 【详解】因为该方程为椭圆方程，所以且，解得， ，所以，， 则，所以， 由题意得，解得. 故选：D. 5. 已知双曲线的右焦点为为的左支上一点，为线段的中点，为坐标原点，若，则（ ） A. 10 B. 9 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线定义及中位线的性质求解即可. 【详解】设的左焦点为，连接，因为为的中点， 为坐标原点，所以， 由双曲线的定义可知，， 所以. 故选：A. 6. 已知曲线表示圆，则实数的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 1或2 D. -1或-2 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的一般方程特征列出关系式求解即可. 【详解】由圆的一般方程特征可知，，即，解得. 故选：A. 7. 已知分别为曲线（包含点与直线）上的点，定义曲线之间的最短距离为（其中表示点与点距离的最小值）.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合椭圆上点的横坐标范围，利用距离公式求解最小值，根据新定义即可得解. 【详解】记，设椭圆上的点为，由椭圆的性质可知， 则 ， 当时，最小，，所以. 故选：B. 8. 已知动点为圆上两动点，且，点为线段的三等分点，若，存在点使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据可知为等边三角形，取再根据余弦定理求解出，可以确定点的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆，再根据,点坐标确定,所在直线方程，再根据，可以确定在以为直径的圆上，最后根据圆与圆有公共点求解的取值范围. 【详解】由可知，为等边三角形，因为点为线段的三等分点， 不妨取，由余弦定理得，， 所以点在以原点为圆心，半径为的圆上. 由动点可知，均为直线上的动点， 因为，所以，则， 要使，所以点在以为直径的圆上，则圆与圆有公共点； 又原点到直线的距离为， 当圆的圆心为直线上离原点最近的点，且两圆外切时， 圆的半径取得最小值， 所以，的中点为直线上的动点，，故对任意的取值，总存在，故圆与圆有公共点，故无最大值， 故的取值范围为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 的焦点坐标为 B. 的实轴长为4 C. 的离心率为 D. C的渐近线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知条件求得，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】双曲线的焦点在轴上，且， 所以，则， 所以的焦点坐标为，A错误； 因为，所以的实轴长，B正确； 的离心率为，C正确； 的渐近线方程为，D错误. 故选：BC. 10. 已知圆，直线经过两点，点为圆上一动点，则下列说法正确的有（ ） A. 直线的方程为 B. 与圆相离 C. 点到直线的距离的最小值为 D. 直线的斜率的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两点式直线方程求解判断A；利用几何法判断直线与圆的位置关系判断B；结合几何特征利用点到直线距离公式求解最值判断C；当直线与圆相切时，直线的斜率取得最大值，利用相切关系列方程求解即可判断D. 【详解】直线的方程为，整理得，A正确； 圆心到直线的距离为， 所以与圆相离，B正确； 由上可知，点到直线的距离的最小值为，C错误； 结合图形可知，当直线与圆相切时，直线的斜率取得最大值， 设的斜率为，则的方程为，即， 由相切得，，解得， 所以的斜率的最大值为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知抛物线的焦点为F，动点在的准线上，过点A作两条斜率均存在的直线，两条不同的直线与均有且只有一个交点，交点分别为点，则下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的大小随的增大而减小 C. 三点共线 D. 面积的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据准线方程求得即可求解抛物线方程判断A；设直线的方程，与抛物线方程联立，韦达定理得，设直线的斜率为，同理得0，由判断B；结合选项B求出直线的方程，由在直线上判断C；利用弦长公式求得.，又到直线的距离为，结合函数的单调性求得面积的最小值判断D. 【详解】由题意可知，抛物线的准线方程为， 所以，解得，所以方程为，A正确； 设直线的斜率为， 则的方程为，与联立，整理得， 则，即， 设直线的斜率为，同理得0， 所以是方程的两个根，所以， 所以，B错误； 设，则的方程为，由B可知，， 故，即，故，同理， 代入的方程得，，化简得， 显然在直线上，则三点共线，C正确； 由C知，的方程为，与联立得， ，则-4， 所以.， 又到直线的距离为， 所以， 当且仅当时取得等号，D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量的坐标为，则直线的斜率为________. 【答案】-5 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解即可. 【详解】因为直线的一个方向向量的坐标为，所以直线的斜率为. 故答案为：. 13. 若圆上到直线（为实数）的距离为1的点有且仅有3个，则________. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意并利用点到直线的距离公式建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意得圆心为，半径为2， 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有3个，可得圆心到直线的距离为1， 由点到直线的距离公式得，解得. 故答案为： 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，是上位于第一象限内的一点，且.过原点作平行于的直线，与和的角平分线分别交于两点，且，则实数的值为________. 【答案】7 【解析】 【分析】先根据平行线、角平分线、中位线的性质求得，然后根据椭圆的定义和余弦定理列方程，由此求得的值. 【详解】如图所示，因为，且的角平分线为，所以， 所以，易知为的中位线，所以， 设，则，， 由椭圆的定义可知，， 则，所以， 在中，由余弦定理得： ， 由得，， 解得，故. 故答案为： 四､解答题：本题共小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，顶点在直线上，的坐标为的坐标为. （1）若边上的高所在的直线方程为，求顶点的坐标； （2）求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）联立直线方程即可求解点的坐标； （2）先求出直线的方程，然后根据点所在的直线与直线平行，进而利用平行线的距离公式求出高，即可求出的面积. 【小问1详解】 由，解得，故顶点的坐标为. 【小问2详解】 由，得直线的方程为，即， 易知顶点所在的直线与直线平行， 则顶点到直线的距离为， ， 故的面积为. 16. 已知圆经过三点. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆相交于两点，求直线的方程以及公共弦的长. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，将点的坐标代入方程求解方程组，再化为标准方程即可； （2）两圆相减得直线的方程，然后利用垂径定理求解弦长即可. 【小问1详解】 设圆的方程为， 由题意可知，，解得， 所以圆的方程为， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 由圆与圆相减得，， 所以直线的方程为. 则圆心到直线的距离， 故. 17. 在圆上任取一点，过作轴的垂线段为垂足，为线段的中点.当点在轴上时，规定点与点重合. （1）求点的轨迹； （2）设的轨迹方程为，若直线（为实数）与轨迹方程有且仅有一个交点，求直线的一般式方程. 【答案】（1）点的轨迹为焦点在轴上，长轴长､短轴长分别为的椭圆 （2） 【解析】 【分析】（1）设点坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，利用中点坐标公式得，进而代入圆的方程化简可得点的轨迹方程即可得解. （2）联立直线与椭圆方程，利用判别式法求得参数，即可求解直线方程. 【小问1详解】 设点的坐标为，点的坐标为， 则点的坐标为，所以， 因为点在圆上，则， 所以，即， 故点的轨迹为焦点在轴上，长轴长､短轴长分别为的椭圆. 【小问2详解】 由（1）可知的轨迹方程为. 联立方程组，整理得， 由，解得， 故直线的一般式方程为. 18. 已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与交于两点，且点与点关于轴对称. （1）若，点的坐标为，求的值； （2）若，求的值； （3）证明：直线恒过定点. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义及，可得，，进而可得结果； （2）设直线的方程代入抛物线方程，由根与系数关系及可得，再由抛物线的定义可得焦点弦的长； （3）由（2）得，根据B点的位置分两种情况，再由A，D点直接得直线AD的方程进而可判断直线过定点. 【小问1详解】 因抛物线，得，准线，焦点. 由点坐标为得，点的坐标为， 由抛物线的定义可知，6，解得， 因为在上，所以，所以， 故. 【小问2详解】 显然直线的斜率不为0，且过焦点，设直线的方程为，. 联立整理得， 则， 因且点与点关于轴对称，得， 所以 . 又，所以，整理得，，解得 又， 由抛物线的定义得 所以. 【小问3详解】 证明：由在抛物线上，再（2）知. 所以， ①当点在第一象限内，，，则， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，则， 所以直线过定点. ②同理当在第四象限时，，，则， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，则， 所以也过定点， 综合①②，故直线恒过定点. 19. 已知双曲线的焦距为4，且双曲线过点. （1）求双曲线的方程； （2）设过的两条斜率存在且不重合的直线与的右支分别交于两点和两点，且.设直线的斜率为，直线的斜率为. （i）证明：的值为定值； （ii）若四边形的面积用直线的斜率表示为，求直线的斜率的值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程组，求得，进而求得双曲线的方程. （2）（i）写出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数的关系，求得.同理求得，根据化简求得. （ii）结合弦长公式、二倍角公式以及求得四边形的面积，根据已知条件列方程，由此求得. 【小问1详解】 （1）由题意得， 解得， 故双曲线的方程为. 【小问2详解】 （2）（i）证明：易知直线的斜率不为0，设， 则直线的方程为， 由 消去并整理得， 则， 即且. ，可得 . 易知直线的斜率不为0，设，则直线的方程为， 同理得， 所以，解得， 因为，所以，则， 故的值为定值. （ii）因为直线的斜率为，设其倾斜角为，则直线的倾斜角为， 所以四边形的面积 ， . 同理得，， 因为，所以， 又， 则 ， 所以，整理得，则， 当时，，解得， 当时，，解得， 由题意可知，，所以， 故直线的斜率的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $