精品解析：江苏省南京外国语学校2025-2026学年高三上学期10月学情调研数学试题

2025年10月高三学情调研 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 若复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（ ）. A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（ ） A. 11 B. 13 C. 19 D. 17 8. 如图，某社区为墙面A、B、C、D四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（ ） A B C D A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 84种 二、多选题 9. 某研究小组采集了组数据，作出如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（ ） A. 相关系数变小 B. 决定系数变大 C. 残差平方和变大 D. 解释变量与预报变量的相关性变强 10. 如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（ ） A. 水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状 B. 水面四边形的面积不改变 C. 棱始终与平行 D. 当时，是定值 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 在区间的最小值为 C. 为偶函数 D. 的图象向右平个单位后得到的图象 三、填空题 12. 已知是虚数单位，若复数满足，则______． 13. 现有8道单选题（每题都是四个选择），某学生对其中6道有思路，2道题完全没有思路.假设有思路的题都能做对，没有思路的题仅能随机猜，那么从8题中随机选择1题，此学生能够做对的概率为________. 14. 已知，，x为的个位数，求________. 四、解答题 15. 已知双曲线，斜率为的直线过点. （1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 16. 坛子里放着5个大小，形状都相同的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的，如果不放回地依次拿出2个鸭蛋. （1）求第1次拿出绿皮鸭蛋的概率； （2）在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，求第2次拿出绿皮鸭蛋的概率. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）若角，求角的大小； （2）若，，求. 18. 已知为正实数，构造函数．若曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求证：． 19. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，三棱锥是正三棱锥，E，F分别为，的中点. （1）求二面角的余弦值； （2）判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年10月高三学情调研 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】，， . 故选：B. 2. 在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性得到，从而计算出，求出模长. 【详解】对应的点为，其中关于的对称点为， 故， 故. 故选：C 3. 若复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用复数乘法化简，再由所在象限的复数特征列不等式组求参数范围. 【详解】由题设，可得，所以，对应的点位于第四象限， 所以. 故选：C 4. 在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】用射影定理即可化简求值. 【详解】如图所示，过点A作于点D， 则， 同理可证， 因为，所以， 整理得，因为为锐角三角形，所以， 所以，即， 故选：D 5. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析易得在上单调递增，，进而结合单调性解不等式即可求解. 【详解】的定义域为，所以在上单调递增， 而， 所以， 由， 则，由的单调性可得， ，即，解得或， 故不等式的解集为. 故选：A． 6. 如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用题设条件得到.也就是，然后引入参数并得到等量关系故，最后使用余弦定理即可得到齐次方程并求解. 【详解】连接，，根据题意，，，三点共线，，，三点共线.，且由知，故. 所以. 可设，，. 由于 ，故. 从而，，故，. 在中，由余弦定理得， ，解得， 所以. 故选：C. 7. 已知等差数列的前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（ ） A. 11 B. 13 C. 19 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质由等差数列的求和公式和等差中项可得，再由等比中项可得，两式联立可得和，然后求出数列的通项可得. 【详解】，即， 又因为，，成等比数列，则， 即，整理可得， 再与联立可得，， 所以，， 故选：C． 8. 如图，某社区为墙面A、B、C、D四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（ ） A B C D A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 84种 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可知，若只用3种颜色，则只有和颜色相同，或只有和颜色相同，所以采用分类和分步计数原理，结合排列组合，即可求解. 【详解】由条件可知，可以分成只有和颜色相同，或只有和颜色相同， 若只有和颜色相同，则有种方法， 只有和颜色相同，也有24种方法，所以一共有种方法. 故选：C 二、多选题 9. 某研究小组采集了组数据，作出如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（ ） A. 相关系数变小 B. 决定系数变大 C. 残差平方和变大 D. 解释变量与预报变量的相关性变强 【答案】BD 【解析】 【分析】根据散点图判断出去掉点后，与的线性相关性相关性以及残差平方和、决定系数的关系逐项判断即可得出合适的结论. 【详解】根据散点图可知，去掉点后，与的线性相关性加强，且为正相关， 相关系数变大，则A错D对， 去掉点后，残差平方和变小，则变大，B对C错. 故选：BD. 10. 如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（ ） A. 水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状 B. 水面四边形的面积不改变 C. 棱始终与平行 D. 当时，是定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】从棱柱的特征平面可判断A；由水面四边形的面积是改变的可判断B；由可判断C；由体积是定值，高为定值，则底面积为定值，可判断D. 【详解】将BC固定时，在倾斜的过程中，随着倾斜度的不同，平面始终与地面平行， 根据面面平行性质定理，始终有，且平面平面DHGC， 故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故A正确； 水面四边形是矩形，随着倾斜度的不同，EF是变化的，而EH不变，所以面积是改变的，故B错误； 由，故C正确； 由于水的体积是定值，即四棱柱体积不变， 由高不变，所以底面梯形面积不变，即为定值， 即当时，是定值，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 在区间的最小值为 C. 为偶函数 D. 的图象向右平个单位后得到的图象 【答案】BC 【解析】 【分析】由图象可求得的解析式，对于A： 验证是否为的零点；对于B先求出的范围再求的值域；对于C，求出的解析式判断奇偶性；对于D：根据图象的平移求出平移后的解析式判断. 【详解】，由图象可知，即，又，所以， 由五点作图法可得，解得，所以， 对于A：，所以的图象关于对称，故A错误； 对于B：当时，，即在区间上的最小值为，故B正确； 对于C：，为偶函数，故C正确. 对于D：的图象向右平移个单位后得到的图象，故D错误； 故选:BC. 三、填空题 12. 已知是虚数单位，若复数满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数除法法则进行计算出答案.. 【详解】，故. 故答案为： 13. 现有8道单选题（每题都是四个选择），某学生对其中6道有思路，2道题完全没有思路.假设有思路的题都能做对，没有思路的题仅能随机猜，那么从8题中随机选择1题，此学生能够做对的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式即可求解. 【详解】， 故答案为：. 14. 已知，，x为的个位数，求________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用列举法求出的所有可能取值，并求出对应概率，再根据期望公式即可得解. 【详解】当时，，个位数为，有个， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 综上所述，可取， 且， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知双曲线，斜率为的直线过点. （1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】 （1）根据直线与双曲线只有一个公共点，所以联立方程组，若相切则即可，若不相切则直线与渐近线平行即可； （2）根据双曲线的定义和余弦定理即可求得三角形的面积. 【小问1详解】 当时，，则直线l的方程为， 当时，联立方程组，得， 由直线和双曲线相切的条件，可得，解得； 双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点. 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； 【小问2详解】 由双曲线，则， 又点P在双曲线上，即，即， 在中，由余弦定理， 即，解得， 所以的面积. 16. 坛子里放着5个大小，形状都相同的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的，如果不放回地依次拿出2个鸭蛋. （1）求第1次拿出绿皮鸭蛋的概率； （2）在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，求第2次拿出绿皮鸭蛋的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式可得结果； （2）利用条件概率计算公式代入计算即可求得结果. 【小问1详解】 记“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件， 易知； 即第1次拿出绿皮鸭蛋的概率为； 【小问2详解】 记“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件， 则可得， 由条件概率计算公式可得； 所以在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，求第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）若角，求角的大小； （2）若，，求. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化结合三角恒等变换化简，即可得到结果； （2）根据题意，由余弦定理，代入计算即可得到结果. 【小问1详解】 由于，有， 即，即， 且，，则，即， 所以，由于，且，故. 【小问2详解】 由（1）知 当为锐角时， 当为钝角时， 18. 已知为正实数，构造函数．若曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1）2 （2） 由第1问可知，. 要证，即要证， 只需证. 构造函数，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以，所以，所以. 【解析】 【分析】（1）根据切线方程列出关于的方程组，解方程组即可. （2）对要证明的式子进行化简，构造函数，利用单调性求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为. 由题意可知曲线在点处的切线方程为， 所以，解得(负值舍去)，所以. 【小问2详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，三棱锥是正三棱锥，E，F分别为，的中点. （1）求二面角的余弦值； （2）判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由. 【答案】（1） （2）平行，距离为 【解析】 【分析】(1)先证，，然后得出平面SAC.建立适当的直角坐标系，再利用平面的法向量，即可求解. (2)利用向量在平面BDF的法向量上的投影，即可求解. 【小问1详解】 连接AC，交BD于点O，连接SO，因为四边形ABCD是菱形，所以O为AC，BD的中点，且， 因为三棱锥是正三棱锥，，O为BD的中点，所以，平面SAC, 平面SAC, 又，所以平面SAC. 作平面BCD于H，则H为正三角形BCD的中点，H在线段OC上，且，，，. 如图，以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，C.，D.，，，， 所以，，， 设是平面EBF的法向量， 则， 则，设是平面DBF的法向量， 则，取， 所以， 又因为二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为. 【小问2详解】 直线SA与平面BDF平行. 法1:连接OF，由（1）知O为AC的中点，又F为SC的中点，所以， 又因为平面BDF，平面BDF，所以直线平面BDF. 法2:由（1）知是平面BDF的一个法向量， 又，，所以， 所以， 所以，又因为平面BDF，所以直线平面BDF. 设点A与平面BDF的距离为h，则h即为直线SA与平面BDF的距离， 因为，是平面DBF的一个法向量， 所以， 所以点A与平面BDF的距离为， 所以直线SA与平面BDF的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $