精品解析：四川省达州市高级中学江湾城校区(初中)2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

四川省达州市高级中学江湾城校区（初中）2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 2025年国庆期间川超拉动达州消费热潮，聚焦游客精神文化需求，达州以多元化演艺活动为核心，构造“全场景、沉浸式”的文旅体验体系．国庆黄金周前五天，达州市A级旅游景区累计接待游客人次，再创新高．数据用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】解：． 故选：C． 3. 如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义．解题运用“代入求值”思想，将方程的根代入方程转化为关于c的一元一次方程求解．解题关键是准确代入根并正确运算，易错点为代入或后续计算时出错． 根据方程根的定义，把代入方程，得到，然后通过移项、计算，求出c的值． 【详解】解：由题意，将代入方程，得： 解得． 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．逐项判断即可． 【详解】解：A、与不能合并，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算错误，不符合题意； D、，故本选项计算正确，符合题意． 故选：D． 5. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，代入数据，即可求解． 【详解】解：依题意，水面与容器底面平行， ∴ ∵，， ∴ 故选：B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的邻边平行且相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个内角都是直角 D. 正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查（特殊）平行四边形的性质，根据相关四边形的性质，进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形的对边平行且相等，原说法错误，不符合题意； B、矩形的对角线互相平分且相等，原说法错误，不符合题意； C、矩形的四个内角都是直角，原说法错误，不符合题意； D、正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，原说法正确，符合题意； 故选D． 7. 关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于0，结合一元二次方程的二次项的系数不等于0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选C． 8. 摩拜共享单车计划2023年第三季度（8月，9月，10月）连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划8月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程应用，关键是抓住增长率表示出12月的投放台数．根据8月投放台数，列出用增长率表示9月和10月的投放台数，再根据题意列方程即可． 【详解】根据题意，计划9月投放台，计划10月投放台，所以可列方程． 故选：D． 9. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点，，，⋯在直线上，点，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，正方形的性质，点坐标规律，当时，，解得，所以 点，又四边形为正方形，则点，同理可得出：，，，，，所以，，，，，从而得出（为正整数），然后把代入即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当时，，解得， ∴ 点， ∵四边形为正方形， ∴点， 同理，可得出：，，，，， ∴，，，，， ∴（为正整数）， ∴当时，，即， 故选：． 10. 如图，在中，以点 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点F，G，再分别以点F，G 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 H，作射线交于点E，K为的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图，得到平分，平行四边形的性质，推出，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，进而得到，勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可． 【详解】解：由作图可知：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵K为的中点， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查尺规作图—作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，以及斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知a、b、c、d是成比例线段，，，，则线段d的长为____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义得到，代入计算即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， 又∵，，， ∴， 解得：； 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了成比例线段的应用，准确计算是解题的关键． 12. 已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集的意义，熟练掌握解一元一次不等式组及一元一次不等式组的解集的意义是解题的关键．解两个不等式得，，再根据不等式组的整数解的个数，即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 关于x的不等式组的整数解有且只有2个， ． 故答案为：． 13. 已知，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，，（）， ∴， 故答案为：． 14. 如图，平面直角坐标系中，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】不等式的解集就是图象上两个一次函数的图象都在轴的下方，且的图象在的图象的下边的部分对应的自变量的取值范围． 【详解】经过点的直线与直线相交于点， 不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式，正确理解不等式的解集与对应的函数图象的关系是解题的关键． 15. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，根据根的定义，得到，根据根与系数之间的关系，得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴ ． 故答案为：7． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 计算： （1） ； （2） ． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则，一元二次方程解法是解题的关键． （）先根据算术平方根与立方根、化简绝对值，去括号法则分别计算，再进行加减运算即可； （）根据因式分解法进行解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 或， ∴，． 17. 先化简，再求值：，从、、、中选择一个合适的数作为的值求解． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则先化简，再根据分式有意义的条件确定所选的数，再代入求值即可，熟练掌握分式运算法则，分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解： ， ∵且， ∴且， ∴当时， 原式． 18. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； （3）若点为轴上一点，则的最小值为____________． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求， （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则的最小值即为，由勾股定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 作点关于轴的对称点'，连接，交轴于点，连接， 则的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，写出点的坐标，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上几何变换的性质是解题的关键． 19. 计算： （1）已知，，为的三边，，且，求的面积． （2）如果，求的值． 【答案】（1）的面积为； （2）的值为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，勾股定理逆定理，直角三角形面积的计算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，可得，，，又，代入求得，则有，，，然后通过勾股定理逆定理可得是直角三角形，最后由直角三角形面积公式即可求解； （）由，则，，，所以得，然后分当时和当时两种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：设， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积为； 【小问2详解】 解：∵， ∴，，， 得， 当时，， 当时，， ∴， 综上可得：的值为或． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）当该方程的一个根为1时，求k的值及该方程的另一个根． 【答案】（1） 证明： ， ∵无论k取任何实数，恒成立，即恒成立， ∴无论k取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根 （2），方程的另一个根为2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和解一元二次方程； （1）根据方程的判别式进行证明即可； （2）先把代入原方程求出k的值，再解方程即可求解． 熟练掌握一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的解法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入原方程，得， 解得， ∴原方程为， 解得，， ∴该方程的另一个根为2． 21. 如图，的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OB和OD上，且． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若，，求线段AC的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴≌， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形AECF是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明≌得到，根据得到，进而得到，即可得到结论； （2）根据四边形AECF是平行四边形得到，，根据得到为，根据勾股定理得到长度，进而可得长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）四边形AECF是平行四边形， ∴，， ∵，∴． 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，掌握性质与定理是解题的关键． 22. 如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求点，的坐标； （2）如果轴上有一动点，要使以为顶点的三角形构成等腰三角形，请探究并求出符合条件的所有点坐标． 【答案】（1），； （2）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合及分类讨论的思想，掌握知识点的应用是解题的关键． （）当时，求出的值，当时，求出的值，即可得出两点的坐标； （）分当，且点在轴上时；当时，点位于轴右侧；当时，点位于轴右侧三种情况分析即可． 【小问1详解】 解：由直线得， 当时，；当时，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， 如图，当，且点在轴上时， ∴当点在点左侧时，， ∴此时点的坐标为； 当点在点右侧时，， ∴此时点的坐标为； 如图，当时，点位于轴右侧， ∴， ∴此时点的坐标为； 如图，当时，点位于轴右侧， 设，则，， ∴， ∴，解得：， ∴， 综上可得，点的坐标为或或或． 23. 如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边终点以速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． （1）填空： ______；（用含的代数式表示） （2）当为何值时，的长度等于？ （3）连接，，记的面积为． ① ______（用含的代数式表示）； ②当______秒时，的最小值为______． 【答案】（1） （2）当秒时,的长度等于 （3）①；②2；48． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用，勾股定理，二次函数的应用等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）利用勾股定理构建方程即可解决问题； （3）①根据，利用面积公式即可解决问题；②根据①中所求函数表达式，利用二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵，点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，，，， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴当秒时,的长度等于； 【小问3详解】 解：①根据题意得，，，，，，， ∴ ， 故答案为：； ②由①可知，， ∵， ∴当秒时，取得最小值，最小值为， 故答案为：2，48． 24. 网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多果农们采取直播的方式实现了销售转型，如果按照每箱70元售价进行销售时，平均一天可以卖出100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚26元，另外打包用的纸箱子是2元/个，每天的直播推广费用为300元，通过直播大数据分析发现，当每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价． （1）设降价x元，则每天可以售出 箱？（用含x的代数式表示） （2）若果农们想要每天纯利润达到2550元，那么每箱的售价应该定为多少？ 【答案】（1） （2）售价应该定为65元或61元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，可知：降价x元，则每天可以售出箱； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设降价x元， 由题意，得：， 解得：， ∴元或元， 答：售价应该定为65元或61元． 25. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积为4或16或12或． 【解析】 【分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到． （2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可． （3）运用分类思想解答即可． 【详解】（1）∵，，． ∴， ∴，， ∴即， ∵ ∴， ∴． （2）连接，延长交于点Q，根据（1）得， ∴， ∵是中线 ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形的面积为4或16或12或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市高级中学江湾城校区（初中）2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 2025年国庆期间川超拉动达州消费热潮，聚焦游客精神文化需求，达州以多元化演艺活动为核心，构造“全场景、沉浸式”的文旅体验体系．国庆黄金周前五天，达州市A级旅游景区累计接待游客人次，再创新高．数据用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 3. 如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的邻边平行且相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个内角都是直角 D. 正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 7. 关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 摩拜共享单车计划2023年第三季度（8月，9月，10月）连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划8月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点，，，⋯在直线上，点，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，以点 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点F，G，再分别以点F，G 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 H，作射线交于点E，K为的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知a、b、c、d是成比例线段，，，，则线段d的长为____． 12. 已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是________． 13. 已知，则=______． 14. 如图，平面直角坐标系中，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为______． 15. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式_______． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 计算： （1） ； （2） ． 17. 先化简，再求值：，从、、、中选择一个合适的数作为的值求解． 18. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； （3）若点为轴上一点，则的最小值为____________． 19. 计算： （1）已知，，为的三边，，且，求的面积． （2）如果，求的值． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）当该方程的一个根为1时，求k的值及该方程的另一个根． 21. 如图，的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OB和OD上，且． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若，，求线段AC的长． 22. 如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求点，的坐标； （2）如果轴上有一动点，要使以为顶点的三角形构成等腰三角形，请探究并求出符合条件的所有点坐标． 23. 如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边终点以速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． （1）填空： ______；（用含的代数式表示） （2）当为何值时，的长度等于？ （3）连接，，记的面积为． ① ______（用含的代数式表示）； ②当______秒时，的最小值为______． 24. 网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多果农们采取直播的方式实现了销售转型，如果按照每箱70元售价进行销售时，平均一天可以卖出100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚26元，另外打包用的纸箱子是2元/个，每天的直播推广费用为300元，通过直播大数据分析发现，当每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价． （1）设降价x元，则每天可以售出 箱？（用含x的代数式表示） （2）若果农们想要每天纯利润达到2550元，那么每箱的售价应该定为多少？ 25. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $