第1-3章题型（解答题）专项训练- 2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024）

第1-3章题型（解答题）专项训练- 2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024） 题型导航 题型一：三角形中的线段和角 题型二：全等三角形 题型三：全等三角形的判定 题型四：线段垂直平分线与角平分线 题型五：等腰三角形 题型六：平方根 题型七：立方根 题型八：勾股定理的探究 题型九：勾股定理的逆定理 题型十：勾股定理的应用 跟踪训练 题型一：三角形中的线段和角 1．如图，在中，BD是AC边上的高，． （1）求的度数； （2）若CE平分交BD于点E，，求的度数． 2．如图，D是的边上的一点，，，．求的度数． 3．已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D． （1）如图1，若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度数； （2）如图2，若DF⊥AD交AB于F，求证：BF＝DF． 4．如图，在中，平分，M是延长线上一点，过点M作，垂足为H，分别与交于点F，E．求的度数． 题型二：全等三角形 5．如图，阳阳为了测量楼高，在旗杆与楼之间选定一点，使，量得点到楼底距离与旗杆高度都为，旗杆与楼之间的距离，求楼高． 6．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E在边AD上，延长BE交AC于点F，且△ACD≌△BED． （1）求证：∠AFE＝90°； （2）若S△BCF＝20，S四边形CFED＝8，求△AEF的面积． 7．如图，在与中，，，与交于点E．求证：． 8．如图1，AB=7 cm，AC=5 cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.点P在线段AB上以2 cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动.它们运动的时间为t s，当点P运动结束时，点Q运动随之结束. （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等?并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由. （2）如图2，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x，t的值. 题型三：全等三角形的判定 9．如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）若，，求证：平分． 10．如图，已知点是等边内一点，连接，，，为外一点，且，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的度数． 11．如图，在中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 12．请完成以下证明过程如图，已知AB//CD，AB=CD，BE=CF. 求证： AFIIDE. 证明：∵AB//CD， ∴∠B=∠C（　　） ∵BE=CF， ∴BE- =CF- 即 BF=CE， 在△ABF 和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE（　　） ∴∠AFB=∠DEC（　　） ∴∠AFE=∠DEF （　　） ∴AFIIDE. （　　） 题型四：线段垂直平分线与角平分线 13．如图， 已知在△ABC 中，点 D 在边 AC 上，且 AB =AD． （1）作∠BAC 的平分线 AM 交 BC 于点 M（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）在（1）的条件下，连接MD，求证：MD=MB． 14．只用无刻度的直尺，利用网格作图。 （1）在图①中找一点P，使P到AB和AC距离相等且PB=PC； （2）在图②中，作出∠ABC的角平分线BD。 15．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E． （1）若∠A＝70°，∠ABC＝60°，求∠BDC的度数； （2）若DE＝4，BC＝9，求△BCD的面积． 16．已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分， 题型五：等腰三角形 17．在中，的平分线交于点，于点，， （1）试判断的形状，并说明理由． （2）若，求的长． 18．问题情景：如图1所示，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是△ABC的内线过点C作CE⊥AD，垂足为M，且交AB于点E. （1）（探究一）小虎通过度量发现∠BCE=∠CAD，请你帮他说明理由； （2）（探究二）小明在图中添加了一条线段CN，且CN平分∠ACB交AD于点N，如图2所示，即可得CN=BE，符合题意吗？请说明理由； （3）（探究三）小刚在（2）的基础上，连接DE，如图3所示，又发现了一组全等三角形，你能发现吗？请找出来，并说明理由. 19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于D：以点A为圆心， AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD. （1） 若∠A=20°，求∠BCD 的度数： （2）设AC=4，点E是线段AC的中点，求BC的值： （3）若AC=2BC，求的值 20．在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”.如图，△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AB上一点（不与A，B重合），连结CP. （1）当∠B=72°时，回答下列问题： ①若∠CPB=54°，则△ACP ▲ “倍角三角形”（填“是”或“不是”）. ②若△BCP是“倍角三角形”，求∠ACP的度数. （2）当△ABC，△BCP，△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数. 题型六：平方根 21．若一个正数a的两个平方根分别是和． （1）求a和b的值； （2）求的平方根． 22．已知一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根为，是的整数部分． （1）求、、的值； （2）求的立方根． 23．已知x的两个平方根是与，且的算术平方根是3． （1）求的值； （2）求的立方根． 24．已知：的平方根是和，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 题型七：立方根 25．已知的算术平方根是2，的立方根是，c是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 26．观察下表，并解答下列问题. a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 0.1 1 10 100 （1）【规律总结】 根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动　 　位. （2）【规律应用】 已知，，. ①. ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 27．已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 28．探索与应用：先观察表格，再回答问题． … … … … （1）表格中_____________；_____________； （2）从表格中我们可以发现a与变化的规律：a扩大100倍，则扩大_________________； （3）利用规律解决问题： ①已知，则_____________； ②已知，若，则_____________； （4）拓展：已知，若，则_____________． 题型八：勾股定理的探究 29．长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． ①求证：②求的长 30．如图，在中，，，D，E是斜边BC上两点，且，若，，，求与的面积之和. 31．如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，． （1）求证：； （2）求四边形面积． 32．如图，小区有一块三角形空地，为响应张掖市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路、隔开，．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）求小路的长． 题型九：勾股定理的逆定理 33．如图， 在△ABC中， 点D是BC上一点， AB=10， BD=6，AD=8， AC=17， 求△ABC的面积. 34．如图，在平面直角坐标系中，点，，将点A先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点C． （1）请在图中画出点C的位置，并写出点C的坐标． （2）连接，，，请判断的形状，并说明理由．（可借助图中正方形网格纸） 35．如图，在中，D为边上的一点，，，，． （1）请说明； （2）求的面积． 36．（1）如图①，是等边内一点，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结线段，，试判断的形状． （2）点是以为斜边的等腰直角三角形内一点，且，，． ①求的度数； ②求的面积． 题型十：勾股定理的应用 37．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． （1）台风中心经过多长时间从点移到点？ （2）如果在距台风中心的的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 38．第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度． 39．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 40．今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何?(选自《九章算术》) 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈①的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺(如图).如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? （① “尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈=10尺.） 答案解析部分 1．【答案】（1） （2） 2．【答案】 3．【答案】（1）解：∵∠C=3∠B，∠C=75°， ∴∠B=25°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC=40°， ∴∠ADE=∠BAD+∠B=65°， ∵AE⊥BC， ∴∠AED=90°， ∴∠DAE=90°-∠ADE=90°-65°=25°； （2）证明：设∠B=α，则∠C=3α，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-4α， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC=， ∵DF⊥AD， ∴∠ADF=90°， ∴∠AFD=90°-∠BAD=2α， ∵∠AFD=∠B+∠BDF， ∴∠BDF=α=∠B， ∴BF=DF． 4．【答案】解：∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．【答案】解： 由题意得∠CDP =∠PBA =90°， ∴∠DCP+∠DPC =∠DPC+∠BPA=90°， ∴∠DCP=∠BPA. 在△CPD和△PAB中， ∴△CPD≌△PAB(ASA)， ∴DP=AB. ∵DB=24m， PB=10m， ∴AB=DP=DB-PB=24-10=14(m)， 答： 楼高AB是14m. 6．【答案】（1）证明：∵△ACD≌△BED，∠ADC+∠BDE＝180°， ∴∠ADC＝∠BDE，∠CAD＝∠DBE， ∴∠ADC＝∠BDE＝90°， ∵∠AEF+∠AFE+∠EAF＝∠BED+∠BDE+∠DBE＝180°，∠AEF＝∠BED， ∴∠AFE＝∠BDE＝90°； （2）解：∵S△BCF＝20，S四边形CFBD＝8， ∴S△BDE＝S△BCF﹣S四边形CFED＝20﹣8＝12， ∵△ACD≌△BED， ∴S△ACD＝S△BED＝12， ∴S△AEF＝S△ACD﹣S四边形CFED＝12﹣8＝4． 7．【答案】证明：在与中， ， ∴， ∴， ∴． 8．【答案】（1）解：△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ. 理由如下： ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A=∠B=90°. ∵t=1，∴AP=BQ=2 cm. ∴BP=AB-AP=7-2=5(cm)， ∵AC=5cm， ∴BP=AC. 在△ACP和△BPQ中， ∴△ACP≌△BPQ(SAS)， ∴∠C=∠BPQ. ∵∠C+∠APC=180°-∠A=90°， ∴∠APC+∠BPQ=90°， ∴∠CPQ=180°-(∠APC+∠BPQ)=180°-90°=90°. ∴PC⊥PQ. （2）解：由题意得，AP=2t (cm)，BP=7-2t(cm)，BQ=xt(cm)，， 分两种情况： 当△ACP≌△BPQ时，AC=BP，AP=BQ， 得5=7-2t，2t=xt， ∴解得x=2，t=1； 当△ACP≌△BQP时，AC=BQ，AP=BP，得2t=7-2t，5=xt， ∴解得x=，t=. 综上所述，当x=2，t=1或x=，t=时，△ACP与△BPQ全等. 9．【答案】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， ； （3）证明：如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ．， 平分． 10．【答案】（1）证明：是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 在与中， ， ； （2）解：， ，， 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ． 11．【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°， ∴∠CBF=∠ABE=90° 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）； （2）∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠CAB=∠ACB=45°， 又∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-20°=25°， 由（1）知：△ABE≌△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=25°， ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+25°=70°． 答：∠ACF的度数为70°. 12．【答案】证明：∵AB//CD， ∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等） ∵BE=CF， ∴BE- EF =CF- EF 即 BF=CE， 在△ABF 和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE（SAS） ∴∠AFB=∠DEC（全等三角形的对应角相等） ∴∠AFE=∠DEF （角的补角相等） ∴AFIIDE. （内错角相等，两直线平行） 13．【答案】（1）解：如图，射线AP为所求作的图形； （2）∵CP是 的平分线，如图： 在 和 中， ， . 14．【答案】（1）解：如图①中，点P即为所求； （2）解：如图②中，线段BD即为所求. 15．【答案】（1）解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD， ∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°-70°＝110°， ∴∠DBC+∠DCB＝×110°＝55°， ∴∠BDC＝180°-55°＝125°； （2）解：过点D作DF⊥BC于点F， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∵DE＝4， ∴DF＝4， ∵BC＝9， ∴S△BCD＝×BC×DF＝×9×4＝18． 16．【答案】（1）解：如图，连接， 点与点关于对称， ． 同理：． 的周长； （2）证明：∵、为，的中点， ，， ， ． 又点与点关于对称，点与点关于对称， ，， 平分． 17．【答案】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵的平分线交于点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 答：AH的长为. 18．【答案】（1）证明：如图1中， （2）解：结论：CN=BE正确. 理由：如图2中， ∵CN平分 在 和 中， （3）解：结论： 理由：∵ D是BC的中点， 在 和 中， 19．【答案】（1）解：由作法得BD=BC，AD=AE， ； （2）解：设BC=x，则BD=x， ∵点E是线段AC的中点， 在 中， 解得x=3， 即BC的长为3； （3）解：设BC=t，则.BD=t，AC=2t，在 中， 20．【答案】（1）①是； 解：②∵∠B =72°， △BPC是“倍角三角形”， ∴△BCP内角的度数分别是72°， 72°， 36°， ∴∠BCP =36°或72°， ∴∠ACP =54°或18°. ​​​​​​ （2）解：如图2-1中，当△ABC是等腰直角三角形， CP⊥AB时， 满足条件， 此时∠BCP =45°. 如图2-2中，当 时，满足条件，此时 如图2-3中，当 时，满足条件，此时 如图2-4中，当 时，满足条件，此时 如图2-5中，当 时，满足条件，此时 综上所述，满足条件的 的值为 或 或 或 或 ​​​​​​ 21．【答案】（1）解：∵一个正数a的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， 又25的平方根是， ∴的平方根为． 22．【答案】（1），，； （2）． 23．【答案】（1）解：的两个平方根是与，且的算术平方根是3， ，， 解得：，； ∴。 （2）解：，， ， 的立方根是2． 24．【答案】（1）解：∵的平方根是和， ∴， ∴， ∵，是的整数部分， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴的平方根为 25．【答案】（1）解：∵，即， ∴的整数部分4，即， ∵的算术平方根是2，的立方根是， ∴，， 解得：，，； （2）解：由（1）可知：，，，∴ =6， ∴的平方根为． 26．【答案】（1）一 （2）①； ②解：正方体的体积为，正方体的棱长为.需要铁皮的面积. 27．【答案】6 28．【答案】（1），； （2）10倍； （3）①，②32400； （4） 29．【答案】证明：①∵四边形ABCD为矩形 ∴∠A=∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC=3 由翻折可得：∠A=∠E=∠D=90° ∵OD=OE，∠DOP=∠EOG ∴△PDO≌△GEO ∴DP=EG ②∵△PDO≌△GEO ∴OG=OP ∵OD=OE ∴DG=PE=PA 设AP=x，则PD=EG=3-x，DG=AP=x ∴BG=BE-EG=1+x，CG=DC-DG=4-x 在Rt△BCG中，BC2+CG2=BG2 即32+(4-x)2=(1+x)2 解得：x=2.4 ∴AP=2.4 30．【答案】解：在Rt△ABC中， AB=AC， ∠ABC =∠ACB=45°， ∠DAE=45°， 如图， 将△AEC顺时针方向旋转90°至△AFB， 过点A作AH⊥BC于H， ∴△AEC≌△ABF， ∴∠ABF =∠ACD=45°， ∠BAF=∠CAE， AE= AF， ∴∠FBE =45°+45°= 90°， BF =CE， ∵∠DAE = 45°， ∴∠BAD+∠CAE=45°， ∴∠BAD+∠BAF=45°， ∴∠DAE=∠DAF， 在△DAE和△DAF中， ∴△DAE≌△DAF(SAS)， ∴DE=DF， ∵BD=3， CE=4， ∴DE=5， ∴BC =BD+DE+CE=12， ∵AB=AC， ∠BAC = 90°， AH⊥BC， ∴△ABD与△AEC的面积之和 31．【答案】（1）证明：∵在中，，， ∴． ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，． （2）解：∵是直角三角形，且， ∴； ∵在中，， ∴． ∴． 32．【答案】（1）解：米，米，米， ，， ， ， ， （米）； （2）解：， （米）． 33．【答案】解：∵AB=10，BD=6，AD=8， ∴， ∴AD⊥BC； 在 Rt△ADC 中，； ∴△ABC 面积 = 34．【答案】（1）解：根据题意：，则， 如图所示，点C即为所求， （2）解：如图，连接，，，是等腰直角三角形，理由如下： ∵AB2=22+32=13，BC2=22+32=13，AC2=12+52=26， ∴AB2+BC2=AC2 ∴AB=BC，∠ABC =90°， ∴△ABC是等腰直角三角形. 35．【答案】（1）证明：∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 36．【答案】解：（1）△AOO'是直角三角形，理由如下： 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ∴∠ABO'=∠CBO=60°-∠ABO， ∴△ABO'≌△CBO（SAS） ， 在中，，，， 而， ， 为直角三角形，； （2）①将绕点顺时针旋转得到，如图②， ，，，， 为等腰直角三角形， ，， 在中，，，， 而， ， 为直角三角形，； ， ； ②为等腰直角三角形， ， 而； ， 点、、共线， 为直角三角形， 的面积 ． 37．【答案】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ∴， 答：台风中心经过从点移到点； （2）解：如图，在射线上取点，使得， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：市受到台风影响的时间持续． 38．【答案】（1）解：与的位置关系为，理由： 根据题意可知，，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． （2）解：作，交延长线于点，则四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴线段的长度为． 39．【答案】（1）解：根据题意得，，， ， ， 答：绳子的总长度为； （2）解：如下图所示， ： 根据题意得，，，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 40．【答案】解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度 OB为尺.由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺.在Rt△OAC中，由勾股定理，可得 即 解得x=12. . 因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺. 学科网（北京）股份有限公司 $