第1-2章题型（解答题）专项训练- 2025-2026学年数学九年级上册苏科版

第1-2章题型（解答题）专项训练- 2024-2026学年数学九年级上册苏科版 题型导航 题型一：一元二次方程 题型二：解一元二次方程 题型三：一元二次方程根与系数的关系 题型四：一元二次方程与实际问题 题型五：垂径定理 题型六：圆周角问题 题型七：直线与圆的位置关系 题型八：正多边形与圆 题型九：弧长与扇形面积 题型十：圆锥的侧面积 跟踪训练 题型一：一元二次方程 1．（2024九上·防城月考）已知关于的方程（为常数）是一元二次方程，则应该满足什么条件？ 2．（2024九上·濠江月考）先化简，再求值：，其中是方程的根． 3．（2024九上·修水月考）已知关于的方程． （1）当为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 4．（2024九上·新余月考）已知关于的方程． （1）当为何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当为何值时，该方程是一元一次方程？ 题型二：解一元二次方程 5．（2024九上·江油月考）解方程 （1）； （2）． 6．（2024九上·襄阳开学考）解方程： （1）． （2）； （3）； （4）． 7．（2024九上·台州期末）解方程： （1）； （2）． 8．（2024九上·阳新期末）解下列方程： （1）； （2）． 题型三：一元二次方程根与系数的关系 9．（2024九上·龙岗月考）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 10． 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 11．（2024九上·江油月考）若关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若a，b是关于x的一元二次方程的两个根，且，求m的值． 12．（2024九上·钦州期中）已知关于的一元二次方程有两根，． （1）求的取值范围； （2）若．求的值． 题型四：一元二次方程与实际问题 13．（2024九上·温州开学考）桃子旺季时，某店铺老板平均每天可售出桃子20箱，每箱盈利40元，当桃子时令快接近尾期，老板为了尽量减少库存，决定适当的降价，扩大销售量，增加盈利. 经市场调查发现：如果每箱桃子降价1元，那么平均每天就可多售出2箱. （1）要使平均每天销售桃子盈利1200元，那么每箱桃子应降价多少元？ （2）平均每天销售桃子盈利能达到1500元吗？若能，每箱应该降价多少元？若不能，请说明理由. 14．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料造了宽为1米的两个小门． （1）设花圃的宽为x米，请你用含x的代数式表示的长___________米； （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的宽． 15．（2024八下·义乌月考）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 16．（2024八下·浙江月考）所示，某小区规划在一个长为40m、宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144m2，求甬路的宽度． 题型五：垂径定理 17．（2024九上·麻章期末）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米． （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点）1米处将竖立支撑杆，求支撑杆的高度． 18．（2024九上·长兴月考）唐代桨轮船是原始形态的轮船.如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为6m，轮子的吃水深度CD为1.5M，求该桨轮船的轮子直径. 19．（2024九上·上城期中）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 20．（2024九上·中山期中）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①） 阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径． 再次阅读后，发现AB＝1寸，CD＝10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请帮助小智求出⊙O的直径． 题型六：圆周角问题 21．如图，四边形ABCD内接于⊙O， BD为直径，AC平分∠BCD， （1）若BC=5cm，CD=12cm，求AB的长； （2）求证：BC+CD=AC． 22．（2024九上·杭州期末）如图，是的直径，是弦，半径，连结． 求证：． 23．（2024九下·萧山月考）如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结 ． （1）求证：； （2）若，求的长． 24．（2024九上·杭州期中）如图，是的直径， 弦于点，是上任意一点， 连结，，． （1）找出图中与相等的角（不添加其它线） ，并说明理由； （2）若点是的中点， 且， 求的度数． 题型七：直线与圆的位置关系 25．（2024九下·榆树开学考）如图，点在以为直径的上，平分，且于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 26．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且． （1）求证：DF是的切线； （2）求线段OF的长度． 27．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，∠BCP＝∠A． （1）求证：直线PC是⊙O的切线； （2）若CA＝CP，⊙O的半径为2，求CP的长． 28．（2024九上·玉环期末）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接．若，，求的长． 题型八：正多边形与圆 29．（2024九上·大丰期中）正六边形的边长为4，求对角线的长和正六边形的面积． 30．（2023九上·无为月考）如图，正八边形内接于，M是弧DE上的一点，连接AM，BM，求的度数． 31．（2023九上·龙泉期中）请按要求作图，并保留作图痕迹. （1）如图1，AB是圆的一条弦，用直尺（无刻度）和圆规在图中作圆的一条直径； （2）如图2，正五边形ABCDE内接于圆，仅用直尺（无刻度）作出一条直径. 32．（2021九上·永城月考）如图，六边形ABCDEF是的内接正六边形. （1）求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分. （2）设的面积为，六边形ABCDEF的面积为，求的值. 题型九：弧长与扇形面积 33．（2024九上·温州月考）如图，的外接圆，半径为6，连接OB，OC，OA， （1）过点O作OD⊥BC，交BC与点D，若OD=3，求BC的长； （2）若，求阴影部分的面积. 34．（2024九上·慈溪期末）如图，在 中， 。以 为直径的 交 于点 ，交 的延长线于点 ，连结 。 （1）求 的度数。 （2）若 ，求图中阴影部分的面积。 35．（2024九下·杭州月考）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连接． （1）求的度数． （2）若，求图中阴影部分的面积． 36．（2024九上·奉化期中）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1． （1）求∠C的大小； （2）求阴影部分的面积． 题型十：圆锥的侧面积 37．（2024九上·靖宇期末）如图，有一直径是的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC． （1）求AB的长； （2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径． 38．（2024九上·盐城期中）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 39．（2024九上·青县期末）如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． （1）若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． （2）若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 40．（2021九上·越城月考）如图所示，D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连结AB，AC，AD，E为AD上一点，连结BE，CE. （1）求证：BE = CE. （2）以点E为圆心作与BC相切，分别交BE，CE于点F，G.若BC = 4，∠EBD = 30°，求扇形FEG的面积 （3）若用扇形FEG围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径. 答案解析部分 1．【答案】 2．【答案】， 3．【答案】（1）解：由一元一次方程得定义， 得 解得， 所以当时，此方程是一元一次方程； （2）解：由一元二次方程定义，得， 解得， ∴当k≠±2时，此方程是一元二次方程， 此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是． 4．【答案】（1）解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 答：当时，该方程是一元二次方程； （2）解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：， 答：当时，该方程是一元一次方程． 5．【答案】（1）， （2）， 6．【答案】（1） （2）， （3） （4） 7．【答案】（1）解： 解得， （2）解： 解得，． 8．【答案】（1），； （2）， 9．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根， ∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0， 解得k≤， 即k的取值范围是k≤； （2）解：∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝k﹣2， ∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1， ∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1， ∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1， 解得k＝3， 即k的值是3． 10．【答案】（1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式， 解得． （2）解：由题意得：， 解得或， 由（1）已得：， 则的值为2． 11．【答案】（1） （2） 12．【答案】（1）解：由题意知：，解得：， ∴的取值范围是； （2）解：由根与系数关系可知：，， ∵， ∴， 即， 解得：， (舍去)， ∴的值为1． 13．【答案】（1）解：设每箱桃子应降价x元，则每箱桃子的销售利润为(40-x)元，平均每天可售出((20+2x)箱， 根据题意得：(40-x)(20+2x)=1200， 解得： 又∵要尽量减少库存， 答：每箱桃子应降价20元； （2）解：平均每天销售桃子盈利不能达到1500元，理由如下： 假设平均每天销售桃子盈利能达到1500元，设每箱桃子降价y元时，则每箱的销售利润为((40-y)元，平均每天可售出((20+2y)箱， 根据题意得：(40-y)(20+2y)=1500， 整理得： ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即平均每天销售桃子盈利不能达到1500元. 14．【答案】（1） （2）解：由题意可得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，故舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的宽为9米． 15．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为a， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． ​​​​ （2）解：①由题意得：=-10x+1000； ②依题意，得： ， 整理，得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 16．【答案】解：设甬路的宽为xm， 根据题意得： 整理得 解得 当x=44时不符合题意，故舍去， 所以x=2. 答：甬路的宽为2米． 17．【答案】（1）解：垂直平分， 圆心在的延长线上． 设的半径为米，则米． ， （米）． 在中， 由勾股定理得：， 即， 解得． 即该圆弧所在圆的半径为5米. （2）解：过点作于点，连接，如图所示： ， ． ∵， ∴四边形为矩形， ， 在中，． ， ． ． 即支撑杆的高度为1米． 18．【答案】解：依题意，得如图，连接OB，设轮子的直径为 dm，则其半径为 在 中， 解得d=7.5m， 答：该桨轮船的轮子直径为7.5m. 19．【答案】（1）证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． （2）如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， 所以的半径为． 20．【答案】【解答】解：连接OC， ∵OB⊥CD垂足为A， ∴CA＝CD＝5， 设CO＝x，则AO＝x﹣1， 在Rt△AOC中，∠CAO＝90°， ∴OA2+CA2＝OC2， ∴（x﹣1）2+52＝x2， 解得x＝13， ∴⊙O的直径为26寸． 21．【答案】（1）解：∵BD为直径， ∴∠BAD=∠BCD=90°， ∵CD=12cm，BC=5cm， ∴BD=13（cm）， ∵AC平分∠BCD， ∴∠ABD=∠ADB=45°， ∴AB=AD， ∴AB=AD=BD=，故AB的长为． （2）证明：将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC'， 由旋转性质可得：△ACD△ABC'，∠CAC'=90°，CA=C'A， ∴AC'=AC，CD=BC'，∠ADC=ABC'， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABC+∠AD'B=180°， 又∵∠CAC'=90°，CA=C'A， ∴△C'AC是等腰直角三角形， ∴CC'=， ∴BC+C'B=， ∴BC+CD=． 22．【答案】证明：延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵的度数，的度数， ∴． 23．【答案】（1）证明：∵是的中点， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ （2）解：∵的直径垂直弦，且， ∴， 设， ∴，， 在中，，即， 解得（负值已舍），即， 在中， 24．【答案】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．【答案】（1）证明：如图所示，连接． ， ， 平分， ， ∴， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图所示，过点作于点，得矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 解得． 的半径为． 26．【答案】（1）证明：连接OD ∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴OD//AB ∵ ∴ ∴ ∴DF是的切线； （2）解：∵OD//AB， ∴OD为的中位线 ∴ ∵， ∴ ∴ 由勾股定理，得： ∴在中，． 27．【答案】（1）证明：∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO， ∵∠PCB=∠A， ∴∠ACO=∠PCB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACO+∠OCB=90°， ∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP， ∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线； （2）解：∵CP=CA， ∴∠P=∠A， ∴∠COB=2∠A=2∠P， ∵∠OCP=90°， ∴∠P=30°， ∵OC=OA=2， ∴OP=2OC=4， ∴PC= =2 ． 28．【答案】（1）证明：如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．【答案】；正六边形的面积为 30．【答案】解：如图，连接OA，OB． ∵正八边形是的内接正八边形， ∴， ∴． 31．【答案】（1）解：如下图，线段EF即直径； （2）解：如下图，线段DN即所求直径. 32．【答案】（1）解：连接AE，AD，AC， ∵六边形ABCDEF是的内接正六边形， ∴EF=ED=CD=BC， ∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB， 即过顶点A的三条对角线四等分； （2）解：过点O作OG⊥DE于G，连接OE， 设圆O的半径为r， ∴EF=BC=ED=r，AD=2r， 在正六边形ABCDEF中， ∠OED=∠ODE=60°， ∴∠EOG=30°， ∴EG=r， ∴OG==r， ∴正六边形ABCDEF的面积==， 圆O的面积=， ∴==. 33．【答案】（1）解：由题可知：OD=3，OB=6 因为OD⊥BC 所以OB2=OD2+BD2 即BD= 所以BC=2BD= （2）解：因为∠A=60° 所以∠BOC=120° 所以阴影部分的面积S==12π 34．【答案】（1）解： 为直径， （2）解：作 ，垂足为 ．则 ． ．而 ， 是等边三角形． ． 阴影部分的面积 35．【答案】（1）解：，， ． ， ， ． ​​​​​​​ （2）过点作的垂线，垂足为， ，， 是等边三角形， ，． 又， ， ， ． 又， ． 36．【答案】解：（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB， ∴， ∴∠C=∠AOD， ∵∠AOD=∠COE， ∴∠C=∠COE， ∵AO⊥BC， ∴∠C=30°． （2）连接OB， 由（1）知，∠C=30°， ∴∠AOD=60°， ∴∠AOB=120°， 在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°， ∴AF=，OF=， ∴AB=， ∴S阴影=S扇形OADB﹣S△OAB=﹣××π﹣． 37．【答案】（1）解：连接BC，如图 ∵， ∴BC为⊙O的直径，其， ∴； （2）解：设所得圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得， 解得：． 38．【答案】（1）15； （2）所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 39．【答案】（1）； （2）． 40．【答案】（1）证明：由题意可知：，为等边三角形， 点是BC的中点， 是等边的中线，且， ， ， . （2）解：如图所示： 与BC相切，且， 点是切点，并且是该扇形的半径， ，且， ， ， 在中，， ， 是BC的中点， 在中，由勾股定理可知：，解得， 扇形FEG的面积为. （3）解：设圆锥底面圆半径为， 扇形FEG的弧长为： ， 扇形FEG的弧长等于其围成的圆锥的底面圆的周长， ，解得 ， 故圆锥的底面圆的半径为. 学科网（北京）股份有限公司 $