圆锥曲线小题训练-2026届高三数学一轮复习

圆锥曲线小题训练 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2. “”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3. 已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，若点P在第一象限，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 4. M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D． 5.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（     ）    A．3 B．4 C．6 D．8 6. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点为中点，若，且，则直线的斜率＝（    ） A． B．或 C． D．或 7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一动点，为坐标原点，则的取值范围是（     ） A．［0，6］ B． C． D． 8.已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（     ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（    ） A．准线方程为 B．焦点坐标 C．点的坐标为 D．的长为3 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是（    ） A．若，则的离心率为 B．若，则的离心率为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 11.我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系中，双曲线（，且为常数）的左､右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两浙近线于点，则（    ） A．的离心率 B．线段长度的最小值是 C．一定是线段的中点 D．面积的最小值是 第Ⅱ卷非选择题 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则 . 13.已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 14.如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为,则菱形的面积与矩形的面积的比值 ． 18．已知双曲线的离心率为2，过点的直线与相交于两点，且当的斜率为0时，． (1)求的方程； (2)是否存在，使得两点关于直线对称？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由； (3)与直线交于点，设，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 19. 已知点是双曲线的图象上第一象限的任意一点，、分别为的左右焦点.直线，直线交轴于点. (1)已知轴，求直线方程； (2)求证：直线为的角平分线； (3)若直线交于另一点，且，求直线和直线斜率之积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆锥曲线小题训练小题训练（2025.10.24） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意得， 因为直线与连接两点的线段总有公共点， 所以由图可知，即， 即斜率的取值范围为，故选：B. 2. “”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】点在圆内， 所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，若点P在第一象限，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将抛物线化为标准方程为，则抛物线的焦点坐标为，准线方程为. 设抛物线上一点，，由抛物线的定义可知，解得，所以点P的坐标为.故选：C. 4. M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】由抛物线的方程可得焦点，准线方程为， 过M作准线的垂线，垂足为，过F作的垂线，垂足为N，设， 因为，则可得， 由抛物线的定义可得，而， 所以， 整理可得：，解得， 所以M的横坐标为， 由抛物线的性质可得.故选：A 5.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 6. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点为中点，若，且，则直线的斜率＝（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】设，因为，所以， 根据双曲线的定义，可得，即， 解得，所以，， 又， 因为为中点，且，所以， 那么， 所以，则， 则， ， 设直线的倾斜角为，则， 则， 所以直线的斜率.故选：. 7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一动点，为坐标原点，则的取值范围是（     ） A．［0，6］ B． C． D． 【答案】B 【分析】设是双曲线右支上的一点，则有 ， ，所以，再根据，即可求得范围. 【详解】解：如图所示，,    不妨设是双曲线右支上的一点， 由焦半径公式可得 ， 所以，同理可得， 所以， 又因为，， 所以原式， 又因为，所以， 所以，， 所以 故选：B. 8.已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（    ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 【答案】D 【分析】先求出两圆的公共弦方程，由题意，公共弦过圆C的圆心，代入圆心，可得，写出所求的表达式，利用倒序相加求和法，即可得答案. 【详解】由题意，联立，两式相减可得公共弦所在直线方程为： ，即， 因为圆平分圆的周长， 所以公共弦过圆C的圆心， 圆C的标准方程为，则圆心为， 所以，即， 又的所有项的和为， 则， 两式相加得， 因为， 所以，则. 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（    ） A．准线方程为 B．焦点坐标 C．点的坐标为 D．的长为3 【答案】BC 【分析】由抛物线方程判断AB，先求出A点坐标再求P点坐标，从而求出的长，进而可判断CD. 【详解】由抛物线方程为， 焦点坐标，准线方程为，A错B对； 直线的斜率为， 直线的方程为， 当时，， ， ，为垂足， 点的纵坐标为，可得点的坐标为，C对； 根据抛物线的定义可知，D错. 故选:BC. 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是（    ） A．若，则的离心率为 B．若，则的离心率为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用椭圆的标准方程，以及几何性质，结合余弦定理，列出关于的方程，进而求得椭圆的离心率. 【详解】由椭圆，可得，且，则， 对于A中，若，可得， 又由椭圆的定义，可得，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，可得， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以A正确； 对于B中，若，因为，可得， 在和中，由余弦定理得， ， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以B正确； 对于C中，若，可得 由椭圆的定义， 且， 所以，可得，所以， 在和中，由余弦定理得， ， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以C不正确； 对于D中，若，设，则， 由勾股定理，可得，即， 解得，即，， 由，且三点共线，可得， 代入椭圆的方程，可得，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以D正确. 故选：ABD. 11.我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系中，双曲线（，且为常数）的左､右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两浙近线于点，则（    ） A．的离心率 B．线段长度的最小值是 C．一定是线段的中点 D．面积的最小值是 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求得，进而求出离心率判断A；再设出切点坐标并写出切线方程，联立切线与双曲线方程，借助判别式求出切线方程，然后逐一判断BCD. 【详解】设双曲线的半焦距为，当时，，解得， 由双曲线的通径为，得，解得，双曲线， 对于A，，因此的离心率，A正确； 设点，直线不垂直于轴，设直线方程为， 由消去得， ， 化简可得, 又，故， 切线的方程为，即，渐近线方程为， 对于C，由，得，设， 则，一定是线段的中点，C正确； 对于B，，则 ，当且仅当时取等号，B错误； 对于D，直线交轴于点，的面积， 因此面积的最小值是，D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷非选择题 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则 . 【答案】35 【分析】根据椭圆的对称性，结合椭圆定义即可求解. 【详解】设椭圆的右焦点为，连接， 根据椭圆的对称性，可知，，， 又根据椭圆的定义，得，，，， 所以， 又由椭圆，可知， 所以. 故答案为：. 13.已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 【答案】3 【分析】由题意首先得，进一步由点差法得，由同理思想即可得解. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，不妨设， 因为点A，B在上，所以，两式相减，得， 因为点是的中点，所以，， 所以，即， 所以，同理，． 因为，所以．     故答案为：3. 14.如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为,则菱形的面积与矩形的面积的比值 ． 【答案】 【分析】根据题意得到，求得，设，可得，进而求得和，即可求得的值. 【详解】因为以为直径的圆内切于菱形，可得点到直线的距离为， 又因为虚轴的两端点为，所以， 在中，由三角形的面积公式值，即， 因为，可得，即， 又因为，解得， 设，可得，所以， 在中，可得， 所以， 菱形的面积， 所以. 故答案为：. 18．已知双曲线的离心率为2，过点的直线与相交于两点，且当的斜率为0时，． (1)求的方程； (2)是否存在，使得两点关于直线对称？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由； (3)与直线交于点，设，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)为定值0 【分析】（1）由双曲线的离心率为2，得到，再由直线的方程为，代入双曲线的方程，求得，结合，进而得到竖曲线的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，由，且，求得的范围，以及和，假设存在，使得两点关于直线对称，得到，进而得到线段的中点坐标为，结合中点不在直线上，得出结论； （3）解：设，求得和，根据题意，求得和，化简得到，即可得到答案. 【详解】（1）解：设双曲线的焦距为， 因为的离心率为2，所以，即，所以， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，代入，得， 所以，解得，所以的方程为． （2）解：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 设， 可得，且， 解得，且， 又由，，① 假设存在，使得两点关于直线对称，则与直线垂直，所以， 所以，且，则， 因此线段的中点坐标为， 又因为，即点不在直线上， 所以不存在，使得两点关于直线对称． （3）解：设， 由在直线上，可得，即；② 又由在直线上，可得，③ 因为，可得， 即，解得， 同理：由，可得， 结合①②③，得 ， 所以为定值0． 19. 已知点是双曲线的图象上第一象限的任意一点，、分别为的左右焦点.直线，直线交轴于点. (1)已知轴，求直线方程； (2)求证：直线为的角平分线； (3)若直线交于另一点，且，求直线和直线斜率之积. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题知， 因为轴，在第一象限，所以，将代入双曲线方程可得， 所以直线方程为，整理可得， （2）因为， ， ， 又直线，所以，则，， 所以，，所以， 在中，①， 在中，②， 又，联立①②可得， 因为， 所以，所以直线为的角平分线. （3） 设点，则，设直线方程为， 联立直线与双曲线方程可得，消去可得， 由韦达定理可得， 则，则， 所以， 由已知， 即，解得（舍）或， 代入双曲线，则， 由可得， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $