高二数学上学期期中模拟卷02（人教B版选择性必修第一册全部：空间向量与立体几何+平面解析几何）

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 2 3 6 P B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AD ABC BCD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-713.[2,3 14.6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 【解析】1)B=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2 ∴.coS∠BAC= AB·AC 7-1 AB AC 14x142, 又：∠B4Ce0,∠BAC=,S=ACsn晋-75.(6分) 「-2x-y+3z=0 x-3y+2z=0 2》设a=怀由a1B°a1C问=5得，-0分) 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =y=z=1x=y=z=-1 解得 或 a=ll或a=(-,-l-l.(13分) 16.(15分) x-y+1=0 C(m,m+1) 【解析】(1)由圆心在直线 上，设圆心 由1q-BC,得m-广+m+2=Vm-4+(m-),解得m=1, 因此圆心C0,2),半径=V1-4)2+2-2)2=3 所以圆C的标准方程为-)+(-2=9 (4分) 当切线斜率不存在时，圆心C到直线x=-2的距离为半径3，则直线x=-2是符合题意的切线：(5分) y-1=k(x+2)kx-y+1+2k=0 当切线斜率存在时，设切线方程为 ,即 1k-2+1+2k=3 4 Vk2+1 k=- ,解得3，直线方程为4x+3y+5=0,(8分) 所以切线方程为=-2或4x+3y+5=0 或 (9分) (2)由（1知，圆C的圆心C02》,半径=3， C1,2) 由∠MCN=120,得圆心C到直线5x+y+a-V5=0的距离d=rcos60°- 2,(11分) 则d5t5 V(3)2+12 9,e2-期+3非3解将成。 a=-5 所以实数a的值为a=1或a=-5.(15分) 17.(15分) 【解析】(1)取AD的中点O,连接PO,OC,由△PAD为等边三角形，得PO⊥AD, 而平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,POC平面PAD, 则PO⊥平面ABCD,由AO=BC=1,AO/BC,得四边形ABCO是平行四边形， 于是OCIlAB,而AB⊥AD,则OC⊥AD,直线OC,OD,OP两两垂直， 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以O为坐标原点，直线OC,OD,OP分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则O0,0,0),A0,-1,0),D(0,10,B1,-10),P0,05 则B=(1,00,PD=(0,1-5, 有B-PD=0x0+1x0+-x0=0,故AB⊥PD.4分1 2由4a-10,aa月.则Q-5号).又Ga: 则=号9F-n西-0 [.CP--x+V3z=0 设平面pCD的法向量为方=x,必z,则元-CD=-x+y=0· 取z=1,得i=5,V5, 所以M到平面pCD的距离d-= M321 V万7.(9分)》 D (3)令PE=PD=0,-5,0,1, AE=P+PE=0,15+0,元，-√3=0,1+元，V5-3,AC=(11,0), mAC=a+b=0 设平面。的法向量为m=a.c则m:花=1+刘b+5-5风c=0 EAC 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 取b=5(2-,得m=51-刘，5（元-，+，12分 易知平面D1C的-个法向量为O亚=(0,0，V3】 OP.m 则eos(oF,m}F 5(2+1)10 0mV3722-10入+75， PE1 化简得3以-10以+3-0又e0,小，解得2-有，即形行 √10 所以线段PD上存在点E,使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为5， PE 1 此时PD=3·(15分) D C 18.(17分) 【解析】(1)由题意得 :AF的中点M到y轴的距离为P, 3 42P 又，点A在抛物线上， 片=2m,=3p,又点A在第一象限，即=V5p,(2分) 04=+=2p=21 4 ,p>0,p=2 “抛物线C的方程：广=4红.4分) 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 (2)由(1)可知：x4=2D=3,4=5p=23,F(1,0 所以直线8的斜率为5，则直线4B的方程为'=V5(x-小， 联立抛物线可得3x-10r+3=0.∴x,。=1 1 B 4=3g3,那么3因 (7分) 所以△AOB的面积°2 5o-185 33.(9分) (3)如图： D 设D),E⅓).T6,0) 易知直线1斜率存在，设直线：x=y-3, x=my-3 联立y2=4x,，消x得：y2-4my+12=0 △=16m2-48>0 .m2>3, 由韦达定理得：+为=4m=12 (12分) 少y2 kk=x-西刘 VV my-(3+t)my2-(3+t 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y1'2 m2y2-m(3+t)(y+y2)+(3+t) 12 12 12m2-4m2(3+4)+3+2[12-43+1)]m2+3+),(15分) 为使得k为定值，则需满足2-4(3+]m+(3+1与m无关， 故2-43+=0，即1=0，T0,0) 综上，存在定点T0,0,使得6为定值17分 19.(17分) 【解析】(1)渐近线上兰了 亚x2= ±3x,夹角为6×2=3.2分) (2)设M(）,25或≤-5 则M2=x-a2+6=-2ax+a2+号-1=4-2a+a2-1 3 3 3 a<V3n0<a< 4v5 当4 即 3时，令=V5,最小值为MTl=口-V3 当5期5时.令5，果小刘L-层e,6分， 3 (③)设Pa,b为好点，考虑“、b需满足的充要条件。 若直线'的斜率存在，设直线：-b=x-@,M(x,4,N(, 将写r联立，利写）-246-a-b-a-1=0 .(*) 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2k(b-ka) -b-ka2-1 则 ,+x2= XX2= △>0 而n0=i+k-a小+Fk,-d=1+k2kx-ax+x+a 1+k2 a2-2-1 3- 交 D当直线与T的左有两文都有公共点，即体昌 3时， 时有最小值。 k=0 这说明4y=b,寸，(6)=口2-3b2-3引 (10分) ②当直线I与「的左支有两个公共点或与右支有两个公共点时， 需满足的条件为： 3且式武的判别武A=a2-3-2ab+6+10 --。--可 k2<1 这说明太2≥1时，判别式条件口-3列2-2abk++1>0不能成立. 即2≥1时，(a-3到k2-2abM+b+1s0 当2=1时，2±2b+≤2，解得回+6≤v5.（14分) 另-方面，当l4+bl≤V2时，lak-≤ak+bsk1a+l≤V2ks3k2-i 两边平方后即得a-3到k-2abM+2+1s0 若直线I斜率不存在，假设直线：x=a与双曲线存在交点， 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则2-写，则片=号1，八 0-小对---号上墨5： 因此， Pa,为好点当且仅当回+≤V5 于是所有好点对应的区域为1={(a,@+≤2， 即由0，士v2(士V2,0构成的正方形，故所求面积为S,=2=4.（17分) M 8/8 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第一册全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 3．若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 7．在棱长为2的正方体中，若点P是棱上一点(含顶点)，则满足的点P的个数为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 8．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若方程所表示的曲线为，则（   ） A．曲线可能是圆 B．当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 C．若，则为椭圆 D．若为椭圆，且焦点在轴上，则 10．已知圆与圆，则（    ） A．过点作圆的切线只有条，则 B．若圆与圆有且只有条公切线，则 C．当时，两圆的一条公切线方程为 D．当时，两圆的公共弦长为 11．在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（    ） A．当点为三角形的重心时， B．当时，的最小值为 C．当点在平面内时，的最大值为2 D．当时，点到的距离的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 13．已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的取值范围是 . 14．已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 已知空间内三点，，． (1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积； (2)若向量与向量，都垂直，且，求向量的坐标． 16．（15分） 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程及过点的切线方程； (2)直线与圆相交于两点，且，求实数的值． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．用空间向量法求解下列问题． (1)求证：． (2)求线段的中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．(17分) 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 19．(17分) 在平面直角坐标系中，双曲线． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； (3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第一册全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据抛物线的方程可知，，则， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：D 2．在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点与点A关于平面对称，可得，所以. 故选：A. 3．若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式做差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 4．已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】因为，所以， ， 令，则， 又，故点共面， 所以. 故选：B. 5．实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解法1：由题意令，（为参数）， 所以 ， 所以的最大值是， 解法2： 由有， 所以， 当且仅当时，等号成立， 令，所以，即， 所以，所以， 所以，即， 所以的最大值是， 解法3：设，则圆心为，半径为，由的圆心为，半径为， 设圆心距为，则，则有， 即，即， 所以的最大值为， 故选：C. 6．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为， 又，所以. 故选：A. 7．在棱长为2的正方体中，若点P是棱上一点(含顶点)，则满足的点P的个数为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【解析】如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴， 以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系. 则点，，考虑P在上底面的棱上，设点P的坐标为， 则由题意可得，. 所以， 故，即， 因为点P是棱上一点（含顶点），所以与正方形切于4个点， 即上底面每条棱的中点即为所求点； 同理P在右侧面的棱上，也有4个点，设点， ， 即与正方形切于个点， 即右侧面每条棱的中点即为所求点； 同理可得：正方体每条棱的中点都满足题意，故点的个数有个. 故选：C 8．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的值，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求出的值，即可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】在圆锥中，，，易知， 由圆锥的几何性质可知，平面，因为平面，则， 所以，，则， 圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、， 因为是母线上一点，，则，,， 设平面的法向量为，则， 取，可得，且， 所以，， 所以，， 故该圆锥曲线的离心率为， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若方程所表示的曲线为，则（   ） A．曲线可能是圆 B．当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 C．若，则为椭圆 D．若为椭圆，且焦点在轴上，则 【答案】AD 【解析】对于A，当，解得，此时方程为，表示圆，故A正确； 对于B，当时，方程为表示焦点在轴上的椭圆， 且，所以，解得，焦距为，故B错误； 对于C，由A知，表示圆，故C错误； 对于D，若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故D正确. 故选：AD. 10．已知圆与圆，则（    ） A．过点作圆的切线只有条，则 B．若圆与圆有且只有条公切线，则 C．当时，两圆的一条公切线方程为 D．当时，两圆的公共弦长为 【答案】ABC 【解析】圆的标准方程为，圆心，半径为， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，若点作圆的切线只有条，则在圆上， 则有，因为，解得，A对； 对于B选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交， 且， 由题意可得，即， 因为，解得，B对； 对于C选项，当时，圆的方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 故当时，两圆的一条公切线方程为，C对； 对于D选项，当时，由B选项可知，两圆相交， 将两圆方程作差可得，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为，D错. 故选：ABC. 11．在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（    ） A．当点为三角形的重心时， B．当时，的最小值为 C．当点在平面内时，的最大值为2 D．当时，点到的距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A，当点为三角形的重心时，， 所以，又因为， 所以，所以，故A错误； 对于B， ， 因为，所以， 则 ， 当且仅当时取等号， 所以， 所以，所以的最小值为，故B正确； 对于C，当点在平面内时， 则存在唯一实数对使得， 则，又因为， 所以，所以， 因为，所以，所以的最大值为2，故C正确； 对于D，当时，由A选项知， ， 在方向上的投影为， 所以点到的距离， 因为，所以，当且仅当时，取等号， 所以点到的距离的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 【答案】 【解析】∵，∴， 即，解得. 13．已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由于直线恒过定点，圆心， 设，则，故， 即，化简可得， 故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 由于在圆外，, 故，即，    14．已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则 ． 【答案】 【解析】 如图所示，分别过四点向准线作垂线，垂足分别为， 设的横坐标分别为， 由抛物线定义及梯形中位线可知则，， ， ， 易知，则， 即的最小值为， 设直线，，， 联立抛物线得，整理得， 所以，则， 由基本不等式可知，当且仅当等号成立， 故，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 已知空间内三点，，． (1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积； (2)若向量与向量，都垂直，且，求向量的坐标． 15．(13分) 【解析】（1），， ， 又，，．（6分） （2）设，由，，得，，（10分） 解得或， 或．（13分） 16．（15分） 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程及过点的切线方程； (2)直线与圆相交于两点，且，求实数的值． 16.（15分） 【解析】（1）由圆心在直线上，设圆心， 由，得，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的标准方程为，（4分） 当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径3，则直线是符合题意的切线；（5分） 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，直线方程为，（8分） 所以切线方程为或.（9分） （2）由（1）知，圆的圆心，半径， 由，得圆心到直线的距离，（11分） 则，即，则，解得或， 所以实数的值为或.（15分） 17．（15分） 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．用空间向量法求解下列问题． (1)求证：． (2)求线段的中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．（15分） 【解析】（1）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则,，，，， 则，， 有，故.(4分) （2）由，，则，又， 则，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离．（9分） （3）令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，（12分） 易知平面的一个法向量为， 则， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时．(15分) 18．(17分) 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 18．(17分) 【解析】（1）由题意得 的中点到轴的距离为，      又点在抛物线上， ，又点在第一象限，即，（2分） ，,. 抛物线的方程：.（4分） （2）由（1）可知：，，， 所以直线的斜率为，则直线的方程为 联立抛物线可得，． 又，，那么    （7分） 所以的面积.（9分） （3）如图： 设，，， 易知直线斜率存在，设直线， 联立，消得：     ， ， 由韦达定理得：，， （12分） ，（15分） 为使得为定值，则需满足与m无关， 故，即，， 综上，存在定点，使得为定值.(17分) 19．(17分) 在平面直角坐标系中，双曲线． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； (3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 19．(17分) 【解析】（1）渐近线，夹角为．(2分) （2）设，或， 则 ，（4分） 当即时，令，最小值为； 当即时，令，最小值为．（6分） （3）设为好点，考虑、需满足的充要条件． 若直线的斜率存在，设直线，， 将与联立，得．（*） 则，，， 而 ，（8分） ①当直线与的左右两支都有公共点，即时， ，当时有最小值． 这说明，；（10分） ②当直线与的左支有两个公共点或与右支有两个公共点时， 需满足的条件为：且（*）式的判别式． 此时可得：． 这说明时，判别式条件不能成立． 即时，． 当时，，解得．（14分） 另一方面，当时，． 两边平方后即得． 若直线斜率不存在，假设直线与双曲线存在交点， 则，则，， 则，显然与好点矛盾； 因此，为好点当且仅当， 于是所有好点对应的区域为， 即由构成的正方形，故所求面积为．（17分） ( 18 / 18 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第一册全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 3．若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 7．在棱长为2的正方体中，若点P是棱上一点(含顶点)，则满足的点P的个数为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 8．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若方程所表示的曲线为，则（   ） A．曲线可能是圆 B．当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 C．若，则为椭圆 D．若为椭圆，且焦点在轴上，则 10．已知圆与圆，则（    ） A．过点作圆的切线只有条，则 B．若圆与圆有且只有条公切线，则 C．当时，两圆的一条公切线方程为 D．当时，两圆的公共弦长为 11．在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（    ） A．当点为三角形的重心时， B．当时，的最小值为 C．当点在平面内时，的最大值为2 D．当时，点到的距离的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 13．已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的取值范围是 . 14．已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 已知空间内三点，，． (1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积； (2)若向量与向量，都垂直，且，求向量的坐标． 16．（15分） 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程及过点的切线方程； (2)直线与圆相交于两点，且，求实数的值． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．用空间向量法求解下列问题． (1)求证：． (2)求线段的中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．(17分) 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 19．(17分) 在平面直角坐标系中，双曲线． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； (3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． ( 6 / 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 情在各题目的容潜区域内作答，留出黑色矩形边缸限定区域的客案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边缸限定区域的答案无敏！ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 答题卡 15.(13分) 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答燃前，考生先将白已的姓名，准考证号填写消 贴条形码区 楚，并认其检查监考员所粘粘的条形码， 选择题必须用2B铅笔填涂：非远释题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 写 愿：字体工整、笔迹清断。 请按您号顺序在各题目的答概区域内作答，超出 区域书写的容業无效：在草稿纸、试超卷上容烂 无效。 此栏考生禁填 缺考口 4. 保持卡面清洁，不菱折登、不要弄破 标记 5.正确填涂■ 一，选择题（每小题5分，共40分） 1【AJIB]ICD 3 [A][B][C][D] 2【AJIB]ICID] 6A]B1[C]D] 3【A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 叔 坏 4【AJIB]CD] 8 [A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[AJ[B【CID] 11【AJIB]ICD] 三、填空题（每小题5分，共15分） 14 情在各题目的答题区城内作答，超山黑色矩形边配限定区域的苦案无效1 请在各颺目的答思区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 睛在各题日的答题区城内作容，留出黑色矩形边框限定区碱的容案无效！ 数学第1页（共6页） 学第贝其6贝 效学第3项6项) (道9并)近9患声瘴 〔道9并》道s黛志婚 (道9并)道崽素猫 :嘉王常安得剂习形油讲府蛋再可瑞评脚·受制付抑分刷层限目离号导刷 :名￥紫最阴每习惑密瑞宝司置伸程·起帮州钢习编保纯目魔号丑如 棉3￥漾显制新划感油讲存串可害用避·最制付御习扇买球目副号熟 d (形L1)6T (g2I)+81 (4 ST)'LI 1嘉产素安即狗到惠图出号量用朋·买非海溜安明目霸号录单 :将生涨悬明斜惑油谓出张回瑞甲爵·显业斜习目融号球集 :瑞主落显W利过惑湘讲班南勿置甲面“最时前习露暴用目需号#触