5.4 统计与概率的应用课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

5.4 统计与概率的应用 1 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 课堂评价 ◆ 备课素材 探究点一 统计在实际中的应用 探究点二 概率在实际中的应用 探究点三 情境应用 2 【学习目标】 1.通过实例进一步理解统计与概率的意义及应用； 2.能用统计与概率的知识解决实际生活中的问题. 3 知识点 概率的应用 概率是描述随机事件发生________大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活 中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是______内的一个数，它度量该事 件发生的可能性.小概率事件（概率接近___）很少发生，而大概率事件 （概率接近___）则经常发生. 可能性 0 1 课 前 预 习 4 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）当事件 发生的概率很小时,该事件为不可能事件. ( ) × [解析] 概率很小的事件也是随机事件,不可能事件发生的概率为0. （2）某医院治愈某种病的概率为 ,则10个人去治疗,一定有8个人能治愈.( ) × [解析] 治愈某种病的概率为,是对每个病人来说治愈的可能性为 ,而不是10 个人中有8个人能治愈. （3）平时的多次比赛中,小明获胜的次数比小华多,所以这次比赛应选小明参加. ( ) √ [解析] 概率能为我们的决策提供很好的参考,小明获胜的次数多,就应该选小明参加. 课 前 预 习 5 （4）甲袋中有12个黑球，4个白球，乙袋中有20个黑球，20个白球，从其中一 袋中随机摸出1个球，要想摸出1个黑球，选择乙袋成功的机会更大.( ) × [解析] 因为甲袋中有12个黑球，4个白球，共16个球，所以从中随机摸出1个球， 摸出的是1个黑球的概率 .因为乙袋中有20个黑球，20个白球，共40个 球，所以从中随机摸出1个球，摸出的是1个黑球的概率.因为 ， 所以选择甲袋成功的机会更大. 课 前 预 习 6 探究点一 统计在实际中的应用 例1 某地盛产芒果、榴莲等水果，因其质量较好，长期受到消费者的欢迎.当 地有关部门在实地调研后，立足当地独特优势，大力发展农村经济，为统计当 地居民去年的收入状况，随机抽取100户对去年的年收入进行了一个抽样调查， 得到如下表所示的频数表： 年收入（万元） 频数 15 10 35 20 10 10 （1）估计本村居民的年收入的众数、 分位数； 课 中 探 究 7 解：众数为 . 因为前三组的频率之和为 ， 前四组的频率之和为 ， 所以 分位数在第四组内. 设分位数为，则有，解得 . 估计本村居民的年收入的众数为11， 百分位数为13.5. 课 中 探 究 8 （2）用分层抽样的方法从这100户居民中抽取20户进行走访，若再从抽取的年 收入在和 的居民中随机抽取2户进行进一步调查，求至少有1户来自年 收入在 内的概率. 课 中 探 究 9 解：由频数表及分层抽样可知在年收入在内抽取的户数为 ，在 年收入在内抽取的户数为 . 记年收入在内的3户分别为，，，年收入在内的2户分别为， ， 则从中随机抽取2户的样本空间，，，，，，， ， ， ，共包含10个样本点， 其中至少有1户来自年收入在内包含的样本点有，，，， ， ， ，共7个， 故抽取的2户中至少有1户来自年收入在内的概率 . 课 中 探 究 10 变式 为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机 各选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位： ）记录下来并绘制出如图 所示的折线图. （1）分别计算从甲、乙两厂选取的10个轮胎宽度的平均数. 课 中 探 究 11 解：从甲厂选取的10个轮胎中，轮胎宽度的平均数 , 从乙厂选取的10个轮胎中，轮胎宽度的平均数 . 课 中 探 究 12 （2）若轮胎的宽度在 内，则称这个轮胎是标准轮胎. （ⅰ）若从甲厂选取的10个轮胎中随机抽取1个，求所抽取的轮胎是标准轮胎的概率； 解： 从甲厂选取的轮胎中，轮胎宽度在 内的数据有195，194，196， 194，196，195，共6个，故从甲厂选取的10个轮胎中随机抽取1个，所抽取的轮 胎是标准轮胎的概率 . 课 中 探 究 13 （ⅱ）求从甲、乙两厂分别选取的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差. 解： 从甲厂选取的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的平均数为 , 方差为 . 从乙厂选取的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的平均数为 , 方差为 . 课 中 探 究 14 ［素养小结］ （1）用样本估计总体是统计学中的核心思想. （2）主要题型是用样本的数字特征或分布估计总体的数字特征或分布. （3）平均数、方差（或标准差）是评判数据平均取值水平和离散程度的依据. 课 中 探 究 15 探究点二 概率在实际中的应用 例2 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，相关工作人员先从该自然保护区中 捕出200只天鹅，给每只天鹅做上记号（不影响其存活），然后放回自然保护区， 经过适当的时间，让其和该自然保护区中其余的天鹅充分混合，再从该自然保 护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号.假定每只天鹅被捕到的可能性是 相等的，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量. 课 中 探 究 16 解：设该自然保护区中天鹅的数量为.从该自然保护区中任捕一只，设事件 为 捕到带有记号的天鹅，则 . 从该自然保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号， 由概率的统计定义可知 . 由①②，得，解得 ， 故该自然保护区中天鹅约有1500只. 课 中 探 究 17 变式 已知是一个三位正整数，若 的个位数字大于十位数字，十位数字大于 百位数字，则称 为“三位递增数”（如135，256，345等）.现要从甲、乙两名同 学中选出一人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5， 6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数， 则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少个“三位递增数”？分别用树形图和列举法解答. 课 中 探 究 18 解：画出树形图，如图所示， 由图可知，由1，2，3，4，5，6可组成20个“三位递增数”. 由题知，由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”分别是123，124，125，126， 134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346， 356，456，共20个，故由1，2，3，4，5，6可组成20个“三位递增数”. 课 中 探 究 19 （2）这种选取规则对甲、乙两名同学公平吗？请说明理由. 解：不公平.理由如下： 由（1）知由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个.记“甲参加数学竞赛” 为事件，事件 包含的样本点有124，126，134，136，146，156，234，236， 246，256，346，356，456，共13个， 所以 . 记“乙参加数学竞赛”为事件，则事件 包含的样本点有123，125，135，145， 235，245，345，共7个， 所以.因为 ， 所以该选取规则对甲、乙两名同学不公平. 课 中 探 究 20 ［素养小结］ （1）游戏规则是否公平，即判定概率是否都相等. （2）大概率事件易发生，小概率事件不易发生. 课 中 探 究 21 探究点三 情境应用 例3 为了了解某地机动车的所有人缴纳车船使用税的情况，调查部门在该地某 大型停车场对机动车的所有人进行了随机调查.向被调查者提出三个问题：（1） 你的车牌号码的最后一位数字是奇数吗？（2）你缴纳了本年度的车船使用税吗？ （3）你的手机号码的倒数第二位是偶数吗？调查人员给被调查者准备了一枚质 地均匀的骰子，让被调查者背对调查人员掷一次骰子.如果出现一点或二点则回 答第一个问题；如果出现三点或四点则回答第二个问题；如果出现五点或六点 则回答第三个问题（被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只 需回答“是”或“否”，所有人都如实回答）.结果被调查的3000人中有1200人回答 了“否”，由此估计这3000人中没有缴纳车船使用税的人数大约为( ) A A.600 B.200 C.400 D.300 课 中 探 究 22 [解析] 因为骰子出现一点或二点、三点或四点、五点或六点的概率相等，都等 于 ，所以大约有1000人回答了第一个问题.因为车牌号码的最后一位数字是奇数 与是偶数的概率是相等的，所以在这1000人中大约有500人的车牌号码的最后一 位数字是偶数，这500人都回答了“否”. 同理也大约有1000人回答了第三个问题，在这1000人中大约有500人回答了“否”， 因此在回答“否”的1200人中大约有200人对第二个问题回答了“否”.故在这3000人 中大约有600人没有缴纳车船使用税. 故选A. 课 中 探 究 23 变式 [2023·广东揭阳高一期中] 为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通 安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两 个问题：（1）你的学号是奇数吗?（2）在过路口时你是否闯过红灯?要求被调 查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则 就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需 回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实 地作了回答.结果被调查的1200人（学号从1至1200）中有366人回答了“是”.由此 可以估计这1200人中闯过红灯的人数是_____. 课 中 探 究 24 [解析] 被调查的1200人中，在准备回答的两个问题中每一个问题被问到的概率 相同， 所以第一个问题可能被问600次，因为被问的600人中大约有300人的学号是奇数， 且有366人回答了“是”， 所以估计有66人在第二个问题中回答了“是”，即600人中有66人闯过红灯，频率 为0.11. 用样本频率估计总体，从而估计这1200人中闯过红灯的人数为 . 课 中 探 究 25 ［素养小结］ 情境主要有生活情境和学科情境，首先要审清题意，建构数学模型，分析统计 和概率，进行综合应用. 课 中 探 究 26 1.从一群游戏的小孩中抽出 人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，一会 儿后，再从中任取人，发现其中有 个小孩曾分过苹果，估计一共有小孩 ( ) B A.人 B.人 C.人 D. 人 [解析] 设一共有个小孩，根据概率的意义，有，所以 .故选B. 课 堂 评 价 27 2.一批产品的合格率为，检验员抽检时出错率为 ，则检验员抽取一件 产品，检验为合格品的概率为( ) B A.0.81 B.0.82 C.0.90 D.0.91 [解析] 一批产品的合格率为，检验员抽检时出错率为， 检验员抽 取一件产品，检验为合格品的概率为 故选B. 课 堂 评 价 28 3.为评估某种新型水稻的种植效果，选择了 块面积相等、肥力相同的试验稻田. 这块稻田的亩产量（单位：）分别为，， ， ，下列统计量中， 能用来评估这种新型水稻亩产量稳定程度的是( ) A A.样本，， ，的标准差 B.样本，， ， 的中位数 C.样本，， ，的众数 D.样本，， ， 的平均数 [解析] 标准差刻画了数据的离散程度.故选A. 课 堂 评 价 29 4.某产品的设计长度为，规定误差不超过 为合格品.对一批产品进行 测量，测量结果如下表： 19.5以下 20.5以上 件数 5 68 7 则这批产品的不合格率为( ) D A. B. C. D. [解析] 由题可知，长度在 的为合格品，所以这批产品的不合格率为 .故选D. 课 堂 评 价 30 5.某路口的交通信号灯，绿灯亮40秒后，黄灯闪烁若干秒，然后红灯亮30秒， 如果一辆车到达路口时，遇到红灯的概率为 ，那么黄灯闪烁的时间为___秒. 5 [解析] 设黄灯闪烁的时间为秒， 一辆车到达路口时，遇到红灯的概率为 ， ,解得， 黄灯闪烁的时间为5秒. 课 堂 评 价 31 1.统计与概率的应用 备 用 习 题 32 2.概率在实际问题中的应用 （1）概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的稳定值，可以用 样本中出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率. （2）实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别 生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等. （3）在实际应用中，先分析问题是古典概型还是用频率估计概率，然后再用合 理的方法解决问题.古典概型中要避免结果的疏漏. 备 用 习 题 33 例1 经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油的合格率为 ，经调查，某 市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有____个. 16 [解析] 由题意知市场上食用油的合格率为,则不合格率为 ， 所以80个品牌中，不合格的食用油品牌大约有 （个）. 备 用 习 题 34 例2 某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决 定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提 高旅游服务水平.为此该地区旅游部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深 入调查，下表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中随机抽取的100位游客 的满意度调查表. 满意度 老年人 中年人 青年人 报团游 自助游 报团游 自助游 报团游 自助游 满意 12 1 18 4 15 6 一般 2 1 6 4 4 12 不满意 1 1 6 2 3 2 备 用 习 题 35 （1）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群 更倾向于选择报团游？ 解：由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为 ,, , 因为 ，所以老年人更倾向于选择报团游. 备 用 习 题 36 （2）某人要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？ 解：由表可知，报团游的满意率 , 自助游的满意率,因为 ，所以建议他选择报团游. 备 用 习 题 37 $