22.3实际问题与二次函数解答题专题训练2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.3实际问题与二次函数解答题专题训练 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标； 2．已知某二次函数图象的顶点坐标为，且与y轴交于点． (1)求该二次函数的表达式（结果写顶点式）； (2)当时，求y的取值范围； (3)当时，求x的取值范围． 3．如图所示，有一堵墙长，一道篱笆长，现靠墙用篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的一边长为x，面积为S． (1)求关于的函数表达式和自变量的取值范围； (2)当取何值时，最大？最大为多少？ 4．七月中旬正值青岛旅游旺季，青岛旅游纪念品深受大家喜爱．某公司销售一种纪念品，每件成本为50元，经过市场调查发现，该商品的日销售量(件)与销售单价(元)是一次函数关系，销售单价、日销售量的3组对应数值如下表： 销售单价/元 日销售量/件 (1)求关于的函数表达式． (2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，求公司销售该商品获得的最大日利润． 5．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求b的值； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)已知小球自带一个红外线发射器，竖直向下发射一束红外线，照射到斜坡上，求小球飞行过程中这束红外线的最大长度． 6．已知二次函数 (1)求函数图像的顶点坐标及图像与坐标轴的交点坐标． (2)根据图像直接回答： ①当时，的取值范围； ②当时，的取值范围． 7．如图，二次函数的图象经过点． (1)的值为___________． (2)点在该二次函数的图象上，则的值为___________． (3)请根据图象，求不等式的解集． 8．如图所示，二次函数的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． (1)求二次函数与一次函数的表达式； (2)根据图象，请直接写出满足的x的取值范围． 9．一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米． (1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 10．小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 11．某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 12．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C，连接．D是第二象限内抛物线上的动点，过点D作的平行线． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求面积的最大值，及此时点D的坐标． (3)若点D的横坐标为，则在直线上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为 ； (4)如图②，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线，过点作，垂足为点，动点分别从点同时出发，动点以每秒1个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是 ． 14．综合运用 如图，抛物线交x轴于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，交y轴正半轴于点C，且，点P是抛物线对称轴上一动点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P的纵坐标为1，请判断的形状，并说明理由； (3)已知点D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点P的横坐标为2时，D为直线上一点，的周长为7是否成立，若成立，请求出D点坐标，若不成立，请说明理由； (3)若直线与y轴交于点M，直线与抛物线交于点Q，连接与y轴交于点H，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)点P的坐标为：，PE的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）把和代入到进行求解即可； （2）过点P作轴于点，交于点N，设直线的表达式为，再把和代入求解一次函数，进而可得为等腰直角三角形，则，设点P的坐标为和点为，表达出，即可得到解答． 【详解】（1）解：∵和在抛物线上， ∴， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：过点P作轴于点，交于点N， 设直线的表达式为， ∵和在直线上， ∴， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，则， ∴直线与y轴交于点， 又∵点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴直线和x轴的正半轴的夹角为， ∴， ∴， 设点P的坐标为，点， ∴ ， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴点P的坐标为， 又∵， ∴的最大值为． 2．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查用顶点式二次函数解析式，二次函数的图象及性质． （1）设二次函数顶点式，把相应点代入即可求得； （2）由抛物线的开口方向及对称轴确定时，的取值范围； （3）求出当时，当时的值，再结合函数图象及可求解． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为； 把代入解析式得， 解得； ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵，顶点为， ∴开口向上，当时，y有最小值为； ∵当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为． （3）解：当时，，解得：或； 当时，，解得：或； 由于二次函数开口向上，当 时，的取值范围为：或． 3．(1) (2)当米时，S最大，最大值为48平方米 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）矩形花圃一面利用墙，结合图形可知，据此用x表示出的长；矩形花圃的面积列出S关于x的函数关系式，结合求出x的取值范围； （2）根据（1）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积． 【详解】（1）解：根据矩形的性质可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意，． ∵， ∵对称轴为，开口向下， ∴当时，S最大，最大值为48． 答：当米时，S最大，最大值为48平方米． 4．(1) (2)元 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法解一次函数的解析式，二次函数的实际应用，利用二次函数的图象性质求最值，解题的关键是理解题意找到题目中的数量关系，并熟练掌握待定系数法解一次函数和二次函数的图象与性质． （1）待定系数法求解析式，即可； （2）根据利润(单价成本)销量，列出函数关系式，并根据题意求出的取值范围，然后根据二次函数的性质求出此区间的增减性，进而求出的最大值即可． 【详解】（1）解：设，把和代入， 得，解得， ． （2）解：设公司销售该商品获得的日利润为元， 则． 由题意知， 解得． 对称轴为直线， 顶点不在取值范围内． ， 抛物线开口向下， 在对称轴左侧随的增大而增大， 当时，． 答：该公司销售该商品获得的最大日利润为元． 5．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键； （1）依据题意，由点是抛物线上一点，则，从而计算可以得解； （2）依据题意，由，从而可以判断得解； （3）依据题意可得直线的解析式为，设这束红外线的长度为，则，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：点是抛物线上一点， ． ． （2）解：， 抛物线最高点的坐标为． （3）解：设直线的解析式为：， 将代入中， 得，解得：， 直线的解析式为． 设这束红外线的长度为，则． ， 小球飞行过程中这束红外线的最大长度为． 6．(1) 函数图像的顶点坐标为，图像与坐标轴的交点坐标为，，； (2) 当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是或． 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，二次函数图像与坐标轴的交点，二次函数与不等式． （1）先将化成顶点式，从而确定顶点坐标，令可得函数图像与轴的交点坐标，令可得函数图像与轴的交点坐标； （2）根据图像，即可得当时，的取值范围；根据图像，即可得当时，的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数， ∴顶点坐标为， 当时，， ∴函数图像与轴交于点， 当时，， 解得，， ∴函数图像与轴交于点，， ∴函数图像的顶点坐标为，图像与坐标轴的交点坐标为，，． （2）解：二次函数的图像： 当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是或． 7．(1)2 (2)11 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把代入（1）中函数解析式进行求解即可； （3）把代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入二次函数得：， 解得：； 故答案为2； （2）解：由（1）可知：二次函数解析式为， ∴当时，则有，即； 故答案为11； （3）解：令时，则有， 解得：， ∴当时，则x的取值范围为． 8．(1)，； (2)x的取值范围为或． 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，根据图象确定x的取值范围，勾股定理等． （1）先将点A代入二次函数解析式中求出m,即可得到二次函数的解析式，进而求出对称轴，再根据对称点的特征求出点B的坐标即可； （2）根据图象，要求的x的取值范围，即一次函数图象在抛物线下方所对应的x的范围． 【详解】（1）解：将点代入中得 ， 解得， ∴二次函数的解析式为， 对称轴为， 当时，， ， ∵点C和点B关于对称轴对称， ， 将，代入， 得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵ 即一次函数图象在抛物线下方， ∴x的取值范围为或． 9．(1) (2)船的宽度须不超过10米 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意并运用二次函数的图象与性质解题是关键． （1）根据题意得，，所以可设抛物线的解析式为，再将代入解析式求解即可； （2）令，得到方程，可求出当高为3米时，船能通过的最大宽度，即得答案． 【详解】（1）解：由已知，抛物线的顶点D的坐标为，抛物线与x轴的交点B的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得， 船的宽度须不超过米． 10．(1) (2)离点远 【分析】利用本题重点考查​二次函数的性质与实际应用​，​理解二次函数表达式各参数的意义，并将实际问题转化为数学问题求解是解题的关键​． （1）令，求出即得答案； （2）计算当，求出，再用结果减去3即得答案． 【详解】（1）当时，， 答：喷头P与地面的距离为0.4m． （2）将代入得：， 解得（舍），， ， 答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点B 3m远． 11．(1) (2)空格处应填；17.5；10；3 (3)当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利， 当时，，亏损． 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，应用待定系数法求解方程是解题的关键． （1）根据待定系数法求解方程即可； （2）由（1）的解析式进行代值计算即可求解； （3）根据题意得到总利润表达式，再解不等式得出结论即可． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ， 所以函数解析式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，， 故空格处应填； （万元）， 所以1-4月平均每月亏损17.5万元， 故答案为：17.5； 令，解得， 所以到2024年10月起，公司当月不再亏损， 故答案为：10； 因为，所以， 则1-9月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利， 11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元， 2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元， 从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元， 理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来， 故答案为：3； （3）由（2）可知2024年总利润为万元， 初始宣发资金为（万元）， 则每月的净利润数为， 当代入求和可得2025年第一季度末的净利润为 ， 所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为： ， 所以当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利，当时，，亏损． 12．(1) (2)的面积取得最大值为， (3)存在，当是等腰三角形时，则点或或或或． 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质及等腰三角形的性质、两点距离公式是解题的关键． （1）把点和点分别代入解析式进行求解即可； （2）过点作轴交于点，求出直线，设， ，那么，由于，则，再利用二次函数的性质求解即可； （3）可求，直线，由，可得直线，可设点，然后由题意可分①当，②当，③，进而根据两点距离公式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可把点和点分别代入解析式得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，当， ∴， 过点作轴交于点， 设直线， ∴， 解得：， ∴直线， 设， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴当时，的面积取得最大值为，此时； （3）解：直线l上存在点P，使是等腰三角形，理由如下： ∵的横坐标为， ∴纵坐标为：， ∴ ∵，， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， ∵， ∴设直线， 代入， 则，解得：， ∴直线， 可设点，则有： ∵点，， ∴①当时，则有：， 解得：， ∴， ∴点； ②当时，则有：， 解得：， ∴或， ∴点或； ③当时，则有：， 解得：， ∴或， ∴点或； 综上所述：当是等腰三角形时，则点或或或或． 13．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）代入点、的坐标，求得系数，即可得到解析式； （2）过点作交轴于点，连接，进行等面积转化，由面积求得线段长度，可得点的坐标，从而可求直线的解析式，再与抛物线解析式联立，即可解得点的坐标； （3）将绕点逆时针旋转得到，则为等腰直角三角形．由旋转性质可得点的坐标，从而可得直线方程，由等腰三角形的性质，可知为直线与抛物线的交点，联立此直线方程与抛物线解析式，结合所处象限，即可得到点的坐标； （4）根据题设条件所描述的运动过程，结合三角形的相似判定与性质，分析取最小值和最大值时候点所处的位置，用勾股定理解直角三角形，结合三角形三边关系可求出的最小值，进而可得的范围． 【详解】（1）解：将点分别代入抛物线的解析式， 得解得 拋物线的解析式为． （2）解：过点作交轴于点，连接， 如答图①所示，则， ． ，则． 又 ． ， 直线的解析式为． ， 直线的解析式为． 联立解得 ． （3）解： 将绕点逆时针旋转得到， 为等腰直角三角形， ， 如答图②所示． 又点是第四象限内抛物线上的一点，， 点为延长线与抛物线的交点． 由旋转可知，，故点的坐标为． 由待定系数法可得，直线的解析式为， 联立与， 整理可得， 解得或0（含去）， 故点的坐标为． （4） 由题意知，四边形为矩形，． 连接，交于点，如答图③所示， 故， ， ， ． 作于点，如答图③所示， ， ， ， ， 故． 取中点，连接． ， 根据斜边中线定理可得， 故，当且仅当共线时取等号． 易知点的坐标为，， 故， 则． 当点与点重合时，点与点重合，此时最大，即． 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，三角形面积等积变形，角的转化策略，函数与方程的联系，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形的性质，斜边中线定理，勾股定理，三角形的三边关系等，熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题关键． 14．(1)； (2)是等腰直角三角形．理由见解析 (3)存在，点Q的坐标为或或． 【分析】（1）先求得，推出，，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，过点C作直线的垂线，垂足为M，设直线与x轴的交点为N，证明，即可推出是等腰直角三角形； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中， 令，得． ∴， ∴． 又， ∴，． ∴，， 将，代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下： 抛物线的对称轴为直线． ∴， 如图，过点C作直线的垂线，垂足为M，设直线与x轴的交点为N，    ∴． ∵，，， ∴，，，． 在和中，， ∴， ∴，． 又， ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形； （3）解：设点P的坐标为，点Q的坐标为， ∵，对称轴为直线，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得： ①当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； ②当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； ③当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及平行四边形的性质是解题的关键． 15．(1) (2)不成立，理由见解析 (3)3 【分析】（1）将，两点代入解析式即可求解； （2）过P作轴,作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接，可推出此时，最小．由翻折可得：，进而得在中， ，最小值为， 最小值为 ，据此即可判断； （3）过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K，设，可推出得，；再证得，；进而得；最后证，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：不成立．理由如下： 过P作轴， 由题意得：当时，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， 作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接， 此时最小． 由翻折可得：， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴． ∴， ∴， 在中， ， ∴最小值为， ∴最小值为 ， ∵， ∴的周长不可能为7； （3）解：过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K， 设， ∴， ∵轴，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法、翻折、相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何和函数基础． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $