第一章特殊平行四边形单元测试2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊平行四边形 单元测试 一、单选题 1．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点分别是边的中点，点是线段上的一点，连接，，且，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，，点，在第一象限．则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，菱形的对角线与交于点，过点作于点，连接，若，则的面积等于（　　） A．24 B．18 C．14 D．12 5．如图，在中，于点，为的中点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，，连接，在上截取，使得，过点作于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，O为坐标原点，已知，，直线经过点，当该直线平分矩形的面积时，直线的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，平分，于点，是的中点，则的周长是（　　） A．9 B．10 C．13 D．20 9．如图，在边长为的正方形中，E为边上一点，且，点F在边上以的速度由点B向点C运动；同时，点G在边上以的速度由点C向点D运动，它们运动的时间为t秒，连接，．当与全等时，t的值为（    ） A．1 B．2 C．2或3 D．1或2 10．如图，平行四边形中，对角线交于点，，分别是的中点．下列结论中正确的有（   ） ①；②；③平分；④四边形是菱形． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．如图，三角形中，，D为的中点， 连接，， ，则 ． 12．如图，在中，，点，分别是、边上的中点，连接、．如果，，那么的长是 ． 13．在中，为钝角，都是这个三角形的高，P为的中点，若，则的度数为 ． 14．如图，在中，，，M，N分别为，的中点，点 P 在 上．若四边形为菱形，则菱形的面积为 ． 15．如图，正方形的边长为3，动点从点出发，沿着向终点运动，以为边作正方形，则在点的整个运动过程中，则点的运动路径为 ． 三、解答题 16．已知如图，在四边形中，，点是的中点． (1)求证：； (2)当 度时，是等边三角形？（直接写出答案） 17．如图所示，图1、图2分别是的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．请按下列要求分别画出相应的图形，且所画图形的每个顶点均在所给小正方形的顶点上． (1)在图1中画出一个周长为的菱形（非正方形）； (2)在图2中画出一个面积为9的平行四边形，且满足，请直接写出平行四边形的周长． 18．如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，为垂足． (1)______． (2)①求证：四边形是正方形．②若，求的面积． (3)如图（2），在中，，其高，，则的长度是______． 19．如图，在正方形中，点F在边上，射线交于点E，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若点H是中点，求证：； (3)设，，试问是否存在x的值，使为等腰三角形，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 20．【问题探究】 （1）如图1，菱形的三个顶点E，H，Q分别在矩形的边，，上，，求证：四边形为正方形； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个矩形商业规划地，，，四边形区域为购物中心，进出口E，H，Q分别在，，边上，其中，，，进出口P在矩形内部，现准备对区域进行绿化，根据规划，已知，求绿化区域的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 特殊平行四边形 单元测试2025-2026学年北师大版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D B A B B D B 1．B 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定， 根据判定定理逐项判断即可. 【详解】解：∵， ∴是菱形，则A不符合题意； ∵， ∴是矩形，则B符合题意； 当四边形是时，，则C不符合题意； ∵， ∴是菱形，则D不符合题意. 故选：B. 2．D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，熟悉以上性质是解题的关键．由题意，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线等于的一半，相减即可求得的长． 【详解】解：∵点分别是边的中点，， ∴， ∵，且， 又∵点是边的中点， ∴， ∴． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，过作轴于，证明，得出 ，，结合坐标系，即可得出的坐标． 【详解】解：如图，过作轴于， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． ． 故选：C． 4．D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，由菱形的性质得到，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半求出菱形的面积即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．B 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，三角形内角和等知识的综合；根据于点，为的中点，可判定，是等边三角形，可求出，由三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵于点，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形面积公式，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的相关性质是解题的关键． 先求出正方形对角线的长度，再得出的长度，接着确定的长度，最后根据三角形面积公式求出的面积． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴． 故选：． 7．B 【分析】本题考查了矩形的性质，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先连接，且相交于一点G，再结合，，求出，因为直线平分矩形的面积，则经过点，把，代入，进行计算，得，即可作答． 【详解】解：连接，且相交于一点G，则点是的中点，如图所示： ∵矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，O为坐标原点，且，， ∴， ∴， ∵直线平分矩形的面积， ∴经过点， ∵直线经过点， ∴把，代入， 得， 解得， ∴， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：，，是的中点， ， ，平分，， 点是的中点，且， ， ， 的周长． 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，由题意可得，，求出，由正方形的性质可得，，从而可得，再分两种情况，分别利用全等三角形的判定与性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵四边形为边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 当，时， 在和中， ， ∴， ∴此时， 解得； 当，时， 在和中， ， ∴， ∴此时， 解得：， 综上所述，当与全等时，t的值为或； 故选：D． 10．B 【分析】证明是等腰三角形即可证明；由，可证①成立；由中点的性质可得出，且，结合平行即可证得②结论成立；由三线合一可证明③成立；无法证明④成立，此题得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， ∵G是中点， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴，且， ∵四边形为平行四边形， ∴，且， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即②正确； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 即平分， 故③正确， 题目没有条件可以证明是菱形， 故④错误， 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、中位线定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 11． 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，斜边的中线等于斜边的一半，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用斜边的中线等于斜边的一半求得，再利用勾股定理求． 【详解】解：∵三角形中，，D为的中点，， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 12．8 【分析】本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，属于基础题，熟练掌握三角形中位线定理是解决本题的关键． 根据三角形的中位线定理可得，再由直角三角形斜边上的中线的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵点，分别是、边上的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：8 13． 【分析】本题考查了直角三角形中两锐角互余，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边对等角，根据直角三角形中两锐角互余，先求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得到，，根据等边对等角得到，最后根据求出结果． 【详解】解：， ， ，P为的中点， ，， ， ， 故答案为：． 14．30 【分析】本题考查了中位线定理、菱形性质、勾股定理，运用中位线定理、菱形性质、勾股定理求线段长是解题的关键． 先由中位线定理可得长，再由菱形性质可得长及，由勾股定理可得长，由菱形对角线将它分成四个全等的小三角形即可求面积． 【详解】解：如图，连接、，交于点O， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴． 15． 【分析】过F作交延长线于H，证明得到，，进而得到，利用等腰三角形的性质可得，则，即点F在与成角的直线上运动，进而可利用勾股定理可求得点F的运动路径． 【详解】解：过F作交延长线于H， ∵四边形、四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即点F在与成角的直线上运动， 当点E在点A处时，点F在点B处， 点E在点B处时，点F在如图位置： 故点F的运动路径为， 又， ∴点F的运动路径为 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形，得到点F的运动路径是解答的关键． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）根据直角三角形的性质证明即可求证； （）由直角三角形的性质可得，即得，，即得到，，得到，进而由得到，即可求证； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键 【详解】（1）证明：∵，点是的中点， ∴，， ∴； （2）解：当时，是等边三角形，理由如下： ∵，点是的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 故答案为：． 17．(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、菱形的性质、平行四边形的性质，根据题意正确作图是解题的关键． （1）由菱形周长为，则菱形的边长为，利用勾股定理即可画出菱形； （2）根据面积为9且，画出平行四边形，再利用勾股定理即可求出平行四边形的周长． 【详解】（1）解：如图所示，菱形即为所求： （2）解：如图所示，平行四边形即为所求： ，， 则平行四边形的周长． 18．(1)45 (2)①见解析；②15 (3) 【分析】（1）由可得，进而得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （2）①过点作于，由角平分线的性质可得，再证明四边形是矩形即可得出结论； ②证明得，同理得，设，得，又由可得， 得到，在中，利用勾股定理得，得到，即得，再根据三角形面积公式即可求解； （3）如图2所示，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，同理（2）即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：45； （2）①证明：过点作于， 平分，，， ， 同理可得， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； ②， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， 设， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ； （3）解：如图2所示，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点， 由折叠可得，，，，，，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：2.8． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)存在， 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的判定，掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据可证； （2）根据（1）的结论和图中各角的关系证明 即可； （3）要使为等腰三角形，必须，根据已知求得的度数，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵； ∴， ∵点H是中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴； （3）解：存在符合条件的x值，此时， ∵，要使为等腰三角形，必须， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 由勾股定理得：， 解得：． 20．（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是： （1）证明，得出，则可证明，然后根据正方形的判定方法即可得证； （2）先证明四边形为菱形，然后同（1）证明菱形是正方形，过P作于F，证明，得出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴ 同（1）可证，菱形是正方形， ∴，， ∴ 过P作于F， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即绿化区域的面积为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $