第4章整式的加减 期中复习讲义（知识点清单+5大常考题清单+4大易错题型清单）2025-2026学年讲义七年级数学上学期

期中复习清单--第4章整式的加减 第1部分 知识点清单 一、整式的相关概念 1.单项式：表示数或字母的积的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 系数：单项式中的__________称为这个单项式的系数（包括符号）。例如，的系数是__________。 次数：一个单项式中，所有字母的__________的和叫做这个单项式的次数。例如，的次数是__________。 注意： 单独的一个非零数的次数为__________。 圆周率是__________，不是字母。 2.多项式：几个单项式的__________叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的__________，不含字母的项叫做__________。 次数：多项式里，次数最高项的__________，叫做这个多项式的次数。例如，是__________次__________项式。 注意： 多项式的每一项都包括它前面的__________。 多项式没有系数的概念，但每一项都有系数。 3.整式：__________与__________统称整式。 二、整式的加减运算 1.同类项：所含字母__________，并且相同字母的__________也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 判断方法： “两相同”：字母相同，相同字母的指数相同。 “两无关”：与系数无关，与字母的排列顺序无关。 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 法则：同类项的__________相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数__________。 步骤： 一找：用不同标记标出同类项。 二移：利用加法交换律将同类项集中。 三合：合并同类项。 3.去括号法则： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号__________。 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号__________。 注意：去括号时，要连同括号前面的__________一起去掉。 4.整式的加减： 实质：__________、合并同类项。 步骤： 有括号先去括号。 观察有无同类项。 分组同类项，合并同类项。 结果要求：通常将多项式按某个字母的__________（或升幂）排列。 三、常考考点与易错点 1.常考考点： 列代数式：用整式表示实际问题中的数量关系。例如，三角形面积公式为__________。 化简求值：先去括号、合并同类项，再代入数值计算。 无关型问题：若代数式的值与某字母无关，则该字母的系数为__________。 规律探究：通过观察单项式或图形的规律，写出第项的表达式。 2.易错点： 单项式系数：忽略符号或是常数。例如，的系数是__________。 多项式项数：漏看符号。例如，的项数是__________项。 去括号符号：括号前是负号时，未全部变号。例如，__________。 第2部分常考题型清单 【题型1】同类项的概念与应用 高频考点： 同类项定义判断（如判断与是否为同类项，需满足“字母相同+对应字母的指数相等”） 根据同类项求参数值（如已知与是同类项，求，需列等式、) 同类项合并运算(如合并，结果为，遵循“系数相加减，字母及指数不变”) 【例题1】．（2024-2025•平城区期末）下列单项式中，与ab3是同类项的是（　　） A．﹣ab3c B．2a2b3 C．3ab3 D．a3b 【变式题1-1】．（2024-2025•化州市期末）单项式xm﹣1y3与﹣4xyn是同类项，则mn的值是（　　） A．1 B．3 C．6 D．8 【变式题1-2】．（2024-2025•闵行区校级月考）下列各对单项式中，不是同类项的是（　　） A．1与2 B．ab与﹣ba C．与 D．x2y与0.25yx2 【变式题1-3】．（2024-2025•昂昂溪区期末）若单项式﹣axb2与a4by是同类项，则2x﹣3y的值为（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 【题型2】多项式的系数与次数问题 高频考点： 多项式次数判断(如多项式，最高次项为(次数)，故多项式次数为3) 根据次数求参数(如关于 的二次三项式，需满足，且项数为3) 系数综合应用(如多项式是二次多项式，需，解得) 【例题2】．（2024-2025•萨尔图区校级期中）单项式的系数和次数分别是（　　） A．﹣3π，3 B．，4 C．，3 D．，2 【变式题2-1】．（2024-2025•自贡校级期末）下列说法正确的是（　　） A．单项式22x3y4的次数是9 B．不是单项式 C．x3﹣2x2y2+3y2是三次三项式 D．单项式的系数是 【变式题2-2】．（2024-2025•高唐县期末）若代数式5x|m|+4x2﹣2xy是三次多项式，单项式3x4+myn与该多项式的次数相同，则m+n的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 【变式题2-3】．（2024-2025•平桥区期末）单项式﹣4x2y3与多项式2xmy2﹣5x3y﹣1的次数相同，则m＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3】整式的化简与求值 高频考点： 去括号法则应用(如化简，结果为，括号前是负号需变号) 合并同类项步骤(如化简，按字母降幂合并为) 整体代入求值(如已知，求的值，直接代入得) 【例题3】．（2024-2025•上海月考）已知，求代数式的值． 【变式题3-1】．（2024-2025•北京校级开学）已知x、y的关系为2x﹣3y﹣2＝1，则（　　） A．﹣8z B．12 C．6 D．4x﹣10y﹣8z﹣6 【变式题3-2】．（2024-2025•大武口区期末）先化简，再求值：2x2y﹣[2x2y﹣（2xy﹣3x2y）]+3xy2，其中x＝3，． 【变式题3-3】．（2024-2025•荔城区期末）已知6y﹣x＝﹣5，则（x+2y）﹣2（x﹣2y）＝（　　） A．﹣5 B．5 C．3 D．2 【题型4】整式加减中的无关型问题 高频考点： 与某字母无关的条件(如代数式的值与无关，需满足的系数) 求参数值(如化简后与无关，解得) 实际应用(如某商品售价为元，若售价与无关，则的系数为0，即的系数为0) 【例题4】．（2024-2025•阿克苏地区期末）若关于x的多项式3x﹣2﹣mx的值与x的取值无关，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【变式题4-1】．（2024-2025•茶陵县期末）如果关于字母x的二次多项式﹣3x2﹣mx+nx2﹣x+3的值与x的取值无关，则m﹣n的值为 　 　 ． 【变式题4-2】．（2024-2025•泉州期中）已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． （1）请用含m，n的代数式表示下面的问题： ①大长方形的长：　 　 ；②阴影A的面积：　 　 ． （2）请说明阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关． 【变式题4-3】．（2024-2025•牡丹江期末）A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且8xyb﹣10+（a+8）xy﹣1是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若数轴上有一点C，且3AC＝BC，求点C对应的数； （3）若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段AM、线段BN的中点．设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若PQ+MN的长度与t的取值无关，求m的值及PQ+MN的长度． 【题型5】规律探索型问题 高频考点： 数字规律(如单项式序列：，，，，…，第项为) 图形规律(如第 个图形需根火柴棒，需通过前3个图形归纳：时4根，时7根，时10根) 简便计算(如，裂项后为) 【例题5】．（2024-2025•昆明模拟）观察下列单项式：﹣2a，4a2，﹣6a3，8a4，﹣10a5，⋯，则第n个单项式是（　　） A．（﹣1）nna2 B．2nan C．nan D．（﹣1）n2nan 【变式题5-1】．（2024-2025•商河县期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为（　　） A．3n B．3n+1 C．3n+2 D．3n+3 【变式题5-2】．（2024-2025•讷河市期末）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示： 按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（　　） A．2+6n B．8+6n C．4+4n D．8n 【变式题5-3】．（2024-2025•邗江区校级月考）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋯+22020+22021的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+⋯+22020+22021①，则2S＝2+22+⋯+22021+22022②，②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．请仿照小明的方法解决以下问题： （1）2+22+⋯+220＝ 　 　 ； （2）求 　 　 ； （3）求（﹣2）+（﹣2）2+⋯+（﹣2）100的和．（请写出计算过程） 第3部分 题错题型清单 【题型6】去括号与符号处理错误 易错点预警： 括号前是负号时，漏变括号内某一项符号； 乘法分配律漏乘(如错算为)。 典型错误案例： 化简 错误解答：(括号前是负号，未变号) 正确解答： 【例题6】．（2024-2025•中江县期末）下列去括号或添括号正确的是（　　） A．x+（y﹣2）＝x+y+2 B．x﹣（y﹣1）＝x﹣y﹣1 C．x﹣y+1＝x﹣（y﹣1） D．x+y﹣1＝x+（y+1） 【变式题6-1】．（2024-2025•济宁期中）下列选项中“去括号”正确的是（　　） A．2﹣3（x+1）＝2﹣3x﹣1 B． C． D．2（x﹣2）﹣3（y﹣1）＝2x﹣4﹣3y﹣3 【变式题6-2】．去括号： （1）a2﹣（2a﹣b）＝　 　 ； （2）a﹣2（a﹣3b）＝　 　 ； （3）4（x﹣1）﹣5（1﹣3x）＝　 　 ； （4）﹣（x﹣y）﹣5（y﹣2x）＝　 　 ． 【变式题6-3】．添括号： （1）a2﹣5a﹣ab+3＝（a2﹣ab）﹣（　 　 ）； （2）（a﹣b+c﹣d）（a+b﹣c﹣d）＝[（a﹣d）﹣（　 　 ）][（a﹣d）+（　 　 ）]． 【题型7】多项式次数与项数的误判 易错点预警： 混淆“单项式次数”与“多项式次数”(多项式次数是最高次项的次数，非所有项次数之和)； 漏算常数项导致项数错误(如多项式是三项式，常数项不可漏)。 典型错误案例： 判断多项式的次数 错误解答：二次(误将最高次项的次数算为2，忽略的指数1) 正确解答：三次(的次数为) 【例题7】．（2024-2025•岳阳楼区校级开学）已知多项式3x3y2+xy2﹣4的次数为a，常数项为b，则a﹣b＝　 　 ． 【变式题7-1】．（2024-2025•上海校级月考）下列单项式中，单项式次数最高的是（　　） A．﹣abc3 B．2a4 C．﹣8abcd D．20b 【变式题7-2】．（2024-2025•浦东新区校级月考）整式的次数为　 　 ． 【变式题7-3】．（2024-2025•浏阳市期末）下列说法中，正确的是（　　） A．的系数是 B．mn2+2mn﹣1是二次三项式 C．﹣2ab2的次数是2 D．多项式mn2+2mn﹣1的项分别是：mn2、2mn、﹣1 【题型8】化简求值时的代入错误 易错点预警： 代入负数时未加括号(如代入，错算为，正确为)； 未化简直接代入导致计算复杂。 典型错误案例： 求值，其中， 错误解答：直接代入： (计算结果巧合正确，但步骤冗余，且易出错) 正确解答：先化简：；再代入： 【例题8】．（2024-2025•香坊区校级月考）先化简，再求值：（3x2y﹣2xy2）﹣（xy2﹣2x2y），其中x＝2，y＝﹣1． 【变式题8-1】．（2024-2025•绵阳期末）先化简，再求值 5（4a2﹣2ab3）﹣4（5a2﹣3ab3），其中a＝2， 【变式题8-2】．（2024-2025•河南期末）先化简，再求值：5（4a2﹣2ab3）﹣4（5a2﹣3ab3），其中a＝﹣1，b＝2． 【变式题8-3】．（2024-2025•盖州市期末）先化简，再求值：，其中． 【题型9】规律探索中的归纳错误 易错点预警： 仅通过前2项归纳规律(如序列，，，，…，错算第项为，实际为)； 未验证规律的普遍性。 典型错误案例： 观察数列，，，，…，求第项 错误解答：第项为(仅验证时，时，未验证时、时) 正确解答：第项为，验证：时，时，时，规律成立 【例题9】．（2024-2025•云南校级模拟）按照一定规律排列的式子：，，，，第7个式子是（　　） A． B． C． D． 【变式题9-1】．（2024-2025•昭阳区月考）观察这一系列单项式的特点：，…那么第8个单项式为（　　） A． B． C． D． 【变式题9-2】．（2024-2025•睢县期末）观察下列板式： 22﹣12＝2+1＝3；32﹣22＝3+2＝5； 42﹣32＝4+3＝7；52﹣42＝5+4＝9；62﹣52＝6+5＝11；… 若字母n表示自然数，请把你观察到的规律用含n的式子表示出来：　 　 ． 【变式题9-3】．（2024-2025•温岭市期末）在数学中，我们常常需要对代数式进行变形，以达到简化、分解、合并或者推导等目的；对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质，如代数式B＝3x+7，若将其写成B＝3（x+1）+4的形式，就能与代数式A＝3x+4建立联系；下面我们改变x的值，研究一下A、B两个代数式取值的规律： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 A＝3x+4 ﹣2 1 4 7 10 13 B＝3（x+1）+4 1 4 7 　 　 　 　 16 （1）补充完成上表； （2）观察表格可以发现：当x＝m时，A＝3m+4，当x＝m﹣1时，B＝3（m﹣1）+7＝A，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A“取值提前”，此时“提前值”为1；若代数式D参照代数式A“取值提前”，相应的“提前值”为2，求代数式D； （3）已知代数式ax+b参照代数式4x+c“取值提前”，“提前值”为4，请直接写出一组b和c的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习清单--第4章整式的加减 第1部分 知识点清单 一、整式的相关概念 1.单项式：表示数或字母的积的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 系数：单项式中的数字因数称为这个单项式的系数（包括符号）。例如，的系数是-3。 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如，的次数是4。 注意： 单独的一个非零数的次数为0。 圆周率是常数，不是字母。 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如，是三次三项式。 注意： 多项式的每一项都包括它前面的符号。 多项式没有系数的概念，但每一项都有系数。 3.整式：单项式与多项式统称整式。 二、整式的加减运算 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 判断方法： “两相同”：字母相同，相同字母的指数相同。 “两无关”：与系数无关，与字母的排列顺序无关。 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 步骤： 一找：用不同标记标出同类项。 二移：利用加法交换律将同类项集中。 三合：合并同类项。 3.去括号法则： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 注意：去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉。 4.整式的加减： 实质：去括号、合并同类项。 步骤： 有括号先去括号。 观察有无同类项。 分组同类项，合并同类项。 结果要求：通常将多项式按某个字母的降幂（或升幂）排列。 三、常考考点与易错点 1.常考考点： 列代数式：用整式表示实际问题中的数量关系。例如，三角形面积公式为。 化简求值：先去括号、合并同类项，再代入数值计算。 无关型问题：若代数式的值与某字母无关，则该字母的系数为0。 规律探究：通过观察单项式或图形的规律，写出第项的表达式。 2.易错点： 单项式系数：忽略符号或是常数。例如，的系数是。 多项式项数：漏看符号。例如，的项数是3项。 去括号符号：括号前是负号时，未全部变号。例如，。 第2部分常考题型清单 【题型1】同类项的概念与应用 高频考点： 同类项定义判断（如判断与是否为同类项，需满足“字母相同+对应字母的指数相等”） 根据同类项求参数值（如已知与是同类项，求，需列等式、) 同类项合并运算(如合并，结果为，遵循“系数相加减，字母及指数不变”) 【例题1】．（2024-2025•平城区期末）下列单项式中，与ab3是同类项的是（　　） A．﹣ab3c B．2a2b3 C．3ab3 D．a3b 【答案】C． 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：A、所含字母不相同，不是同类项； B、相同字母的指数不相同，不是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、相同字母的指数不相同，不是同类项； 故选：C． 【点评】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 【变式题1-1】．（2024-2025•化州市期末）单项式xm﹣1y3与﹣4xyn是同类项，则mn的值是（　　） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】D 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：根据题意得：m﹣1＝1，n＝3， 解得：m＝2， 所以mn＝23＝8． 故选：D． 【点评】本题主要考查了同类项的定义，根据相同字母的指数相同列出方程是解题的关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•闵行区校级月考）下列各对单项式中，不是同类项的是（　　） A．1与2 B．ab与﹣ba C．与 D．x2y与0.25yx2 【答案】C． 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：A、符合同类项的定义，是同类项； B、符合同类项的定义，是同类项； C、所含字母不相同，不是同类项； D、符合同类项的定义，是同类项； 故选：C． 【点评】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 【变式题1-3】．（2024-2025•昂昂溪区期末）若单项式﹣axb2与a4by是同类项，则2x﹣3y的值为（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B． 【分析】根据同类项的定义直接得出x、y的值． 【解答】解：由同类项的定义可知x＝4，y＝2， ∴2x﹣3y＝2×4﹣3×2＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 【题型2】多项式的系数与次数问题 高频考点： 多项式次数判断(如多项式，最高次项为(次数)，故多项式次数为3) 根据次数求参数(如关于 的二次三项式，需满足，且项数为3) 系数综合应用(如多项式是二次多项式，需，解得) 【例题2】．（2024-2025•萨尔图区校级期中）单项式的系数和次数分别是（　　） A．﹣3π，3 B．，4 C．，3 D．，2 【答案】C． 【分析】根据多项式次数和单项式的系数的定义求解．多项式的次数是多项式中最高次项的次数． 【解答】解：的次数是3，系数是． 故选：C． 【点评】本题考查了多项式的有关定义．解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数． 【变式题2-1】．（2024-2025•自贡校级期末）下列说法正确的是（　　） A．单项式22x3y4的次数是9 B．不是单项式 C．x3﹣2x2y2+3y2是三次三项式 D．单项式的系数是 【答案】B 【分析】根据单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义判断即可． 【解答】解：A、单项式22x3y4的次数是3+4＝7，原说法错误； B、不是单项式，原说法正确； C、x3﹣2x2y2+3y2是四次三项式，原说法错误； D、单项式的系数是，原说法错误； 故选：B． 【点评】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【变式题2-2】．（2024-2025•高唐县期末）若代数式5x|m|+4x2﹣2xy是三次多项式，单项式3x4+myn与该多项式的次数相同，则m+n的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 【答案】A 【分析】根据多项式的次数和单项式的次数的定义即可得出m，n，相加可得答案． 【解答】解：∵5x|m|+4x2﹣2xy是三次多项式， ∴|m|＝3，解得m＝±3， 又∵3x4+myn与5x|m|+4x2﹣2xy的次数相同， 即单项式3x4+myn的次数为3， 故4+m+n＝3， 当m＝3时，n＝﹣4，不符合题意，舍去， 当m＝﹣3时，n＝2，符合题意， ∴m＝﹣3，n＝2， 故m+n＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了多项式的次数和单项式的次数的定义，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•平桥区期末）单项式﹣4x2y3与多项式2xmy2﹣5x3y﹣1的次数相同，则m＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式的次数；多项式的次数：多项式中，次数最高项的次数，叫做多项式的次数，进行解答，即可． 【解答】解：根据题意可知，单项式﹣4x2y3的次数为：5， ∴多项式2xmy2﹣5x3y1﹣1的次数为5； ∴m+2＝5， ∴m＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了单项式，多项式，掌握单项式，多项式的定义是关键． 【题型3】整式的化简与求值 高频考点： 去括号法则应用(如化简，结果为，括号前是负号需变号) 合并同类项步骤(如化简，按字母降幂合并为) 整体代入求值(如已知，求的值，直接代入得) 【例题3】．（2024-2025•上海月考）已知，求代数式的值． 【答案】． 【分析】先将原代数式化简，再将，y＝1代入计算即可． 【解答】解：原式 ＝x+x2+y2+1， 当，y＝1时， 原式＝x+x2+y2+1 ． 【点评】本题考查了整式的化简求值，正确进行计算是解题关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•北京校级开学）已知x、y的关系为2x﹣3y﹣2＝1，则（　　） A．﹣8z B．12 C．6 D．4x﹣10y﹣8z﹣6 【答案】B 【分析】已知式子的值求出代数式的值，去括号，合并同类项进行化简，再根据2x﹣3y﹣2＝1，得到2x﹣3y＝3，整体代入法求值即可． 【解答】解：∵2x﹣3y﹣2＝1， ∴2x﹣3y＝3， ∴原式＝4x+2y﹣4z﹣8y+4z+6 ＝4x﹣6y+6 ＝2（2x﹣3y）+6 ＝2×3+6＝12． 故选：B． 【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握整式的加减﹣化简求值的方法是关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•大武口区期末）先化简，再求值：2x2y﹣[2x2y﹣（2xy﹣3x2y）]+3xy2，其中x＝3，． 【答案】2xy﹣3x2y+3xy2，8． 【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝2x2y﹣[2x2y﹣2xy+3x2y]+3xy2， ＝2x2y﹣2x2y+2xy﹣3x2y+3xy2＝2xy﹣3x2y+3xy2， 当x＝3，时， 原式＝2×3×（）﹣3×32×（）+3×3 ＝﹣2+9+1 ＝8． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•荔城区期末）已知6y﹣x＝﹣5，则（x+2y）﹣2（x﹣2y）＝（　　） A．﹣5 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】将（x+2y）﹣2（x﹣2y）去括号，再合并同类项，然后根据6y﹣x＝﹣5，可得出答案． 【解答】解：（x+2y）﹣2（x﹣2y） ＝x+2y﹣2x+4y ＝6y﹣x， ∵6y﹣x＝﹣5， ∴原式＝﹣5． 故选：A． 【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【题型4】整式加减中的无关型问题 高频考点： 与某字母无关的条件(如代数式的值与无关，需满足的系数) 求参数值(如化简后与无关，解得) 实际应用(如某商品售价为元，若售价与无关，则的系数为0，即的系数为0) 【例题4】．（2024-2025•阿克苏地区期末）若关于x的多项式3x﹣2﹣mx的值与x的取值无关，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【答案】A 【分析】将原式去括号、合并同类项后得（3﹣m）x﹣2，再由其值与x无关，可得3﹣m＝0，问题随之得解． 【解答】解：3x﹣2﹣mx ＝（3﹣m）x﹣2， 由题意可得：3﹣m＝0， 即m＝3， 故选：A． 【点评】本题主要考查合并同类项，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•茶陵县期末）如果关于字母x的二次多项式﹣3x2﹣mx+nx2﹣x+3的值与x的取值无关，则m﹣n的值为 　﹣4　 ． 【答案】﹣4． 【分析】首先利用关于字母x的二次多项式﹣3x2﹣mx+nx2﹣x+3的值与x的取值无关，得出同类项的系数和为0，进而得出答案． 【解答】解：∵关于字母x的二次多项式﹣3x2﹣mx+nx2﹣x+3的值与x的取值无关， ∴﹣3+n＝0，﹣m﹣1＝0， 解得：n＝3，m＝﹣1， 则m﹣n＝﹣1﹣3＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】此题主要考查了合并同类项、代数式求值以及多项式，正确得出m，n的值是解题关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•泉州期中）已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． （1）请用含m，n的代数式表示下面的问题： ①大长方形的长：　（m+4n）　 ；②阴影A的面积：　（10m﹣3mn）　 ． （2）请说明阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意，可得到大长方形的长可表示为m+4n，再分别表示出阴影A的长和宽，即可得到面积； （2）分别表示阴影A，B的周长，两者相加，化简可得到结果中不含有m，即可． 【解答】解：（1）①大长方形的长可表示为：m+4n； ②∵阴影长方形A的长为m，宽为（10﹣3n）， ∴阴影长方形A的面积为m（10﹣3n）＝10m﹣3mn； 故答案为：m+4n；10m﹣3mn； （2）∵阴影长方形B的长为4n，宽为10﹣m， ∴阴影长方形B的周长为8n+2（10﹣m）， ∵阴影长方形A的长为m，宽为（10﹣3n）， ∴阴影长方形A的周长为2（10﹣3n）+2m， ∴阴影A与阴影B的周长的和为： 2（10﹣3n）+2m+8n+2（10﹣m） ＝20﹣6n+2m+8n+20﹣2m ＝40+2n， ∴阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关． 【点评】本题考查了列代数式，整式的加减运算，熟练用代数式表达相关量是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•牡丹江期末）A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且8xyb﹣10+（a+8）xy﹣1是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： （1）a＝　﹣8　 ，b＝　12　 ； （2）若数轴上有一点C，且3AC＝BC，求点C对应的数； （3）若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段AM、线段BN的中点．设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若PQ+MN的长度与t的取值无关，求m的值及PQ+MN的长度． 【答案】（1）﹣8，12； （2）﹣3或﹣18； （3）m＝3，PQ+MN＝28． 【分析】（1）根据多项式为关于x、y的三次二项式，得出1+b﹣10＝3，a+8＝0，从而求出a、b的值； （2）设点C对应的数为x，且3AC＝BC，判断出点C在点B的左边，于是有3|﹣8﹣x|＝12﹣x，即可求出x的值； （3）t秒后，M对应的数为﹣mt，N对应的数为12﹣3t，根据数轴上中点的定义即可表示出中点的坐标，再计算MN、PQ的长，根据PQ+MN的长度与t的取值无关，即t的系数为0，从而得解． 【解答】解：（1）若8xyb﹣10+（a+8）xy﹣1是关于x、y的三次二项式， 则1+b﹣10＝3，a+8＝0， 解得a＝﹣8，b＝12， 故答案为：﹣8，12； （2）设点C对应的数为x， ∵3AC＝BC， ∴点C在点B的左边， ∴3|﹣8﹣x|＝12﹣x， 解得x＝﹣18或x＝﹣3， 即点C对应的数为﹣3或﹣18； （3）t秒后，M对应的数为：﹣mt，N对应的数为：12﹣3t， ∵P、Q为AM、BN的中点， ∴P点对应的数为：，Q点对应的数为：， ∴MN＝|﹣mt﹣12+3t|＝|（3﹣m）t﹣12| ∴ ， ∵PQ+MN的长度与t无关， ∴m＝3， ∴PQ+MN＝16+12＝28． 【点评】本题考查了多项式，数轴上两点之间的距离，中点坐标的求法，熟练掌握多项式的项、次数的定义是解题的关键． 【题型5】规律探索型问题 高频考点： 数字规律(如单项式序列：，，，，…，第项为) 图形规律(如第 个图形需根火柴棒，需通过前3个图形归纳：时4根，时7根，时10根) 简便计算(如，裂项后为) 【例题5】．（2024-2025•昆明模拟）观察下列单项式：﹣2a，4a2，﹣6a3，8a4，﹣10a5，⋯，则第n个单项式是（　　） A．（﹣1）nna2 B．2nan C．nan D．（﹣1）n2nan 【答案】D 【分析】根据已知单项式找到规律即可，认真观察单项式是解题的关键． 【解答】解：下列单项式：﹣2a，4a2，﹣6a3，8a4，﹣10a5，⋯， ∵﹣2a＝（﹣1）×2×1×a， 4a2＝（﹣1）2×2×2×a2， ﹣6a3＝（﹣1）3×2×3×a3， 8a4＝（﹣1）4×2×4×a4， ﹣10a5＝（﹣1）5×2×5×a5， ⋯， ∴第n个单项式是（﹣1）n2nan， 故选：D． 【点评】本题考查了单项式的变化规律，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•商河县期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为（　　） A．3n B．3n+1 C．3n+2 D．3n+3 【答案】C 【分析】观察图形可知从第二个图案开始，第加一扇窗户，就增加3个剪纸．照此规律便可计算出第n个图形中剪纸的个数． 【解答】解：第一个图案为3+2＝5个窗花； 第二个图案为2×3+2＝8个窗花； 第三个图案为3×3+2＝11个窗花； …从而可以探究： 第n个图案所贴窗花数为（3n+2）个． 故选：C． 【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 【变式题5-2】．（2024-2025•讷河市期末）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示： 按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（　　） A．2+6n B．8+6n C．4+4n D．8n 【答案】A 【分析】观察给出的3个例图，注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2+6． 【解答】解：第n条小鱼需要（2+6n）根，故选：A． 【点评】本题考查列代数式，本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法（归纳法），先观察特例，找到火柴棒根数的变化规律，然后猜想第n条小鱼所需要的火柴棒的根数． 【变式题5-3】．（2024-2025•邗江区校级月考）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋯+22020+22021的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+⋯+22020+22021①，则2S＝2+22+⋯+22021+22022②，②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．请仿照小明的方法解决以下问题： （1）2+22+⋯+220＝ 　221﹣2　 ； （2）求 　　 ； （3）求（﹣2）+（﹣2）2+⋯+（﹣2）100的和．（请写出计算过程） 【答案】（1）221﹣2；（2）；（3），过程见解析． 【分析】（1）设S＝2+22+⋯+220①，则2S＝22+⋯+220+221②，再由②﹣①求解即可； （2）设①，则②，再由②﹣①求解即可； （3）设S＝（﹣2）+（﹣2）2+⋯+（﹣2）100①，则﹣2S＝（﹣2）2+（﹣2）3+⋯+（﹣2）101②，再由②﹣①求解即可． 【解答】解：（1）设S＝2+22+⋯+220①， 则2S＝22+⋯+220+221②， ②﹣①得，2S﹣S＝221﹣2， 即S＝221﹣2． 故答案为：221﹣2； （2）设①， 则②， ②﹣①得，， ∵． 故答案为：； （3）设S＝（﹣2）+（﹣2）2+⋯+（﹣2）100①， 则﹣2S＝（﹣2）2+（﹣2）3+⋯+（﹣2）101②， ②﹣①得，﹣2S﹣S＝﹣3S＝（﹣2）101﹣（﹣2）， ∴． 【点评】本题考查了合并同类项，有理数的混合运算，掌握相应的运算法则是关键． 第3部分 题错题型清单 【题型6】去括号与符号处理错误 易错点预警： 括号前是负号时，漏变括号内某一项符号； 乘法分配律漏乘(如错算为)。 典型错误案例： 化简 错误解答：(括号前是负号，未变号) 正确解答： 【例题6】．（2024-2025•中江县期末）下列去括号或添括号正确的是（　　） A．x+（y﹣2）＝x+y+2 B．x﹣（y﹣1）＝x﹣y﹣1 C．x﹣y+1＝x﹣（y﹣1） D．x+y﹣1＝x+（y+1） 【答案】C 【分析】根据去括号与添括号的法则，分别对每一项进行分析即可． 【解答】A．x+（y﹣2）＝x+y﹣2，故本选项错误， B．x﹣（y﹣1）＝x﹣y+1，故本选项错误， C．x﹣y+1＝x﹣（y﹣1），故本选项正确， D．x+y﹣1＝x+（y﹣1），故本选项错误， 故选：C． 【点评】此题考查了去括号与添括号，添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号，去括号也一样． 【变式题6-1】．（2024-2025•济宁期中）下列选项中“去括号”正确的是（　　） A．2﹣3（x+1）＝2﹣3x﹣1 B． C． D．2（x﹣2）﹣3（y﹣1）＝2x﹣4﹣3y﹣3 【答案】C． 【分析】根据去括号的法则直接求解即可． 【解答】解：A、2﹣3（x+1）＝﹣3x﹣1≠2﹣3x﹣1，错误； B、4﹣3x≠5﹣3x+1，错误； C、2﹣x﹣5，正确； D、2（x﹣2）﹣3（y﹣1）＝2x﹣3y﹣1≠2x﹣4﹣3y﹣3，错误． 故选：C． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号． 【变式题6-2】．去括号： （1）a2﹣（2a﹣b）＝a2﹣2a+b ； （2）a﹣2（a﹣3b）＝　﹣a+6b ； （3）4（x﹣1）﹣5（1﹣3x）＝　19x﹣9　 ； （4）﹣（x﹣y）﹣5（y﹣2x）＝　9x﹣4y ． 【答案】（1）a2﹣2a+b； （2）﹣a+6b； （3）19x﹣9； （4）9x﹣4y． 【分析】（1）根据去括号法则计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项即可； （4）先去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）a2﹣（2a﹣b）＝a2﹣2a+b， 故答案为：a2﹣2a+b； （2）a﹣2（a﹣3b）＝a﹣2a+6b＝﹣a+6b， 故答案为：﹣a+6b； （3）4（x﹣1）﹣5（1﹣3x）＝4x﹣4﹣5+15x＝19x﹣9， 故答案为：19x﹣9； （4）﹣（x﹣y）﹣5（y﹣2x）＝﹣x+y﹣5y+10x＝9x﹣4y， 故答案为：9x﹣4y． 【点评】本题考查了去括号与添括号，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题6-3】．添括号： （1）a2﹣5a﹣ab+3＝（a2﹣ab）﹣（　5a﹣3　 ）； （2）（a﹣b+c﹣d）（a+b﹣c﹣d）＝[（a﹣d）﹣（b﹣c ）][（a﹣d）+（b﹣c ）]． 【答案】（1）5a﹣3； （2）b﹣c，b﹣c． 【分析】（1）根据添括号法则计算即可； （2）根据添括号法则计算即可． 【解答】解：（1）a2﹣5a﹣ab+3＝（a2﹣ab）﹣（5a﹣3）， 故答案为：5a﹣3； （2）（a﹣b+c﹣d）（a+b﹣c﹣d）＝[（a﹣d）﹣（b﹣c）][（a﹣d）+（b﹣c）]， 故答案为：b﹣c，b﹣c． 【点评】本题考查了去括号与添括号，熟练掌握添括号法则是解题的关键． 【题型7】多项式次数与项数的误判 易错点预警： 混淆“单项式次数”与“多项式次数”(多项式次数是最高次项的次数，非所有项次数之和)； 漏算常数项导致项数错误(如多项式是三项式，常数项不可漏)。 典型错误案例： 判断多项式的次数 错误解答：二次(误将最高次项的次数算为2，忽略的指数1) 正确解答：三次(的次数为) 【例题7】．（2024-2025•岳阳楼区校级开学）已知多项式3x3y2+xy2﹣4的次数为a，常数项为b，则a﹣b＝　9　 ． 【答案】9． 【分析】由多项式的次数，常数项的概念，即可解决问题． 【解答】解：根据题意可知，a＝3+2＝5，b＝﹣4，∴a﹣b＝5﹣（﹣4）＝5+4＝9．故答案为：9． 【点评】本题考查了多项式，掌握多项式的定义是关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•上海校级月考）下列单项式中，单项式次数最高的是（　　） A．﹣abc3 B．2a4 C．﹣8abcd D．20b 【答案】A 【分析】单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数，由此解答即可． 【解答】解：单项式﹣abc3的次数是5， 单项式2a4的次数是4， 单项式﹣8abcd的次数是4， 单项式20b的次数是1， 所以次数最高的单项式是﹣abc3， 故选：A． 【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的次数的定义是解题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•浦东新区校级月考）整式的次数为　4　 ． 【答案】4． 【分析】根据多项式次数的定义求解． 【解答】解：多项式中最高次项是，次数是4． 故答案为：4． 【点评】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数． 【变式题7-3】．（2024-2025•浏阳市期末）下列说法中，正确的是（　　） A．的系数是 B．mn2+2mn﹣1是二次三项式 C．﹣2ab2的次数是2 D．多项式mn2+2mn﹣1的项分别是：mn2、2mn、﹣1 【答案】D 【分析】根据单项式系数、次数的定义和多项式的项、次数的定义即可求解． 【解答】解：A．单项式的系数是，A选项错误，不符合题意； B．多项式是三次三项式，B选项错误，不符合题意； C．单项式的次数是3，C选项错误，不符合题意； D．多项式mn2+2mn﹣1的项分别是mn2、2mn、﹣1，D选项正确，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查单项式系数、次数的定义和多项式的项、次数的定义，解题的关键是掌握相关定义． 【题型8】化简求值时的代入错误 易错点预警： 代入负数时未加括号(如代入，错算为，正确为)； 未化简直接代入导致计算复杂。 典型错误案例： 求值，其中， 错误解答：直接代入： (计算结果巧合正确，但步骤冗余，且易出错) 正确解答：先化简：；再代入： 【例题8】．（2024-2025•香坊区校级月考）先化简，再求值：（3x2y﹣2xy2）﹣（xy2﹣2x2y），其中x＝2，y＝﹣1． 【答案】5x2y﹣3xy2，﹣26． 【分析】先去括号再合并同类项化简，最后代入求值即可． 【解答】解：（3x2y﹣2xy2）﹣（xy2﹣2x2y） ＝3x2y﹣2xy2﹣xy2+2x2y ＝5x2y﹣3xy2， ∵x＝2，y＝﹣1， ∴原式＝5×22×（﹣1）﹣3×2×（﹣1）2＝﹣26． 【点评】本题考查了整式的加减运算及求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•绵阳期末）先化简，再求值 5（4a2﹣2ab3）﹣4（5a2﹣3ab3），其中a＝2， 【答案】2ab3，． 【分析】先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把a＝2，代入计算即可． 【解答】解：原式＝20a2﹣10ab3﹣20a2+12ab3 ＝2ab3； 当a＝2，时， 原式． 【点评】本题考查的是整式的加减运算，化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•河南期末）先化简，再求值：5（4a2﹣2ab3）﹣4（5a2﹣3ab3），其中a＝﹣1，b＝2． 【答案】见试题解答内容 【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝20a2﹣10ab3﹣20a2+12ab3 ＝2ab3， 当a＝﹣1，b＝2时，原式＝2×（﹣1）×23＝﹣16． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•盖州市期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再将x，y的值代入即可求解． 【解答】解： x﹣2x ＝（2）x+（）y2 ＝y2﹣3x， ∵x＝﹣2，， ∴原式＝（）2﹣3×（﹣2） 6 ． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 【题型9】规律探索中的归纳错误 易错点预警： 仅通过前2项归纳规律(如序列，，，，…，错算第项为，实际为)； 未验证规律的普遍性。 典型错误案例： 观察数列，，，，…，求第项 错误解答：第项为(仅验证时，时，未验证时、时) 正确解答：第项为，验证：时，时，时，规律成立 【例题9】．（2024-2025•云南校级模拟）按照一定规律排列的式子：，，，，第7个式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由单项式排列的规律，分母是奇数，x的指数是偶数，即可求解． 【解答】解：按照一定规律排列的式子：，，，，第7个式子是， 故选：B． 【点评】本题考查单项式有规律排列问题，关键是明白单项式的分母是奇数，x的指数是偶数． 【变式题9-1】．（2024-2025•昭阳区月考）观察这一系列单项式的特点：，…那么第8个单项式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，，，，…可推导一般性规律为：第n个单项式为：，进而可得答案． 【解答】解：由，，，，…可推导一般性规律为：第n个单项式为， ∴第8个单项式为． 故选：A． 【点评】本题考查了单项式的规律探究．解题的关键在于根据题意推导一般性规律． 【变式题9-2】．（2024-2025•睢县期末）观察下列板式： 22﹣12＝2+1＝3；32﹣22＝3+2＝5； 42﹣32＝4+3＝7；52﹣42＝5+4＝9；62﹣52＝6+5＝11；… 若字母n表示自然数，请把你观察到的规律用含n的式子表示出来：　（n+1）2﹣n2＝2n+1　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】观察各式，发现：运用了平方差公式，其中由于两个数相差是1，差等于1，所以最后结果等于两个数的和． 【解答】解：第n个式子：（n+1）2﹣n2＝2n+1． 故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1． 【点评】此题考查数字的变化规律，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•温岭市期末）在数学中，我们常常需要对代数式进行变形，以达到简化、分解、合并或者推导等目的；对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质，如代数式B＝3x+7，若将其写成B＝3（x+1）+4的形式，就能与代数式A＝3x+4建立联系；下面我们改变x的值，研究一下A、B两个代数式取值的规律： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 A＝3x+4 ﹣2 1 4 7 10 13 B＝3（x+1）+4 1 4 7 　10　 　13　 16 （1）补充完成上表； （2）观察表格可以发现：当x＝m时，A＝3m+4，当x＝m﹣1时，B＝3（m﹣1）+7＝A，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A“取值提前”，此时“提前值”为1；若代数式D参照代数式A“取值提前”，相应的“提前值”为2，求代数式D； （3）已知代数式ax+b参照代数式4x+c“取值提前”，“提前值”为4，请直接写出一组b和c的值． 【答案】（1）10，13； （2）D＝3x+10； （3）b＝17，c＝1（答案不唯一）． 【分析】（1）分别把x＝1，x＝2代入B的表达式，得到对应的值，填表即可； （2）根据“提前值”的定义，写出D的表达式，化简即可； （3）根据“提前值”的定义，可得ax+b＝4（x+4）+c，对比各项系数，得到b与c之间的关系，即可得解． 【解答】解：（1）把x＝1代入B＝3（x+1）+4，得B＝3×2+4＝10；把x＝2代入B＝3（x+1）+4，得B＝3×3+4＝13， 故答案为：10，13； （2）由题意，得D＝3（x+2）+4＝3x+10； （3）由题意，得ax+b＝4（x+4）+c，即ax+b＝4x+c+16， 所以a＝4，b＝c+16，即c＝b﹣16， 所以当b＝17时，c＝1（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了代数式的变形和取值规律，理解题意，准确地列出代数式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $