第2章有理数的运算 期中复习讲义（知识点清单+4常考题清单+4易错题型清单）2025-2026学年人教版七年级数学上学期

期中复习清单--第2章有理数的运算 第1部分 知识点清单 一、有理数的加法与减法 1.加法法则 同号两数相加，取________的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的________。 异号两数相加，取绝对值较大加数的________，和的绝对值等于较大绝对值________较小绝对值。 一个数与0相加，仍得________。 常考考点：多个有理数加法的符号判断及简便运算（如相反数结合法、凑整法）。 2.减法法则 减去一个数，等于加上这个数的________，即________。 常考考点：减法转化为加法后的混合运算顺序。 3.运算律 加法交换律：________。 加法结合律：________。 常考考点：利用运算律简化运算（如分数拆分、整数结合）。 二、有理数的乘法与除法 1.乘法法则 两数相乘，同号得________，异号得________，并把绝对值________。 任何数与0相乘，都得________。 几个不为0的数相乘，积的符号由负因式的个数决定：奇数个负号为________，偶数个负号为________。 常考考点：多个有理数乘积的符号判断及倒数的应用。 2.除法法则 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的________，即________（）。 两数相除，同号得________，异号得________，并把绝对值________。 0除以任何非0数，都得________。 常考考点：分数化简及乘除混合运算的符号处理。 3.运算律 乘法交换律：________。 乘法结合律：________。 乘法分配律：________。 常考考点：分配律的逆用(如提取公因数)。 三、有理数的乘方 1.乘方定义 求个相同因数的积的运算，叫做________，记作，其中是________，是________，结果叫做________。 常考考点：底数为负数或分数时的括号使用(如与的区别)。 2.乘方法则 正数的任何次幂都是________。 负数的奇次幂是________，偶次幂是________。 0的任何正整数次幂都是________。 常考考点：乘方与乘除的混合运算顺序。 3.科学记数法 把一个大于10的数表示为的形式，其中，是________。 常考考点：科学记数法与原数的互化及精度判断。 四、有理数的混合运算 1.运算顺序 先________，再________，最后________。 同级运算，从________到________进行。 如有括号，先做括号内的运算，按________、________、________依次进行。 常考考点：三步以内的混合运算及括号的灵活运用。 第2部分 常考题型清单 【题型1】有理数混合运算综合计算 高频考点： 1.加减乘除与乘方的混合运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减） 2.灵活运用运算律简化计算（如乘法分配律逆用） 3.带分数拆分与分数通分技巧 【例题1】．（2024-2025•冷水江市期末）计算（﹣36）×（）时，可以使运算简便的是（　　） A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．加法结合律 D．乘法结合律 【变式题1-1】．（2024-2025•重庆校级开学）这里运用了乘法的（　　）律． A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．分配和结合律 【变式题1-2】．（2024-2025•遵义校级期末）计算： （1）； （2）． 【变式题1-3】．（2024-2025•龙华区校级开学）简便计算． （1）199×4.5； （2）； （3）3.4×2.77+2.3×0.34； （4）； （5）（16.9×24）÷（8×13）． 【题型2】数轴与绝对值的综合应用 高频考点： 1.数轴上点的位置与有理数大小比较 2.绝对值的几何意义（如距离问题） 3.含绝对值的化简与方程求解 【例题2】．（2024-2025•开福区校级月考）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，数轴上表示数m的点与表示数﹣2的点距离为4． （1）若，那么b，d的值是多少？ （2）求的值． 【变式题2-1】．（2024-2025•朝阳区校级月考）已知a，b是两个有理数，那么a﹣b与a比较，必定是（　　） A．a﹣b＞a B．a﹣b＜a C．a﹣b＞﹣a D．大小关系取决于b 【变式题2-2】．（2024-2025•白云区期末）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|π+2a|﹣|3﹣b+a|，得（　　） A．π﹣3 B．2b﹣4a﹣π﹣3 C．π+3 D．3﹣π﹣2a 【变式题2-3】．（2025春•盘龙区期末）如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A．π B．﹣1+π C．﹣π D．﹣1﹣π 【题型3】有理数运算的实际应用题 高频考点： 1.温度、海拔、收支等情境中的正负号表示 2.行程问题中的速度与位移计算 3.数据统计中的平均值与总和应用 【例题4】．（2024-2025•沈阳校级月考）某服装厂共有54名工人．现计划一周生产某款服装3500件，平均每天生产500件．但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有所出入．下表是这一周的生产情况（超产记为正，减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） ﹣12 ﹣6 +8 +16 ﹣4 +10 ﹣2 （1）根据记录的数据，可知该厂星期五生产服装　 　 件，这一周产量最多的一天比产量最少的那一天多生产了　 　 件； （2）求该厂这一周实际生产服装的件数； （3）该厂实行每天计件工资制：每生产一件服装可得15元，若当天超额完成任务，则超过部分每件另奖励6元；若当天没完成任务，则少生产一件扣4元．若该厂所有工人本周每天都参与这款服装的生产，求这一周该厂工人的平均收入． 【变式题4-1】．（2024-2025•朝阳区校级月考）某登山队5名队员以二号高地为基地，向海拔距二号高地500米的顶峰冲击．规定向上走为正，行程中海拔变化记录如下（单位：米）： +150，﹣35，+205，﹣30，+25，﹣20，﹣5，+30，﹣25，+75． （1）他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还有多少米？ （2）登山时，5名队员全程都使用了氧气，且平均每人每米海拔变化要消耗氧气0.04升，则他们共使用了氧气多少升？ 【变式题4-2】．（2024-2025•沙坪坝区校级月考）重庆洪崖洞民俗风貌区是国家级AAAA旅游景区，以其独特的吊脚楼建筑和璀璨的山城夜景闻名中外．每逢国庆黄金周，客流量巨大，预计单日客流量15万人．为确保游客安全体验，若单日客流量超过预计人数，则需景区管理部门启动临时管制措施．下表是国庆八天假期中每天旅游的人数变化：（正数代表超过预计人数，负数代表不足预计人数） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 差值 （万人） 1.5 0 4 2.5 1 ﹣1 ﹣1 ﹣2 （1）请问在哪几天需启动安全管控？这几天的客流量分别是多少？ （2）已知每1万名游客带来的经济收入约100万元，请问这8天的旅游总收入约为多少万元？ 【变式题4-3】．（2024-2025•即墨区校级月考）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣6 ﹣10 ﹣18 +24 +22 +30 +28 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走　 　 km； （2）请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少km？ （3）已知汽油车每行驶100km需用汽油7升，汽油的价格为8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.6元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少元？ 【题型4】新定义运算与规律探索 高频考点： 1.自定义运算符号的规则应用 2.乘方规律（如个位数字循环）与数列求和 3.拆项法与倒数法的创新应用 【例题4】．（2024-2025•金水区校级月考）若定义新的运算为，a⊕b＝ab﹣a﹣b，则（3⊗2）⊕ 　 　 ． 【变式题4-1】．（2024-2025•五华区校级模拟）观察下列算式：21＝2 22＝4 23＝8 24＝16 25＝32 26＝64 27＝128 28＝256…，根据上述算式中的规律，你认为22011的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式题4-2】．（2024-2025•二七区校级月考）阅读下面的计算过程，体会“拆项法”． 计算：． 解：原式＝[（﹣5）+（）]+[（﹣9）+（）]+（17）+[（﹣3）+（）] ＝0+（﹣1） 用上面的方法完成下列计算： （1）； （2）． 【变式题4-3】．（2024-2025•金沙县期末）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 第3部分 题错题型清单 【题型5】有理数加减法中的符号错误 易错点预警： 去括号时符号变化错误（如误写为） 带分数拆分时符号处理不当（如误拆为） 3.异号两数相加时绝对值相减错误 典型错误案例 计算： 错误解法：（正确答案应为-2，但中间步骤符号混乱，易导致后续同类题出错） 【例题5】．（2024-2025•庐阳区校级月考）把算式（﹣5）+（+4）﹣（+3）﹣（﹣1）写成省略括号的和的形式是（　　） A．﹣5﹣4﹣3+1 B．﹣5+4﹣3﹣1 C．﹣5+4+3+1 D．﹣5+4﹣3+1 【变式题5-1】．（2025春•肇源县期中）把﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9）写成省略加号和括号的形式后的式子是（　　） A．﹣6﹣7+2﹣9 B．﹣6+7﹣2﹣9 C．﹣6﹣7﹣2+9 D．﹣6+7﹣2+9 【变式题5-2】．（2024-2025•秦安县开学）（﹣20）+（+3）﹣（+5）﹣（﹣1）写成省略括号的和的形式为　 　 ． 【变式题5-3】．（2024-2025•卧龙区校级月考）阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：（）． 该杂志上的解法有如下两种方法： 解：方法1：原式（）． 方法2：原式的倒数＝（）（）×12＝4﹣3﹣5＝﹣4， 所以原式． 任务： （1）材料中的方法1是先求括号内的 　 　 运算，再求括号外的 　 　 运算．（填“加法”“减法”“乘法”或“除法”） （2）根据材料中的方法2计算：（）÷（）． 【题型6】乘除混合运算的顺序与倒数法误用 易错点预警： 乘除混合运算未按从左到右顺序计算（如误算为） 2.倒数法应用时忽略整体倒数（如仅对部分项取倒数） 3.分数除法转化为乘法时未同时取倒数 典型错误案例 计算： 错误解法：（正确答案应为3） 【例题6】．（2024-2025•栖霞区校级月考）计算： （1）42﹣（﹣38）+（﹣27）﹣65； （2）； （3）； （4）． 【变式题6-1】．（2024-2025•虹口区校级月考）计算：． 【变式题6-2】．（2024-2025•张店区期中）【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知x≠0，所以，即， 所以32﹣2＝7，故的值为． 【类比探究】 （1）上题的解叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知，求的值． 【拓展延伸】 （2）已知，，，求的值． 【变式题6-3】．（2024-2025•翠屏区期中）先计算，再阅读材料，解决问题： （1）计算： （2）认真阅读材料，解决问题： 计算：（） 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原式的倒数． 解：原式的倒数是： （） ＝（）×30 30303030 ＝20﹣3+5﹣12 ＝10 故原式． 请你根据对（2）题的理解，按照“先求倒数”的方法计算：（不是按“先求倒数”计算的不给分） 【题型7】含乘方的混合运算符号陷阱 易错点预警： 负数的奇次幂与偶次幂符号混淆（如误算为-16） 底数与指数的位置错误（如误写为） 乘方与乘法优先级混淆（如误算为） 典型错误案例 计算： 错误解法：（正确答案应为-11） 【例题7】．（2024-2025•九龙坡区校级月考）下列各式正确的是（　　） A．（﹣2）3＝（﹣3）2 B．﹣32＝（﹣3）2 C．（﹣3）3＝﹣33 D．﹣3×23＝（﹣3×2）3 【变式题7-1】．（2024-2025•香坊区校级月考）下列计算正确的是（　　） A．﹣32＝9 B．﹣32＝﹣9 C．（﹣3）2＝﹣9 D．﹣（﹣3）2＝9 【变式题7-2】．（2024-2025•鲤城区校级月考）计算： （1）； （2）． 【变式题7-3】．（2024-2025•朝阳区校级月考）计算 （1）（﹣1）+（﹣2）2×3﹣8÷（﹣2）； （2）． 【题型8】绝对值化简与方程的多解漏解 易错点预警： 绝对值方程未考虑的限制 含绝对值的代数式化简未分类讨论(如未分和) 3.数轴上两点距离问题漏解(如点B可能在点A左侧或右侧) 典型错误案例 解方程： 错误解法：，解得(漏解） 【例题8】．（2024-2025•芝罘区期末）若|x|＝3，|y|＝2，|x﹣y|＝y﹣x，则x+y的值是（　　） A．﹣5或﹣1 B．5或1 C．±1 D．±5 【变式题8-1】．（2024-2025•海门区校级月考）如果|a|＝3，|b|＝1，且a＜b＜0，那么（a﹣b）3的值是　 　 ． 【变式题8-2】．（2024-2025•玄武区校级月考）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝3，求的值．（说明cd表示c与d的乘积） 【变式题8-3】．（2024-2025•环翠区校级月考）同学们都知道，|5﹣1|表示5与1差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；|3﹣（﹣2）|表示3与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为3与﹣2在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对|3﹣（﹣2）|进行变式得|3+2|，同样可以表示3与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）|3﹣（﹣2）|＝ 　 　 ； （2）|x﹣2|表示x与 　 　 之间的距离；|x+3|表示x与 　 　 之间的距离； （3）当|x﹣2|+|x+3|＝5时，x可取整数 　 　 （写出所有符合条件的整数x）； （4）由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数x，|x+4|+|x﹣6|的最小值为 　 　 ． （5）当|x+4|+|x﹣6|＝20时，x＝ 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习清单--第2章有理数的运算 第1部分 知识点清单 一、有理数的加法与减法 1.加法法则 同号两数相加，取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和。 异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，和的绝对值等于较大绝对值减去较小绝对值。 一个数与0相加，仍得原数。 常考考点：多个有理数加法的符号判断及简便运算(如相反数结合法、凑整法)。 2.减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即。 常考考点：减法转化为加法后的混合运算顺序。 3.运算律 加法交换律：。 加法结合律：。 常考考点：利用运算律简化运算(如分数拆分、整数结合)。 二、有理数的乘法与除法 1.乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘，都得0。 几个不为0的数相乘，积的符号由负因式的个数决定：奇数个负号为负，偶数个负号为正。 常考考点：多个有理数乘积的符号判断及倒数的应用。 2.除法法则 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即()。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何非0数，都得0。 常考考点：分数化简及乘除混合运算的符号处理。 3.运算律 乘法交换律：。 乘法结合律：。 乘法分配律：。 常考考点：分配律的逆用(如提取公因数)。 三、有理数的乘方 1.乘方定义 求个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作，其中是底数，是指数，结果叫做幂。 常考考点：底数为负数或分数时的括号使用(如与的区别)。 2.乘方法则 正数的任何次幂都是正数。 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数。 0的任何正整数次幂都是0。 常考考点：乘方与乘除的混合运算顺序。 3.科学记数法 把一个大于10的数表示为的形式，其中，是正整数。 常考考点：科学记数法与原数的互化及精度判断。 四、有理数的混合运算 1.运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减。 同级运算，从左到右进行。 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 常考考点：三步以内的混合运算及括号的灵活运用。 第2部分 常考题型清单 【题型1】有理数混合运算综合计算 高频考点： 1.加减乘除与乘方的混合运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减） 2.灵活运用运算律简化计算（如乘法分配律逆用） 3.带分数拆分与分数通分技巧 【例题1】．（2024-2025•冷水江市期末）计算（﹣36）×（）时，可以使运算简便的是（　　） A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．加法结合律 D．乘法结合律 【答案】B 【分析】利用乘法的分配进行运算即可． 【解答】解：计算（﹣36）×（）时，可以使运算简便的是乘法的分配律． 故选：B． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式题1-1】．（2024-2025•重庆校级开学）这里运用了乘法的（　　）律． A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．分配和结合律 【答案】C 【分析】根据乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再将所得的积相加（或相减），结果不变，由此进行解答即可． 【解答】解：∵， ∴上面的式子运用了乘法分配律的逆向运算． 故选：C． 【点评】本题考查了乘法分配律的理解，熟练掌握乘法分配律是解答此题的关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•遵义校级期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2； （2）﹣25． 【分析】（1）利用有理数加法交换律和结合律计算即可； （2）利用乘法分配律计算即可． 【解答】解：（1）原式 ＝0+0+2 ＝2 （2）原式 ＝﹣24+20﹣21 ＝﹣25． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•龙华区校级开学）简便计算． （1）199×4.5； （2）； （3）3.4×2.77+2.3×0.34； （4）； （5）（16.9×24）÷（8×13）． 【答案】（1）895.5； （2）9； （3）10.2； （4）25； （5）3.9． 【分析】（1）将199转化为200﹣1，利用乘法分配律简便计算； （2）利用加法交换律和结合律以及减法的性质进行简便计算； （3）通过变形，利用乘法分配律简便计算； （4）把、0.25、25%都转化为0.25，再利用乘法分配律计算； （5）利用乘除法的运算性质进行简便计算． 【解答】解：（1）原式＝（200﹣1）×4.5 ＝200×4.5﹣1×4.5 ＝900﹣4.5 ＝895.5； （2）原式 ＝10﹣1 ＝9； （3）原式＝3.4×2.77+0.23×3.4 ＝3.4×（2.77+0.23） ＝3.4×3 ＝10.2； （4）原式＝45×0.25+54×0.25+0.25×1 ＝0.25×（45+54+1） ＝0.25×100 ＝25； （5）原式＝16.9×24÷13÷8 ＝（16.9÷13）×（24÷8） ＝1.3×3 ＝3.9． 【点评】本题考查了四则运算的简便计算，解题的关键是灵活运用运算律． 【题型2】数轴与绝对值的综合应用 高频考点： 1.数轴上点的位置与有理数大小比较 2.绝对值的几何意义（如距离问题） 3.含绝对值的化简与方程求解 【例题2】．（2024-2025•开福区校级月考）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，数轴上表示数m的点与表示数﹣2的点距离为4． （1）若，那么b，d的值是多少？ （2）求的值． 【答案】（1）； （2）8或4． 【分析】（1）根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，可以得到a+b＝0，cd＝1，然后代入所求式子计算即可； （2）根据题意，可以得到a+b＝0，cd＝1；m＝﹣2+4＝2或m＝﹣2﹣4＝﹣6，然后代入所求式子计算即可． 【解答】解：（1）∵a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，数轴上表示数m的点与表示数﹣2的点距离为4， ∴a+b＝0，cd＝1；m＝﹣2+4＝2或m＝﹣2﹣4＝﹣6， ∴当m＝﹣6时，； 当m＝2时，； 由上可得，的值为8或4． 【点评】本题主要考查了代数式求值，相反数和倒数的定义，数轴上两点距离计算，非负数的性质，熟知相关知识是解题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•朝阳区校级月考）已知a，b是两个有理数，那么a﹣b与a比较，必定是（　　） A．a﹣b＞a B．a﹣b＜a C．a﹣b＞﹣a D．大小关系取决于b 【答案】D 【分析】本题是对减法法则的考查，减去一个数等于加上它的相反数． 【解答】解：a﹣b﹣a＝﹣b， 当b＜0时，﹣b＞0，那么a﹣b＞a； 当b＞0时，﹣b＜0，那么a﹣b＜a． 故选：D． 【点评】本题是求差的问题．因为减数可能是正数，也可能是负数，所以差与被减数的关系由减数决定． 【变式题2-2】．（2024-2025•白云区期末）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|π+2a|﹣|3﹣b+a|，得（　　） A．π﹣3 B．2b﹣4a﹣π﹣3 C．π+3 D．3﹣π﹣2a 【答案】D 【分析】根据数轴上两个有理数的位置可确定a，b的大小关系，从而判断出a﹣b＜0，π+2a＜0，3﹣b+a＝3﹣（b﹣a）＜0，则可以脱去绝对值，最后合并同类项即可． 【解答】解：由数轴知：a﹣b＜0，π+2a＜0，b﹣a＞1﹣（﹣2）＝3， 所以3﹣b+a＝3﹣（b﹣a）＜0， 所以|a﹣b|+|π+2a|﹣|3﹣b+a|＝﹣a+b﹣π﹣2a+3﹣b+a＝﹣2a﹣π+3； 故选：D． 【点评】本题考查了化简绝对值，整式的加减运算，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式题2-3】．（2025春•盘龙区期末）如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A．π B．﹣1+π C．﹣π D．﹣1﹣π 【答案】B 【分析】根据题意求得圆的周长，然后根据实数与数轴的关系即可求得答案． 【解答】解：由题意可得圆的周长为π×1＝π， ∵将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置， ∴点B表示的数是﹣1+π， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，数轴，熟练掌握实数与数轴的关系是解题的关键． 【题型3】有理数运算的实际应用题 高频考点： 1.温度、海拔、收支等情境中的正负号表示 2.行程问题中的速度与位移计算 3.数据统计中的平均值与总和应用 （2024-2025•沈阳校级月考）某服装厂共有54名工人．现计划一周生产某款服装3500件，平均每天生产500件．但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有所出入．下表是这一周的生产情况（超产记为正，减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） ﹣12 ﹣6 +8 +16 ﹣4 +10 ﹣2 （1）根据记录的数据，可知该厂星期五生产服装　496　 件，这一周产量最多的一天比产量最少的那一天多生产了　28　 件； （2）求该厂这一周实际生产服装的件数； （3）该厂实行每天计件工资制：每生产一件服装可得15元，若当天超额完成任务，则超过部分每件另奖励6元；若当天没完成任务，则少生产一件扣4元．若该厂所有工人本周每天都参与这款服装的生产，求这一周该厂工人的平均收入． 【答案】（1）496，28； （2）该厂这一周实际生产服装的件数为3510件； （3）这一周该厂工人的平均收入是977元． 【分析】（1）根据题意列式计算即可得解，用星期四的产量减去星期一的产量即可； （2）用一周生产服装3500件，加上表格中的各个数据即可得解； （3）根据这一周该厂工人的平均收入等以实际应得工资加上奖励工资减去扣除工资，再除以人数，列式计算即可得解． 【解答】解：（1）该厂星期五生产的服装为500﹣4＝496（件）； 产量最多的一天比产量最少的一天多生产16﹣（﹣12）＝28（件）； 故答案为：496，28； （2）3500﹣12﹣6+8+16﹣4+10﹣2＝3510（件）， 答：该厂这一周实际生产服装的件数为3510件； （3）由（2）得实际产量为3510件， [3510×15﹣（12+6+4+2）×4+（8+16+10）×6]÷54 ＝（52650﹣24×4+34×6）÷54 ＝（52650+108）÷54 ＝977（元）， 答：这一周该厂工人的平均收入是977元． 【点评】本题考查了正负数的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•朝阳区校级月考）某登山队5名队员以二号高地为基地，向海拔距二号高地500米的顶峰冲击．规定向上走为正，行程中海拔变化记录如下（单位：米）： +150，﹣35，+205，﹣30，+25，﹣20，﹣5，+30，﹣25，+75． （1）他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还有多少米？ （2）登山时，5名队员全程都使用了氧气，且平均每人每米海拔变化要消耗氧气0.04升，则他们共使用了氧气多少升？ 【答案】（1）他们最终没有登上顶峰，他们离顶峰还有130米； （2）他们共使用了氧气120升． 【分析】（1）将题目中的数据相加即可； （2）先求出总路程，进而得出答案． 【解答】解：（1）+150﹣35+205﹣30+25﹣20﹣5+30﹣25+75＝370（米）， ∵370＜500， 500﹣370＝130（米） ∴他们最终没有登上顶峰，他们离顶峰还有130米． （2）|+150|+|﹣35|+|+205|+|﹣30|+|+25|+|﹣20|+|﹣5|+|+30|+|﹣25|+|+75|＝600（米）， 5×0.04×600＝120（升）， 答：他们共使用了氧气120升． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意是解题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•沙坪坝区校级月考）重庆洪崖洞民俗风貌区是国家级AAAA旅游景区，以其独特的吊脚楼建筑和璀璨的山城夜景闻名中外．每逢国庆黄金周，客流量巨大，预计单日客流量15万人．为确保游客安全体验，若单日客流量超过预计人数，则需景区管理部门启动临时管制措施．下表是国庆八天假期中每天旅游的人数变化：（正数代表超过预计人数，负数代表不足预计人数） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 差值 （万人） 1.5 0 4 2.5 1 ﹣1 ﹣1 ﹣2 （1）请问在哪几天需启动安全管控？这几天的客流量分别是多少？ （2）已知每1万名游客带来的经济收入约100万元，请问这8天的旅游总收入约为多少万元？ 【答案】（1）1日、3日、4日、5日需启动安全管控，这几天的客流量分别是16.5万人、19万人、17.5万人、16万人； （2）这8天的旅游总收入约为12500万元． 【分析】（1）根据题意，在表格中找出差值大于0的日期，再分别用这几天的差值加预计单日客流量计算即可得解； （2）根据表格及题意计算出1日到8日的总人数，再乘以100即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意知，1日、3日、4日、5日需启动安全管控， 1日客流量为：15+1.5＝16.5（万人）， 3日客流量为：15+4＝19（万人）， 4日客流量为：15+2.5＝17.5（万人）， 5日客流量为：15+1＝16（万人）， 答：1日、3日、4日、5日需启动安全管控，这几天的客流量分别是16.5万人、19万人、17.5万人、16万人； （2）根据表格及题意计算出1日到8日的总人数再乘以100可得： （15×8+1.5+0+4+2.5+1﹣1﹣1﹣2）×100＝12500（万元）， 答：这8天的旅游总收入约为12500万元． 【点评】此题考查了正数和负数，有理数的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•即墨区校级月考）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣6 ﹣10 ﹣18 +24 +22 +30 +28 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走　48　 km； （2）请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少km？ （3）已知汽油车每行驶100km需用汽油7升，汽油的价格为8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.6元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少元？ 【答案】（1）48； （2）60km； （3）这7天的行驶费用比原来节省197.4元． 【分析】（1）找出表格中最大和最小的数，求差得到最多的一天比最少的一天多走的路程； （2）先计算七天与标准路程差值的平均数，再加上标准路程50km得到平均每天行驶的路程； （3）分别计算汽油车和新能源车七天的行驶费用，再求差值得到节省的费用． 【解答】解：（1）最多的一天：+30，最少的一天：﹣18 30﹣（﹣18）＝48（km）， 故答案为：48． （2）先计算七天与标准路程差值的平均数，再加上标准路程50km得到平均每天行驶的路程可得： （﹣6﹣10﹣18+24+22+30+28）÷7 ＝（﹣34+104）÷7 ＝70÷7 ＝10， 50+10＝60（km）， 答：这七天平均每天行驶了60km． （3）七天总路程：60×7＝420（km）， 汽油车费用：420÷100×7×8＝235.2（元）， 新能源车费用：420÷100×15×0.6＝37.8（元）， 235.2﹣37.8＝197.4（元）， 答：这7天的行驶费用比原来节省197.4元． 【点评】本题主要考查了正负数的意义、平均数的计算以及费用的计算，熟练掌握正负数的运算和相关公式是解题的关键． 【题型4】新定义运算与规律探索 高频考点： 1.自定义运算符号的规则应用 2.乘方规律（如个位数字循环）与数列求和 3.拆项法与倒数法的创新应用 【例题4】．（2024-2025•金水区校级月考）若定义新的运算为，a⊕b＝ab﹣a﹣b，则（3⊗2）⊕ 　　 ． 【答案】． 【分析】根据，a⊕b＝ab﹣a﹣b，可以求得所求式子的值． 【解答】解：∵，a⊕b＝ab﹣a﹣b， ∴（3⊗2）⊕ ⊕ ⊕ ＝（）⊕ ＝（）（） ， 故答案为：，． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【变式题4-1】．（2024-2025•五华区校级模拟）观察下列算式：21＝2 22＝4 23＝8 24＝16 25＝32 26＝64 27＝128 28＝256…，根据上述算式中的规律，你认为22011的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题需先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出22011的末位数字． 【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16， 25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…则每四个数循环一次． ∴22011的末位数字是8． 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，根据题意找出规律是本题的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•二七区校级月考）阅读下面的计算过程，体会“拆项法”． 计算：． 解：原式＝[（﹣5）+（）]+[（﹣9）+（）]+（17）+[（﹣3）+（）] ＝0+（﹣1） 用上面的方法完成下列计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用“拆项法”计算即可； （2）利用“拆项法”计算即可． 【解答】解：（1）原式＝[（﹣3）+（）]+[（﹣1）+（）]+（2）﹣[（﹣2）+（）] ＝[（﹣3）+（﹣1）+2﹣（﹣2）]+[（）+（）（）] ＝0 ． （2）原式＝[（﹣2000）+（）]+[（﹣1900）+（）]+（4000）+[（﹣1）+（）] ＝[（﹣2000）+（﹣1900）+4000+（﹣1）]+[（）+（）（）] ＝0+（） ． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•金沙县期末）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）有理数除法计算以及乘法分配律的运用．通过将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简化计算过程，最终求出原式的值； （2）有理数的加减混合运算中的拆项法．考查学生对拆项法这种特殊运算方法的理解和运用能力，利用该方法将复杂的有理数加减运算简化． 【解答】解：（1）原式的倒数为： ＝﹣21， ∴； （2）原式 ． 【点评】本题考查了有理数运算四则混合运算相关考点，解题关键在于掌握特定运算方法并灵活运用，具体解题思路围绕材料所给方法展开． 第3部分 题错题型清单 【题型5】有理数加减法中的符号错误 易错点预警： 去括号时符号变化错误（如误写为） 带分数拆分时符号处理不当（如误拆为） 3.异号两数相加时绝对值相减错误 典型错误案例 计算： 错误解法：（正确答案应为-2，但中间步骤符号混乱，易导致后续同类题出错） 【例题5】．（2024-2025•庐阳区校级月考）把算式（﹣5）+（+4）﹣（+3）﹣（﹣1）写成省略括号的和的形式是（　　） A．﹣5﹣4﹣3+1 B．﹣5+4﹣3﹣1 C．﹣5+4+3+1 D．﹣5+4﹣3+1 【答案】D 【分析】利用有理数的加减法法则解答即可． 【解答】解：原式＝﹣5+4﹣3+1． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的减法运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【变式题5-1】．（2025春•肇源县期中）把﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9）写成省略加号和括号的形式后的式子是（　　） A．﹣6﹣7+2﹣9 B．﹣6+7﹣2﹣9 C．﹣6﹣7﹣2+9 D．﹣6+7﹣2+9 【答案】C 【分析】根据去括号的法则和有理数加减法的法则可以将题目中的式子写成省略加号和的形式，本题得以解决． 【解答】解：﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9） ＝﹣6﹣7﹣2+9， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，解答本题的关键是明确有理数加减混合运算的计算方法． 【变式题5-2】．（2024-2025•秦安县开学）（﹣20）+（+3）﹣（+5）﹣（﹣1）写成省略括号的和的形式为　﹣20+3﹣5+1　 ． 【答案】﹣20+3﹣5+1． 【分析】括号前面是正号则括号可以直接去掉，括号外面是负号去掉括号，则括号里面的各项要变号，． 【解答】解：（﹣20）+（+3）﹣（+5）﹣（﹣1）写成省略括号的和的形式为： ﹣20+3﹣5+1， 故答案为：﹣20+3﹣5+1． 【点评】考查了有理数的加减混合运算，即括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“﹣”号时，将括号连同它前边的“﹣”去掉，括号内各项都要变号． 【变式题5-3】．（2024-2025•卧龙区校级月考）阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：（）． 该杂志上的解法有如下两种方法： 解：方法1：原式（）． 方法2：原式的倒数＝（）（）×12＝4﹣3﹣5＝﹣4， 所以原式． 任务： （1）材料中的方法1是先求括号内的 　减法　 运算，再求括号外的 　除法　 运算．（填“加法”“减法”“乘法”或“除法”） （2）根据材料中的方法2计算：（）÷（）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意可知材料中的方法1是先求括号内的减法运算，再求括号外的除法运算； （2）利用材料中的方法2进行计算即可． 【解答】解：（1）材料中的方法1是先求括号内的减法运算，再求括号外的除法运算； 故答案为：减法，除法； （2）原式的倒数＝（）÷（）＝（）×（﹣15）10+12﹣1＝1， ∴（）÷（）＝1． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【题型6】乘除混合运算的顺序与倒数法误用 易错点预警： 乘除混合运算未按从左到右顺序计算（如误算为） 2.倒数法应用时忽略整体倒数（如仅对部分项取倒数） 3.分数除法转化为乘法时未同时取倒数 典型错误案例 计算： 错误解法：（正确答案应为3） 【例题6】．（2024-2025•栖霞区校级月考）计算： （1）42﹣（﹣38）+（﹣27）﹣65； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）﹣12； （2）16； （3）； （4）﹣11． 【分析】（1）根据有理数的加减法法则计算； （2）先确定符号，再按照顺序计算即可； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （4）根据乘法分配律计算即可． 【解答】解：（1）42﹣（﹣38）+（﹣27）﹣65 ＝42+38﹣27﹣65 ＝80﹣92 ＝﹣12； （2）原式； （3）原式 ； （4） ＝﹣28+30﹣27+14 ＝﹣55+44 ＝﹣11． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•虹口区校级月考）计算：． 【答案】． 【分析】先计算括号里的减法，再计算除法与乘法，最后计算加法；注意小数统一化为分数． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•张店区期中）【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知x≠0，所以，即， 所以32﹣2＝7，故的值为． 【类比探究】 （1）上题的解叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知，求的值． 【拓展延伸】 （2）已知，，，求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用“倒数法”取已知等式的倒数，整理得到x；将所求分式取倒数，利用配方法和整体代入的方法求得式子的值，最后取倒数即可得出结论； （2）将已知三个等式的左右两边分别相加得到的值，将所求的分式取倒数计算出结果，利用（1）中的方法即可得出结论． 【解答】（1）由 2知x≠0，所以， 即：x3． ∴x． ∴ ＝x25 ＝（x）2﹣2+5 ＝（）2﹣2+5 ． 故的值为． （2）∵abc≠0， ∴， ∵，，， ∴2（）， ∴． ∴． 【点评】本题主要考查了分式的加减法，倒数的意义，分式的乘除法，配方法，本题是阅读型题目，理解并熟练运用题干中的解题思想与方法是解题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•翠屏区期中）先计算，再阅读材料，解决问题： （1）计算： （2）认真阅读材料，解决问题： 计算：（） 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原式的倒数． 解：原式的倒数是： （） ＝（）×30 30303030 ＝20﹣3+5﹣12 ＝10 故原式． 请你根据对（2）题的理解，按照“先求倒数”的方法计算：（不是按“先求倒数”计算的不给分） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据题目中的例子，可以求出所求式子的值． 【解答】解：（1） 363636 ＝﹣8+27﹣14 ＝5； （2）原式的倒数是： （）÷（） ＝（）×（﹣24） （﹣24）（﹣24）（﹣24） ＝﹣6+10+4 ＝8， 故原式． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【题型7】含乘方的混合运算符号陷阱 易错点预警： 负数的奇次幂与偶次幂符号混淆（如误算为-16） 底数与指数的位置错误（如误写为） 乘方与乘法优先级混淆（如误算为） 典型错误案例 计算： 错误解法：（正确答案应为-11） 【例题7】．（2024-2025•九龙坡区校级月考）下列各式正确的是（　　） A．（﹣2）3＝（﹣3）2 B．﹣32＝（﹣3）2 C．（﹣3）3＝﹣33 D．﹣3×23＝（﹣3×2）3 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方和有理数的乘法的运算法则计算，逐项判断即可． 【解答】解：（﹣2）3＝﹣8，（﹣3）2＝9， ∴（﹣2）3≠（﹣3）2， 故A选项不正确，不符合题意； ﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9， ∴﹣32≠（﹣3）2， 故B选项不正确，不符合题意； （﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27， ∴（﹣3）3＝﹣33， 故C选项正确，符合题意； ﹣3×23＝﹣24，（﹣3×2）3＝﹣216， ﹣3×23≠（﹣3×2）3， 故D选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查有理数的乘方、有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•香坊区校级月考）下列计算正确的是（　　） A．﹣32＝9 B．﹣32＝﹣9 C．（﹣3）2＝﹣9 D．﹣（﹣3）2＝9 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方的计算法则计算即可． 【解答】解：A、﹣32＝﹣3×3＝﹣9，原选项计算错误，不符合题意； B、﹣32＝﹣3×3＝﹣9，原选项计算正确，符合题意； C、（﹣3）2＝（﹣3）×（﹣3）＝9，原选项计算错误，不符合题意； D、﹣（﹣3）2＝﹣9，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了有理数乘方，根据有理数乘方运算逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•鲤城区校级月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）﹣53； （2）34． 【分析】（1）利用有理数的乘法分配律求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【解答】解：（1）原式 ＝﹣30﹣20+45﹣48 ＝﹣53； （2）原式＝﹣4×（﹣8）﹣（﹣1）×2 ＝32+2 ＝34． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 【变式题7-3】．（2024-2025•朝阳区校级月考）计算 （1）（﹣1）+（﹣2）2×3﹣8÷（﹣2）； （2）． 【答案】（1）15； （2）． 【分析】（1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可求解； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可求解﹒ 【解答】解：（1）原式＝﹣1+4×3﹣8÷（﹣2） ＝﹣1+12+4 ＝15； （2）原式 ． 【点评】本题考查了含乘方的有理数混合运算，有理数的运算法则是“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的按括号指明的运算顺序进行计算”﹒ 【题型8】绝对值化简与方程的多解漏解 易错点预警： 绝对值方程未考虑的限制 含绝对值的代数式化简未分类讨论(如未分和) 3.数轴上两点距离问题漏解(如点B可能在点A左侧或右侧) 典型错误案例 解方程： 错误解法：，解得(漏解） 【例题8】．（2024-2025•芝罘区期末）若|x|＝3，|y|＝2，|x﹣y|＝y﹣x，则x+y的值是（　　） A．﹣5或﹣1 B．5或1 C．±1 D．±5 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义求得x＝±3，y＝±2，根据|x﹣y|＝y﹣x可得x﹣y≤0，进而分类讨论，代入进行计算即可求解． 【解答】解：根据题意可知，|x|＝3，|y|＝2， ∴x＝±3，y＝±2， ∵|x﹣y|＝y﹣x， ∴x﹣y≤0， ∴当x＝﹣3，y＝2时，当x＝﹣3，y＝﹣2时， 即x+y＝﹣3+2＝﹣1或x+y＝﹣3﹣2＝﹣5． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的加减法，绝对值，掌握有理数的加减法运算是关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•海门区校级月考）如果|a|＝3，|b|＝1，且a＜b＜0，那么（a﹣b）3的值是　﹣8　 ． 【答案】﹣8． 【分析】首先根据绝对值的性质可知a＝±3，b＝±1，再根据a＜b＜0，可知a＝﹣3，b＝﹣1，再把字母的值代入代数式计算求值即可． 【解答】解：由条件可知a＝±3，b＝±1， ∵a＜b＜0， ∴a＝﹣3，b＝﹣1， ∴（a﹣b）3 ＝[﹣3﹣（﹣1）]3 ＝（﹣3+1）3 ＝（﹣2）3 ＝﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】本题主要考查了绝对值、求代数式的值，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•玄武区校级月考）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝3，求的值．（说明cd表示c与d的乘积） 【答案】2或﹣4． 【分析】依题意得：a+b＝0，cd＝1，m＝±3，分类讨论：当m＝3时和当m＝﹣3时，将其值代入原式即可求解即可． 【解答】解：依题意得：a+b＝0，cd＝1，m＝±3， 当m＝3时，， 当m＝﹣3时，． 【点评】本题考查了相反数、倒数、绝对值及代数式求值，熟练掌握相反数、倒数、绝对值及代数式求值是解题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•环翠区校级月考）同学们都知道，|5﹣1|表示5与1差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；|3﹣（﹣2）|表示3与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为3与﹣2在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对|3﹣（﹣2）|进行变式得|3+2|，同样可以表示3与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）|3﹣（﹣2）|＝ 　5　 ； （2）|x﹣2|表示x与 　2　 之间的距离；|x+3|表示x与 　﹣3　 之间的距离； （3）当|x﹣2|+|x+3|＝5时，x可取整数 　﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2　 （写出所有符合条件的整数x）； （4）由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数x，|x+4|+|x﹣6|的最小值为 　10　 ． （5）当|x+4|+|x﹣6|＝20时，x＝ 　11或﹣9　 ． 【答案】（1）5； （2）2，﹣3； （3）﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2； （4）10； （5）11或﹣9． 【分析】（1）根据绝对值几何意义，计算即可求解； （2）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答； （3）根据绝对值几何意义和数轴即可求解； （4）根据绝对值几何意义和数轴即可求解； （5）根据绝对值几何意义和数轴，计算出范围，分类讨论，计算即可． 【解答】解：（1）|3﹣（﹣2）|＝|3+2|＝5． 故答案为：5； （2）|x﹣2|表示数轴上x与2这两点间的距离，|x+3|＝|x﹣（﹣3）|表示数轴上x与﹣3这两点间的距离． 故答案为：2，﹣3； （3）|x﹣2|+|x+3|＝5表示数轴上x到2和到﹣3的距离之和为5， 因为2﹣（﹣3）＝5， 所以﹣3≤x≤2， 则x可取整数有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2． 故答案为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2； （4）|x+4|+|x﹣6|表示数轴上x到﹣4和到6的距离之和， 当﹣4≤x≤6时，距离之和最小，为6﹣（﹣4）＝10． 故答案为：10； （5）|x+4|+|x﹣6|＝20时，x＞6或x＜﹣4， 当x＞6时，原方程去绝对值后为x+4+x﹣6＝20， 解得x＝11， 当x＜﹣4时，原方程去绝对值后为﹣x﹣4﹣x+6＝20， 解得x＝﹣9， 故答案为：11或﹣9． 【点评】本题考查了绝对值，熟练运用绝对值的几何意义和数轴是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $