精品解析：天津外国语大学附属滨海外国语学校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷

天津外国语大学附属滨海外国语学校 2025-2026学年高一上学期第一次质量检测 数学试卷 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本题共13小题，每小题5分，共65分） 1. 下列写法中正确的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设集合，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 0或或 5. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 7. 若R，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 9. 已知集合，，则集合、的关系是（ ） A. B.  C.  D. 无法确定集合、的关系 10. 设集合，U为整数集，（ ） A. B. C. D. 11. 已知A，B是非空集合，定义AB={x∣AB且}，若M={x∣-1≤x≤4}，N={x∣x<2}，则MN=（ ） A. {x∣-1≤x<2} B. {x∣2≤x≤4} C. {x∣x<-1或2≤x≤4} D. {x∣x≤-1或2<x≤4} 12. 设，，，则下列说法错误的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 13. 数学来源于生活，又服务于生活．钦钦和莎莎均两次购买同一种文娱用品时，钦钦不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；莎莎不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．假设所购物品的价格发生波动，则（ ） A. 两位中省钱小能手是钦钦 B. 两位中谁是省钱小能手与价格升降有关 C. 两位中省钱小能手是莎莎 D. 两位中谁是省钱小能手与购买数量有关 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 14. 已知集合，若，则实数的值为__________. 15. 设集合A满足，则满足条件的A有__________个. 16. 已知集合，那么___________． 17. 已知实数，满足，，则范围是____________ 18. 已知命题p：“，使得成立”为假命题，则a的取值范围为 _________ 19. 设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），都有且，则称是“和谐集”，则下列命题： ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集 ②集合是“和谐集” ③若都是“和谐集”，则 ④对任意两个不同的“和谐集”，总有 其中为真命题的是______． 三、解答题（本题共5小题，共55分） 20. 已知集合． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 21. 设集合，非空集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 22. 解答下列各题 （1）若，求的最小值． （2）已知，求的最小值． （3）已知且满足，求的最小值． 23. 已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； （3）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 24. 某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. （1）求的值； （2）将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （3）该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津外国语大学附属滨海外国语学校 2025-2026学年高一上学期第一次质量检测 数学试卷 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本题共13小题，每小题5分，共65分） 1. 下列写法中正确的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素和集合的关系，集合间的关系逐一判断即可. 【详解】根据集合和集合的关系用包含表示，故，， 空集没有元素，故，综上只有C正确. 故选：C 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集、补集的概念求解即可. 【详解】因为全集，，所以， 又，所以， 故选：D 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题否定规则直接写出即可. 【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题得， 命题“，”的否定为：，． 故选：D 4. 设集合，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 0或或 【答案】D 【解析】 【分析】由集合运算得，然后分、两种情况讨论，分别确定集合，即可求解. 【详解】，若，则， 因为，且， 当时，，，符合题意； 当时，，又，所以或，解得或； 综上可得实数的值为0或或. 故选： D 5. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的知识确定正确答案. 【详解】不等式成立的一个充分不必要条件是， 是的必要不充分条件， 是的非充分非必要条件， 是的充分必要条件. 故选：A 6. 如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素，分析该元素与集合、、的关系，可得结果. 【详解】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素，则，，， 所以，阴影部分区域所表示的集合为. 故选：C. 7. 若R，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】A.，不成立；B.作差法判断结论；C. ，可得到；D．时，不成立. 【详解】对于A，当时，不成立，A错误 对于B，，， ， ，，即，B正确 对于C，，所以若，则，C错误 对于D，当时，，D错误 故选：B 8. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 9. 已知集合，，则集合、的关系是（ ） A. B.  C.  D. 无法确定集合、的关系 【答案】C 【解析】 【分析】将集合、中的元素的表示形式改写，利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】因为， ， 对于集合，当为奇数时，设，则， 当为偶数时，设，则， 故. 故选：C. 10. 设集合，U为整数集，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由整数可分成被3整除、被3除余1和被3除余2，再结合补、并运算即可求解. 【详解】因为整数集，， 所以． 故选：A． 11. 已知A，B是非空集合，定义AB={x∣AB且}，若M={x∣-1≤x≤4}，N={x∣x<2}，则MN=（ ） A. {x∣-1≤x<2} B. {x∣2≤x≤4} C. {x∣x<-1或2≤x≤4} D. {x∣x≤-1或2<x≤4} 【答案】C 【解析】 【分析】先求出和，再根据的定义，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，集合 ，， 则，， 所以或， 故选：C 12. 设，，，则下列说法错误的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式证明选项AC正确，D错误；利用不等式证明选项B正确. 【详解】因为，，， 则，当且仅当时取等号，所以选项A正确； 因为， 故，当且仅当时取等号,即最小值，所以选项B正确； ， 当且仅当且即，时取等号，所以选项C正确； ， 故，当且仅当时取等号，即最大值，所以选项D错误． 故选：D． 13. 数学来源于生活，又服务于生活．钦钦和莎莎均两次购买同一种文娱用品时，钦钦不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；莎莎不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．假设所购物品的价格发生波动，则（ ） A. 两位中省钱小能手是钦钦 B. 两位中谁是省钱小能手与价格升降有关 C. 两位中省钱小能手是莎莎 D. 两位中谁是省钱小能手与购买数量有关 【答案】C 【解析】 【分析】计算两人购物的平均价格，比较大小即可. 【详解】设第一次所购物品的价格为，第二次所购物品的价格为， 钦钦单次购买物品的数量为，则钦钦两次所购物品的平均价格为． 设莎莎单次购买物品所花的钱数为，第一次购买物品的数量为，第二次购买物品的数量为， 则莎莎两次所购物品的平均价格为． 因为， 但，等号不能取到，所以钦钦两次所购物品的平均价格大于莎莎两次所购物品的平均价格， 故莎莎是省钱小能手． 故选：C. 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 14. 已知集合，若，则实数的值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】 因为，则或或，分别求，，时集合，根据集合元素的互异性，即可求解. 【详解】因为，则或或， 当时，，，符合题意； 当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，或（舍） 当时，，符合题意； 综上所述：或， 故答案为：或 15. 设集合A满足，则满足条件的A有__________个. 【答案】7 【解析】 【分析】根据给定条件，写出含有元素的集合的真子集即可. 【详解】由集合A满足，得含有元素的集合的真子集为： ， 所以满足条件的A有7个. 故答案为：7 16. 已知集合，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】，故， 故答案为： 17. 已知实数，满足，，则范围是____________ 【答案】. 【解析】 【分析】变形,利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，， 所以. 故答案为：. 18. 已知命题p：“，使得成立”为假命题，则a的取值范围为 _________ 【答案】 【解析】 【分析】把已知的特称命题转化为全称命题，结合二次函数的性质进行求解. 【详解】由题意可得，使得成立为真命题； 显然时，不合题意； 当时，则有，解得. 故答案为： 19. 设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），都有且，则称是“和谐集”，则下列命题： ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集 ②集合是“和谐集” ③若都是“和谐集”，则 ④对任意两个不同的“和谐集”，总有 其中为真命题的是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】命题①可举出实例；命题②③利用集合新定义可进行推导；命题④可举出反例. 【详解】对于①，根据题意是“和谐集”，又是有限集，为真命题； 对于②，设，则，， 所以集合是“和谐集”，为真命题； 对于③，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，真命题； 对于④，取，，都是“和谐集”， 但5不属于，也不属于，所以不是实数集，假命题. 故答案为：①②③ 三、解答题（本题共5小题，共55分） 20. 已知集合． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或 【解析】 【分析】（1）求出集合A和，然后根据集合的交集、并集和补集运算即可求解； （2）由，分和讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意有，，又， 所以，或， 所以或. 【小问2详解】 当时， 当时，，即， 当时，或，解得， 综上，时，或， 21. 设集合，非空集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）1或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，由，得，由此即可求解. （2），从而，当为单元素集时，，当为双元素集时，，由此列式即可求解. 【小问1详解】 ，即，解得或， 所以， 又，， 则， 即，解得或， 当时，，即，符合， 当时，， ，解得，，符合， 故或. 【小问2详解】 ，则， ①当为单元素集时，，化简得， 即，解得或， 当时，由（1）知，符合题意； 当时，， ，解得， 所以，不符合题意，舍去. ②当为双元素集时，， 所以，无解， 综上：实数的取值范围为. 22. 解答下列各题 （1）若，求的最小值． （2）已知，求的最小值． （3）已知且满足，求的最小值． 【答案】（1）8； （2）5； （3） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为，进而根据基本不等式求解即可； （2）将问题转化为，进而根据基本不等式求解即可； （3）利用，结合1的妙用和基本不等式即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【小问3详解】 因为且满足，所以且满足， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 23. 已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； （3）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得是的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. （2）由已知条件得集合的关系，然后按照和分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. （3）方法一：由题意，然后根据集合关系列不等式组求解即可． 方法二：由题意，先求时的取值范围，求解时按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解，最后利用补集思想求解即可. 【小问1详解】 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则． 当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，． 所以当时，，即实数的取值范围为． 24. 某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. （1）求的值； （2）将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （3）该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】（1） （2） （3）3万元 【解析】 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，当时，（万件）， 则，解得； 【小问2详解】 由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. 【小问3详解】 当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $