3.3.2 抛物线的简单几何性质 第1、2课时（弦长、直线与抛物线位置、平行垂直证明）同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单几何性质第1、2课时（弦长、直线与抛物线位置、平行垂直证明） 南宁市第三中学 命题教师：陶新军 一、单选题 1．若抛物线与直线交于，两点，则等于（    ） A． B．12 C． D．13 2．已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于点、两点，则等于（    ） A． B． C．1 D．4 3．过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与抛物线的一个交点,若,则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 二、多选题 5．已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．直线AQ与抛物线相切 D． 6．已知抛物线：的准线为，焦点为，为抛物线上的动点，过点作：的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为，则（   ） A．准线与圆相切 B．过点，的直线与抛物线相交的弦长为5 C．当，，三点共线时， D．满足的点有且仅有2个 7．已知斜率为的直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ） A．弦长度的最小值为 B． C．点，，共线 D．若则 三、填空题 8．已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为 . 9．已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则 ． 10．抛物线在处的切线方程为 ． 四、解答题 11．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，. (1)求的方程. (2)过的直线与相交于，两点，线段的垂直平分线与相交于，两点，若的斜率为1，求四边形的面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 3.3.2抛物线的简单几何性质第1、2课时（弦长、直线与抛物线位置、平行垂直证明） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A D D AC BD BC 1．C 【分析】联立直线与抛物线方程，利用弦长公式计算即得. 【详解】由消去y并整理得，， 设，，则，， .故选：C 2．A 【分析】求出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合抛物线定义进行求解即可. 【详解】抛物线：的焦点为，所以直线的方程为：， 直线的方程与抛物线方程联立得；， 设，所以， 抛物线的准线方程为：， 所以.故选：A 【点睛】本题考查了抛物线焦点弦的弦长，考查了抛物线定义的应用，考查了数学运算能力. 3．D 【分析】通过作图，可见直线与抛物线有且只有1个公共点的直线有两类：一类与抛物线对称轴平行，一类与抛物线相切，统计即得. 【详解】 如图，设过点的直线为，则当与轴平行时，与抛物线有一个公共点； 当直线和抛物线相切（有两条切线）时，直线与抛物线也只有一个公共点. 由画图可知，过点与抛物线有且只有1个公共点的直线有3条. 故选:D. 4．D 【分析】因为抛物线的准线为,是上一点,所以设点,,利用,求得,即可求得答案. 【详解】抛物线的准线的方程为,焦点为. 设点，，，即 可得: ,即 ,代入解得: 即: 由两点间距离公式可得: 故选:D. 【点睛】本题考查抛物线定义的应用,同时也考查了共线向量的坐标运算,解题的关键就是求出点 的纵坐标,考查运算求解能力,属于中等题. 5．AC 【分析】将代入抛物线可得，即可判断ABD,根据直线与抛物线联立后判别式为0，即可求解. 【详解】将代入中可得，故，,A正确，B错误， ,则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确， 由于轴，所以不成立，故D错误，故选：AC 6．BD 【分析】对于A，只需判断圆的半径是否等于1即可；对于B，联立直线的方程与抛物线方程，结合韦达定理，焦点弦公式即可判断；对于C，直接验算即可；对于D，联立直线的垂直平分线方程与抛物线方程，判断判别式是否大于0即可. 【详解】 对于A，抛物线的准线为，圆A的圆心在轴上，半径，准线l与圆A相离，A错误； 对于B，直线的方程为，代入得，弦长为，B正确； 对于C．当时，，C错误； 对于D，由抛物线的定义得，直线的垂直平分线方程为，代入得，点P有且仅有2个，D正确．故选：BD. 7．BC 【分析】设的方程为，，联立方程组，利用设而不求法可得，，结合弦长公式判断A，结合焦半径公式判断B，证明，判断C，结合面积公式转化条件，判断D. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设直线的方程为， 联立，化简可得，由已知， 方程的判别式， 设，则，， 所以为方程的两个根， 所以，，由抛物线定义可得，， 所以弦长度为， 故当直线的斜率存在时，弦长度的范围为，A错误； ，B正确； 由已知，，因为， 所以，所以点，，共线，C正确； 因为，，， 所以，故，所以， 易知，所以， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，代入，得，若点在第一象限，则， 若点在第四象限，则 D错误；故选：BC. 8． 【分析】由题意知，直线的斜率存在，由点差法及中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式求得直线方程. 【详解】设直线与抛物线的两个交点分别为，，将两点代入抛物线方程得 ，两式作差可得， 即，所以直线的斜率， 所以直线方程为，即. 故答案为： 9．2 【分析】根据抛物线定义表示焦点弦，结合通径公式，即可求解. 【详解】设交点坐标为，过的直线为， 与抛物线联立可得，，故． ， 故当时，动直线有且仅有一条，即，故．故答案为：2. 10． 【分析】设出切线，联立抛物线与切线消x得一元二次方程，由解出参数即可得切线方程. 【详解】设切线为，联立抛物线与切线消x得，由得，故切线为.故答案为：. 11．(1)抛物线C的方程为； (2)四边形的面积为. 【分析】（1）将点代入抛物线方程，求得，由可求得p的值，由此可得得C的方程； （2）由条件求的方程，联立方程组由抛物线焦点弦公式求，再求线段的垂直平分线的方程，利用设而不求法结合弦长公式求，由此可求四边形的面积. 【详解】（1）因为点在抛物线C上，所以，解得，所以点的坐标为，又，，所以，． 因为，所以，解得，故抛物线C的方程为； （2）由(1)可知，抛物线C的焦点的坐标为，又的斜率为1，故l的方程为， 联立方程组消去x，得．方程的判别式， 设，，则，，， 所以，，设线段的中点为，故点的坐标为． 所以， 又直线MN的斜率为，所以MN的方程为．即， 联立方程组，消去，得．方程的判别式， 设，，则，， 所以， 所以四边形的面积. 题号 难度 知识点 一、单选题 1 全部 求直线与抛物线相交所得弦的弦长 2 全部 求直线与抛物线相交所得弦的弦长 3 全部 判断直线与抛物线的位置关系 4 全部 直线与抛物线交点相关问题 二、多选题 5 全部 判断直线与抛物线的位置关系,利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题 6 全部 求直线与抛物线的交点坐标,求直线与抛物线相交所得弦的弦长 7 全部 求抛物线的切线方程,抛物线中的三角形或四边形面积问题 三、填空题 8 全部 抛物线的中点弦 9 全部 抛物线的通径问题 10 全部 求抛物线的切线方程 四、解答题 11 全部 直线与抛物线的位置关系,抛物线的弦长,抛物线焦点弦的性质 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $