福建省莆田第二中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

莆田二中2025-2026学年高二上学期数学10月月考试卷 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上。 1．在等差数列中，，则的前9项和（    ） A．36 B．48 C．56 D．72 2．直线l：（参数，）的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 4．已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 记为等比数列的前n项和，若，，则（    ） A．512 B． C． D． 6. 若数列满足，则该数列前2025项的乘积是（    ） A．2 B． C． D． 7．已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（    ）项. A．2026 B．2027 C．4048 D．4049 8．已知数列满足，，则的整数部分是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．对于直线，下列说法中正确的是（    ） A．的倾斜角不可能为 B．与垂直，则1 C．的一个法向量为时， D．时，不经过第二象限 10．已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．数列项的和为250 11. 已知数列，设，若满足性质：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”，下列结论正确的是（   ） A．若，则数列为“梦想数列” B．若数列是“梦想数列”，则常数 C．若数列的前n项和，则数列为“梦想数列” D．若数列是“梦想数列”，则为等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知数列满足，则的通项公式是 . 13. 为数列的前项和，，则 . 14. 已知数列满足，且，记，则的值为 .（其中[]为不超过实数的最大整数，如[]=1） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 已知数列中，为数列的前项和，是首项为1，公差为1的等差数列. (1)求数列的通项公式. (2)若，记数列的前项和，证明＜1. 16. 求适合下列条件的直线方程： （1）已知两直线 求过直线,交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； （2） 已知直线的方程为,直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于A,B两点，O是坐标原点,当△AOB的面积最小时，求直线的方程. 17. 已知数列的前项和，且 (1) 求数列的通项公式. (2) 设，记数列的前项和，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 18. 京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米． (1)求，请写出一个递推公式表示与之间的关系； (2)求数列的通项公式. (3)该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则估计至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？ （参考数据：，，，） 19. 已知正项数列满足,且.若整数能被整数整除，则称为的一个正约数.设的正约数个数为，将这个正约数从小到大排成一排，分别为,,,...,. (1) 证明：是等比数列. (2) 求的值. (3) 在和之间插入个数,使,,成等差数列.当时，求的值. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B D C C C A B ABD ACD ABD 1．A 【分析】由等差数列的性质和前项和公式可解得结果. 【详解】因为是等差数列，且，所以,其前9项和. 故选：A. 2．B 【分析】根据正弦函数的取值范围，结合直线斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】直线 ， 因为，所以，设直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 因为，所以，或. 故选：B. 3．D 【分析】设等比数列的公比为，由条件可得，，由此可判断，再判断的符号，结合等比数列性质得到结论即可. 【详解】设等比数列的公比为，， 因为，是方程的两个实数根， 所以，且，所以，， 又数列为等比数列，所以，由等比数列性质可得， 所以. 故选：D. 4．C 【分析】利用两条直线平行的条件得到得到或再判断即可得到结果 【详解】由直线，，当两条直线平行时，解得或， 当时，， 当时，是同一条直线，矛盾，舍去； 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 5. C 【详解】 ; =q4 =q4 ... ∴ 解得=16，∴ 6. C 【分析】利用数列的递推式求得，发现函数是有周期数列，再利用数列的周期性即可得解. 【详解】因为， 所以，， ，，， 所以是周期为4的周期数列，且， 又因为， 故. 故答案为：C. 7. A 【分析】由题设可得，，，等差数列为递增数列，进而得到，，进而结合单调性分析求解即可. 【详解】由， 则，，， 因此等差数列为递增数列， 而， ， 则时，，，即； 当时，，要使最小，则， 此时，数列为递增数列， 则随着的增大，增大，减小，增大，但，，则增大， 因此，当时，最小. 故选：A. 8. B 【分析】先证明单调递增，然后由已知等式拆分，从而完成求和，再确定出即得结论. 【详解】由，得， 所以数列为单调递增数列. ， 所以． 所以 ． 因为，，，，，所以， ，，所以的整数部分是2． 故选：B 9. ABD 【分析】由直线方程求得直线的斜率，斜率公式，直线垂直的条件进行判断各个选项． 【详解】对于A，直线的方程为，其斜率为，故直线的倾斜角不可能为，A正确； 对于B，两直线垂直，则,解得=1．B正确； 对于C，若的一个法向量为时，则的一个方向向量可取为， 故直线的斜率，因此，则．C错误； 对于D，由于，故直线的斜率，又恒过定点，所以不经过第二象限．D正确. 故选：ABD. 10. ACD 【详解】已知数列的前项和为，且满足. 步骤1：求首项 时，， 步骤2：推导递推关系并构造等差数列 时， 由得 = 化简得 + 两边同除，得 因此，数列是首项为，公差为1的等差数列。 步骤3：求通项公式 由等差数列通项公式，,故 步骤4：求前项和 代入得 步骤5：验证选项 选项A：，正确。 选项B：，错误。 选项C：，正确。 选项D：数列中，故： =|| 令||=0，得。前项和需分和讨论： 当时，，和为； 当时，，则前项和为： 因此，选项D正确。 ==最终答案== ACD 11. ABD 【分析】“梦想数列”的线性特征求得判断B；对于A，根据等差数列求和得，然后根据“梦想数列”的概念判断；对于C，，然后根据“梦想数列”的概念判断；根据“梦想数列”的概念得，通过构造递推式证明等差数列即可判断D. 【详解】若是“梦想数列”，则①， 交换i，j的位置②，， ，B正确． 对于A，若，对两两不等的正整数i，j，k 符合条件， 为“梦想数列”，A正确． 对于C，，取，，，， 不为“梦想数列”，C错． 对于D，令，，记为数列的前n项和，是“梦想数列”， ， ①， 时，②， ， （且），而时，上式也成立 对恒成立，为等差数列，D正确. 故选：ABD． 三、填空题 12. 【详解】已知数列满足 步骤1：求首项 当时，等式左边仅含第一项，即 步骤2：推导时的递推关系 设,① 时,② ①②得 2，=， 步骤3：验证首项并整合通项公式 时，故 13.904 【分析】已知数列数列满足，且递推关系，要求前43项和。需分奇偶项讨论递推关系，寻找规律。 【详解】 步骤1：当为奇数时，设 此时，递推式变为：① 步骤2：当为偶数时，设 此时，递推式变为：② 步骤3：联立①②消去，求奇数项规律 ，∵ ∴==1 步骤4：求偶数项的表达式 由①及奇数项通项：即1，得 = 故 步骤5：计算（共43项，含22个奇数项，21个偶数项） 14. 18 【分析】由题意，分类讨论即可得到，通过放缩得到即可得解. 【详解】因为， 所以，，又， 所以，， 所以当时，， 当时，， 综上所述，， ， 注意到，， 所以 ， 故. 故答案为：18. 四、解答题 15. (1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据的条件求出，再根据求出的通项公式； （2）使用裂项相消法求出，再根据表达式可判断出的范围． 【详解】（1）由已知有，所以，解得， 当时，， 又满足上式，所以． （2） ， 所以， 因为，所以， 16.（1）；（2） 【分析】（1）先求两直线的交点，再根据截距相等设截距式，再将P点代入，进而得直线方程； （2）先确定直线过定点，再求出与坐标轴正半轴交点的坐标表达式，结合面积最小利用基本不等式计算即可求周长. 【详解】（1）联立方程，解得；所以P点坐标为(1) ∵直线在两坐标轴上的截距相等， ①当直线经过原点时，设直线的方程为,将P(1)代入，解得 故所求直线方程为； ②当直线不经过原点时，可设,将P(1)代入得，，解得 故所求直线方程为,即 （2）由可得，， 令，解得，所以直线过定点． 由题意可设直线的方程为，直线与轴、轴正半轴的交点分别为， 令，得；令，得． 所以△AOB的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时△AOB面积最小， ∴直线的方程为，即. 17. (1) (2) 【分析】（1）由数列的通项与求和的关系，以及等比数列的通项公式，可得所求. （2）由数列的裂项相消求和，可得，再由参数分离和不等式恒成立思想，结合数列的单调性，可得所求取值范围. 【详解】（1）当时，，，解得， 当时，由，可得，相减可得，对也成立， 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 所以，数列的通项公式为. （2）， 则 两式相减可得： , 整理可得, 若对任意的，恒成立,即为恒成立， 设，则，当时，即时，所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，， 当时，，所以， 所以的取值范围为. 18. (1)（万立方米），. (2)，理由见解析. (3)至少到年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 【分析】（1）根据题意可得及递推关系； （2）假设存在，则有，据（1）中的递推关系可求，再证明此时为等比数列； （3）令，根据题设中给出的数据可得至少到年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 【详解】（1）（万立方米）， 又即. （2）若存在实数，使得数列为等比数列， 则存在非零常数，使得，整理得到， 而，故即. 当，则， 而，故即， 故为等比数列，故存在常数，使得为等比数列. ∴是首项为，公比为的等比数列， 故即； （3） . ∴为递增数列 令，则， 当时，， 当时，， 故至少到年才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 19．(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)； 【分析】（1）根据题意整理可得，结合等比数列定义分析判断； （2）利用累加法可得，结合题意分析可知，即可证明结论； （3）根据题意结合等差数列可得，利用裂项相消法分析求解. 【详解】（1）因为，整理可得， 且，可得， 则，所以是等比数列. （2）由（1）可知：，且， 当时，则 ， 且符合上式，所以， 可知整数只能被正整数整除， 即的正约数为，个数为， 所以为定值. （3）由（2）可知：， 因为成等差数列， 则 ， 当时，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $