函数的图象与零点讲义-2026届高三数学一轮复习

（一）　函数的图象学案　　　　　　　　　　　　　　　　 例1 例2 (1)答案　B解析　由题知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=-(-x)2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,函数图象关于y轴对称,排除A,C; f(1)=-1+sin 1>-1+sin =-1+->0,排除D. (2)答案　D解析　因为f(x)=|ln |x||的定义域为{x|x≠0}, 所以y=-f(-x+1)的定义域为{x|x≠1},所以排除A,C.因为f(x)=|ln |x||≥0,所以y=-f(-x+1)≤0,所以排除B.故选D. (3)答案　BCD解析　当a=0时,f(x)=是偶函数, 当x>0时,f(x)单调递减,此时对应的图象可能是C. 当a>0时,f(x)的定义域为R,令f(x)=0,得x=-<0,f(-x)=,f(x)为非奇非偶函数, 且f'(x)=,令-ax2-2x+a2=0,则Δ=4+4a3>0, 设方程的两根分别为x1,x2(x1<0<x2),所以当x∈(-∞,x1)时,f'(x)<0,当x∈(x1,x2)时,f'(x)>0,当x∈(x2,+∞)时,f'(x)<0, 即函数f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增, 由单调性判断此时对应的图象可能是B.当a<0时,易知f(x)为非奇非偶函数, f(x)在x=±处无定义,取a=-2,此时f(x)=,f=0, 又f'(x)=>0,所以当x<-时,f(x)>0且f(x)单调递增, 当x>时,f(x)<0且f(x)单调递增,当-<x<时,f(x)单调递增,此时对应图象可能是D. 对于A,由于图象无间断点,故a>0,但此时f(x)在(-∞,0)上不可能恒正,故错误.故选BCD. (4)答案　A解析　由题图可知,函数f(x)为偶函数,且定义域不是全体实数,故排除B,C. D中,当x>1时,f(x)=-,f'(x)=>0,则f(x)在(1,+∞)上单调递增,故排除D. (5)答案　B 例3 答案　C解析　根据奇函数的图象特征,作出f(x)在(-∞,0)上的图象,如图所示, 由x2f(x)>2f(x),得(x2-2)f(x)>0,则或解得x<-2或-<x<0或<x<2,故不等式的解集为(-∞,-2)∪(-,0)∪(,2). 例4 （1）答案　B解析　因为f(x)+x2是奇函数,f(x)-x是偶函数,所以 得f(x)=x-x2.g(x)=当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],所以g(x)=2g(x-1)=2f(x-1).同理,当x∈(2,3]时,g(x)=2g(x-1)=4g(x-2)=4f(x-2).以此类推,可以作出g(x)的图象如图所示. 结合图象可得,当x∈(4,5]时,g(x)=16f(x-4),由g(x)≤3,得16(x-4)(5-x)≤3,解得x≤或x≥.因为对任意的x∈[0,m],g(x)≤3恒成立,所以0<m≤,所以实数m的最大值为. 例4 （2）答案　(-∞,5) 解析　∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=|x-a|-a, ∴f(x)=∵f(x)为R上的“20型增函数”,∴f(x+20)>f(x)在R上恒成立.①当a≤0时,由f(x)的图象(如图1)向左平移20个单位长度得f(x+20)的图象, 显然f(x+20)的图象在f(x)图象的上方,满足f(x+20)>f(x). ②当a>0时,由f(x)的图象(如图2)向左平移20个单位长度得到f(x+20)的图象,要保证f(x+20)的图象在f(x)图象的上方,需满足2a-20<-2a,可得0<a<5.综上可知,a的取值范围是(-∞,5). （二）　函数与方程学案答案　　　　　　　　　　　　　　 例1 (1)【答案】B(2)n=2 　　 例2(1)B　(2)答案　6 解析　令36-x2≥0,解得-6≤x≤6,∴f(x)的定义域为[-6,6].令f(x)=0得36-x2=0或cos x=0, 由36-x2=0得x=±6,由cos x=0得x=+kπ,k∈Z,又x∈[-6,6],∴x为-,-,,.故f(x)共有6个零点. (3)答案　C解析　由奇函数可知f(2-x)=f(x)=-f(-x),即f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 则f(x)是周期为4的周期函数,又由f(2-x)=f(x),得f(x)的图象关于直线x=1对称,作出函数y=|log9x|与函数y=f(x)的大致图象如图所示,结合图象可知,共有5个交点,即方程实根的个数为5. 例3.(1)【答案】D令， 原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 例3.(2)【答案】 (1,4) 详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为. 例3.(3)答案　B解析　令f(x)=(x2-4x+m)(-m-1)=0,得m=-x2+4x或m=-1. 作出g(x)=-x2+4x,h(x)=-1的图象,如图所示. 这两个函数图象的交点坐标为(0,0),(3,3), 因为g(x)max=4,h(x)>-1,所以由图可知m的取值范围是(-1,0)∪(0,3)∪(3,4). 故整数m=1或2,即整数m的取值个数为2. 例3.(4)答案　(-1,0]解析　作出函数y=f(x)=的图象如图所示. 由x+=3可得x=,由-|x|+3=2可得x=-1(正值舍去), 则-1<x1≤0,≤x2<1,1<x3≤.由3+x1=x2+=x3+=a, 可得x3=,x1=x2+-3,可得==x2+-3=a-3, 由图可得2<a≤3,则-1<a-3≤0,故所求取值范围为(-1,0]. 例3.(5)【答案】D【详解】注意到，所以要使恰有4个零点， 只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.而，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 例3.(6)答案】A【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，由可得，由可得， （1）时，当时，有4个零点，即； 当，有5个零点，即； 当，有6个零点，即； （2）当时，， ，当时，，无零点； 当时，，有1个零点； 当时，令，则，此时有2个零点； 所以若时，有1个零点.综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足 或或，则可解得a的取值范围是. 例3（7）D【详解】由不等式（），令，， ，当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，，且当时，恒有，函数，表示恒过定点，斜率为的直线， 在同一坐标系内作出函数的图象和直线，如图，    因不等式（）有且只有两个整数解，观察图象知，-1和0是不等式解集中的两个整数， 于是得，即，解得，所以实数a的取值范围是. 例4（1）①③④【详解】不妨设， 因为，所以，记， 如图，作出函数的图象，   设函数交点的纵坐标为， 函数交点的纵坐标为，由图可知， 当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 综上所述的关系可能是，，，，， 例4（2）A【详解】因为是方程的解，所以是函数与交点的横坐标； 又是方程的解，所以是函数与交点的横坐标； 因为函数与互为反函数，所以函数与图像关于直线对称， 又的图像关于直线对称，因此，，两点关于直线对称，所以有，因此. 例4（3）A【详解】画出函数的大致图象如下：   根据图象可得：若方程有四个不同的解，，，，且， 则，，，.， ，， 则. 令，，而函数在单调递增，所以，则. 例4（4）D【详解】由得，作出和的图象，如图，它们关于点对称，由图象可知它们在上有8个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以8个点的横坐标之和为． 例4（5）A详解：作出函数的图象，如图所示，若，且， 则当时，得，即， 则满足， 则，即，则， 设，则， 当，解得，当，解得， 当时，函数取得最小值， 当时，； 当时，， 所以，即的取值范围是，故选A. 例5(1)答案　B解析　依题意,函数g(x)=f(f(x)-1)零点的个数,即为方程f(f(x)-1)=0根的个数,令f(x)-1=t,则f(t)=0,当t>0时,ln t-=0,令h(t)=ln t-,t>0,因为函数y=ln t,y=-均在(0,+∞)上单调递增,所以函数h(t)在(0,+∞)上单调递增, 又h(1)=-1<0,h(e)=1->0,则存在t1∈(1,e),使得h(t1)=0.当t≤0时,令-|t+1|+1=0,解得t=0或t=-2, 作出函数f(x)=的大致图象,如图. 又f(x)-1=t,则f(x)=t+1.当t=0时,f(x)=1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=1有2个根; 当t=-2时,f(x)=-1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=-1有2个根; 当t=t1,t1∈(1,e)时,f(x)=t1+1∈(2,e+1),由y=f(x)的图象知,方程f(x)=t1+1有1个根. 综上所述,函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为5. (2)答案　[-1,+∞)解析　设t=f(x),令f(f(x))-a=0,则a=f(t).在同一坐标系内作y=a,y=f(t)的图象(如图). 当a≥-1时,y=a与y=f(t)的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1),则t1<-1,t2≥-1. 当t1<-1时,t1=f(x)有一解;当t2≥-1时,t2=f(x)有两解.综上,当a≥-1时,函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点. （3）【答案】 【详解】当时，， 当时，恒成立，设，令，可解得， 令，即，解得或，即当时，函数有个零点； 当时，由可知， 当时，恒成立，所以令，，即，方程有个解， 即当时，函数有个零点，不成立； 当时，当时在上单调递增，在单调递减， 且时，， 令，解得或，即或， 又有且只有一解，则只能有两个解，即，解得， （4）【答案】 【详解】令，则，若，可得，解得或； 若，可得，无解；综上所述：或，即或，由题意可知：与、共有3个不同的交点， 作出的图象，如图所示， 显然，可得或， 解得或，所以实数m的取值范围为. （5）【答案】A【详解】由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b）其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数 因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为 “存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”， 即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]， ∵y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称， ∴y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y=x上， 由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]， 根据，化简整理得ex=x2﹣x+a 记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象， 可得，即，解之得1≤a≤e 例6（1）答案】【详解】设，则，，得， 当单调递增，当单调递减， 当时，函数取得最大值1，如图1，画出函数的图象， 由，即，则恒过点， 如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点， 则，得，即切点，所以切线方程为， 如图2，则与有2个交点，， 如图可知，若函数恰有三个零点，则，， 则，所以，综上可知，． 例6（2）【答案】 【详解】由题意可知的实数解可以转化为或的实数解， 即与或的图象交点的横坐标， 当时，，则， 所以时，，所以在上单调递增，当时，，可得在上单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，且； 作出函数的大致图象如下图所示：   所以当时，由图可知与无交点，即方程无解； 与有两个不同的交点，即有两个实数解； 当时，， 令，则，则， 作出大致图象如下图所示：    因为当时，与有两个不同的交点，所以只保证与及共有四个交点即可， 所以只需，解得，即可得正实数的取值范围. （3）【答案】 【详解】令， 解得或.函数的图象如下： 要使有3个不同的零点，则函数的图象与直线和一共有3个交点， 由图可知当，即时，函数的图象与直线有1个交点，与直线有2个交点，符合题意. （4）【答案】C【详解】令，作出函数的图象如下图所示： 由于方程至多两个实根，设为和， 由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为、、， 由于关于的方程有个不同实数解， 则关于的二次方程的一根为，则，可得， 则方程的另一根为， 直线与函数图象的交点个数必为，则，解得.因此，且. （5）【答案】A【详解】作函数的图象如下：       由函数图象可知：要使关于x的方程有6个不同的实数根， 设，则关于t的方程在有两个不同的实数根， 因此 ，解得，所以实数a的取值范围为. （三）　函数的模型及其应用学案 例1【答案】B【详解】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以，所以天. 例2【答案】B【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 例3．【答案】ACD【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即，所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即，所以且，可得，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即，可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：，且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 例4、答案　C解析　设需经过x小时, 由已知得1.2×0.8x<0.2,所以x>=≈=≈8.022,所以x>8.022. 例5、答案　C解析　该企业每年利润f(x)= 当0<x≤40时,f(x)=-x2+60x-25=-(x-30)2+875, 当x=30时,f(x)取得最大值875; 当x>40时,f(x)=920-≤920-2=720(当且仅当x=100时,等号成立),即当x=100时,f(x)取得最大值720.由于875>720,所以该企业每年利润最大值为875万元.故选C 学科网（北京）股份有限公司 $