精品解析：山东省德州市宁津县育新中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

育新中学2025—2026学年上学期 九年级数学第一次素养监测 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住：化简后的方程：含有“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断即可． 【详解】解：A、是关于的一元二次方程，故符合题意； B、是二元一次方程，不是关于的一元二次方程，故不合题意； C、是一元一次方程，不是一元二次方程，故不合题意； D、中是分式，不是整式，因此不是一元二次方程，故不合题意． 故选：A． 2. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的配方法，把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 3. 顶点，且开口方向、形状与函数的图像相同的抛物线是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质及顶点坐标求解． 【详解】解：A、顶点为 ，不符合题意； B、顶点为，且开口方向、形状与函数的图像相同，符合题意； C、顶点为 ，不符合题意； D、顶点为 ，不符合题意； 故选：B 【点睛】此题考查二次函数的性质、二次函数的图像，解答关键是明确二次函数的性质，利用二次函数的知识解答． 4. 某人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式计算出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是解决本题的关键． 【详解】解：根据题意可知：第一轮传染后的感染人数为：人， 第二轮传染后的感染人数为：人， 故可列方程为：， 故选：D． 5. 如表是一组二次函数的自变量和函数值的关系，那么方程的一个近似根是（ ） 1 2 3 4 3 9 A. 1.2 B. 2.3 C. 3.4 D. 4.5 【答案】B 【解析】 【分析】由表格可得抛物线与轴的一个交点在和之间，进而求解． 【详解】解：由表格时，，时，， ∴的一个解在2与3之间， ∴的一个近似解是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程的关系等知识点，解题的关键是一元二次方程的解为其对应二次函数图像与x轴交点的横坐标． 6. 函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，熟记一次函数与二次函数的图象并逐一判断选项图象是解本题的关键． 【详解】解：当时，直线过一、二、三象限，抛物线开口向上；对称轴为轴， 当时，直线过一、二、四象限，抛物线开口向下，对称轴为轴， 可得选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 7. 如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 8. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，正确得到离对称轴越远函数值越大是解题的关键．根据题意可得二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点都在二次函数的图象上，， ∴， 故选：B． 9. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 10. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若A，C两点的横坐标分别为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质．分别过，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， 所以，，，． 因为四边形是正方形， 所以，， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 即， 因为， 所以， 所以． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 函数是二次函数，则m的值为_______. 【答案】-1 【解析】 【分析】根据二次函数的定义得到，再进行计算即可得到答案. 【详解】根据二次函数的定义得到，则有，移项可得，因式分解得到，解得（舍去），，故答案为. 【点睛】本题考查二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义，由题意得到. 12. 将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，侧平移后的二次函数解析式为______．（写为顶点式即可） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答． 【详解】解：∵的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度， ∴新抛物线对应的函数解析式为， 即， 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足．则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程的判别式，熟记根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的判别式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，， ，，， ∵， ∴，即， 解得：，， 当时，， ∴此时方程无实数根，不合题意，舍去， 当时，， ∴此时方程有两个不相等实数根， ∴， 故答案为：． 14. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车最远要滑行___________才能停下． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对函数式变形，从而取得最值．由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【详解】解：依题意，该函数关系式化简为， 当时，汽车停下来，滑行了16米， 汽车最远要滑行16米才能停下， 故答案为：16． 15. 二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为________． 【答案】1或3 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键．由抛物线图象经过点，对称轴是直线，则抛物线一定经过点关于直线的对称点，从而可得答案． 【详解】解：由二次函数图象可得， 抛物线图象经过点，对称轴是直线， 则抛物线一定经过点关于直线的对称点， 当时，关于x的方程的两个解为：，． ∴方程的解为，； 故答案为：1或3． 16. 已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数图象与性质，求最短路径，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象性质． 把代入，求出解析式，作点关于直线的对称点，计算的长，即可求解． 【详解】解：把代入，则， 解得：， 二次函数解析式为：， 令，则， 故， ∵抛物线的对称轴为直线， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则， ， ∴此时的值最小， ∴此时周长有最小值， ， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共86分） 17. 解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，合理运用方法解一元二次方程是解决本题的关键． （1）把9移到方程的右边，利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）把移到方程的左边，利用完全平方公式解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 解得； 【小问2详解】 解： 解得； 【小问3详解】 解： 解得． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1）-2；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据判别式即可求出m的取值范围，进而得到答案； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意得，解得， ∴m的最小整数值为； （2）根据题意得， ∵， ∴， ∴，整理得，解得， ∵， ∴m的值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键． 19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）抛物线的对称轴为______； （2）当时求的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握相关性质是解题的关键． 根据二次函数的解析式和对称轴公式，可以求出抛物线的对称轴是； 因为二次函数的二次项系数为，可知抛物线开口向上，对称轴是直线，在范围之内，随着的增大而增大，分别求出当和时对应的值，从而得出的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是； 故答案为：直线； 【小问2详解】 解：中， 抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴当时，随着的增大而增大， 当时，可得：， 当时，可得：， 当时，． 20. 如图，要使用长为米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（中间的篱笆将长方形分成两个小长方形）． （1）如果要围成面积为平方米的长方形花圃，那么的长为多少米？ （2）能围成面积是平方米的花圃吗？如果能求出的长，如果不能说明理由． 【答案】（1）的长为米； （2）解：不能围成面积为平方米的花圃，理由如下， 设的长为米，则米， 根据题意得，， 整理得：， ∴， ∴方程无实数根， ∴不能围成面积为平方米的花圃． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设的长为 米，则 米，得，然后解一元二次方程并检验即可； （）根据题意得，通过判别式确定方程无实数根，可得不能围成面积为平方米的花圃． 【小问1详解】 解：设的长为 米，则 米， 根据题意得，， 整理得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为米， ∴，即， ∴米， 答：的长为米； 【小问2详解】 略 21. 某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）19元；250元 【解析】 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润=每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据二次函数的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用之平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【小问1详解】 解：设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． 【小问2详解】 解：设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250（元），此时定价为元． 答：定价为19元，最大利润为250元． 22. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：． 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 ①已知代数式，则A的最小值为______； ②将代数式化为的形式，并求出它的最大值． （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是5a米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； 【答案】（1）①；②， （2）， 甲菜地的面积， 乙菜地的面积， ， 因为，所以， 即， 所以． 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式分解因式，非负数的性质，理解题意是解题的关键． （1）①仿照材料的方法将代数式变形为，再利用非负数的性质即可求出最小值； ②仿照材料的方法将代数式变形为，再利用非负数的性质即可求出最大值； （2）用长方形面积公式分别表示出甲乙两块菜地的面积，再利用作差法比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：①， 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为，即的最小值为， A的最小值为； 故答案为：； ②， 因为，所以， 所以，当时，， 因此有最大值，最大值为24； 【小问2详解】 略 23. 如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为M，试判断的形状； （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使的面积为8，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）是直角三角形 （3）存在，点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）由抛物线与x轴交于，两点，得，将代入可得抛物线的解析式为； （2）由，得抛物线的顶点，即知，故是直角三角形； （3）设点P的横坐标为t，则由三角形的面积公式可表达的面积，建立关于t的方程，求出t即可． 【小问1详解】 解：由抛物线与x轴交于两点， 则函数关系式为：， ∴， 解得， ∴； ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 是直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 【小问3详解】 存在，理由如下： ∵， ∴， 设点P的横坐标为t，则， ∴的面积为：， ∴， 解得， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，坐标与图形的性质，勾股定理逆定理，三角形的面积，一元二次方程的解法等知识点，解决本题的关键是掌握二次函数的性质． 24. 数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： （1）【观察探究】 方程的解为：___； （2）【问题解决】 若方程有四个实数根，分别为、、、． ①a的取值范围是___； ②计算___； （3）【拓展延伸】 ①将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？画出平移后的图象并写出平移过程： ②观察平移后的图像，当时，直接写出自变量x的取值范围___． 【答案】（1） （2）①；②0 （3） ①由题意得：将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象，则平移后的函数图象如图所示： ； ② 【解析】 【分析】（1）由函数图象及方程可得当时，自变量x的值，则可看作直线与函数的图象交点问题，进而问题可求解； （2）①由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；②由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，即可求解； （2）①由函数图象平移可直接进行求解；②结合函数图象可求解x的范围问题． 【小问1详解】 解：由题意及图象可看作直线与函数的图象交点问题，如图所示： ∴方程的解为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，如图所示： ∴由图象可得若方程有四个实数根，则a的取值范围是； 故答案为：； ②由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称， 假设方程有四个实数根，从小到大分别为、、、， ∴， ∴； 故答案为：0 【小问3详解】 解：①略 ②由图象可得：当时，自变量x的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 育新中学2025—2026学年上学期 九年级数学第一次素养监测 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 顶点，且开口方向、形状与函数的图像相同的抛物线是（　　） A. B. C. D. 4. 某人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（ ） A. B. C. D. 5. 如表是一组二次函数的自变量和函数值的关系，那么方程的一个近似根是（ ） 1 2 3 4 3 9 A. 1.2 B. 2.3 C. 3.4 D. 4.5 6. 函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”表示为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若A，C两点的横坐标分别为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 函数是二次函数，则m的值为_______. 12. 将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，侧平移后的二次函数解析式为______．（写为顶点式即可） 13. 若关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足．则的值为_____． 14. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车最远要滑行___________才能停下． 15. 二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为________． 16. 已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是______． 三、解答题（共86分） 17. 解方程： （1） （2） （3） 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）抛物线的对称轴为______； （2）当时求的取值范围． 20. 如图，要使用长为米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（中间的篱笆将长方形分成两个小长方形）． （1）如果要围成面积为平方米的长方形花圃，那么的长为多少米？ （2）能围成面积是平方米的花圃吗？如果能求出的长，如果不能说明理由． 21. 某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 22. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：． 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 ①已知代数式，则A的最小值为______； ②将代数式化为的形式，并求出它的最大值． （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是5a米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； 23. 如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为M，试判断的形状； （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使的面积为8，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： （1）【观察探究】 方程的解为：___； （2）【问题解决】 若方程有四个实数根，分别为、、、． ①a的取值范围是___； ②计算___； （3）【拓展延伸】 ①将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？画出平移后的图象并写出平移过程： ②观察平移后的图像，当时，直接写出自变量x的取值范围___． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $