18.5分式方程——应用题导学案 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦分式方程应用题，通过课前预习（行程、工程等基础量问题）与情境问题结合，梳理解题步骤，衔接不同类型例题，构建从基础到复杂的学习支架。 其亮点在于步骤完整（审题至作答）、类型多样（行程、工程等四大类）、练习分层，助力学生通过找等量关系培养模型意识，结合实际问题提升应用意识，掌握用数学语言表达现实问题的方法。

分式方程应用题 一、学习目标 1.理解列分式方程解应用题的核心思路，能准确找出实际问题中的等量关系，区分与整式方程应用题的差异。 2.掌握列分式方程解应用题的完整步骤，包括设未知数、列方程、解方程、检验（含实际意义检验）、作答，提升建模能力。 3.能熟练解决行程、工程、利润、浓度等不同类型的分式方程应用题，灵活应对含参数、多等量关系的复杂问题，培养逻辑分析与数学应用能力。 二、课前预习 1.甲、乙两人走同一段路，甲用了 2 小时，乙用了 3 小时，若甲的速度为v千米 / 小时，则这段路的长度为______千米，乙的速度为______千米 / 小时。 2.一项工程，若单独由 A 队完成需要x天，则 A 队每天完成工程的______（工作效率）；若 A 队与 B 队合作，每天完成工程的，则 B 队每天完成工程的______，B队单独完成工程要_________天。 3.某商品的进价为 100 元，售价为 150 元，则利润率为______（用百分数表示）； 4.若某商品售价为 150 元，利润率为 20%，求利润多少？设原价为x元，则可列方程：__________________________。 5.思考：列分式方程解应用题解题步骤_____________________________________ 三、课堂学习 （一）探究新知 1.列分式方程解应用题的步骤梳理 结合课前预习与情境问题，师生共同总结列分式方程解应用题的步骤： （1）审题：仔细阅读题目，明确问题类型（如行程、工程等），找出已知量、未知量及关键信息。 （2）设未知数：根据未知量数量，合理设出未知数（直接设或间接设），注明单位。 （3）找等量关系：分析题目中的数量关系，找出能连接已知量与未知量的等量关系（核心步骤）。 （4）列分式方程：根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出分式方程。 （5）解方程：按照分式方程的解法，求出方程的解。 （6）检验：①检验解是否使分式方程的分母为零（排除增根）；②检验解是否符合实际问题的意义（如时间、速度、人数等不能为负数或零）。 （7）作答：根据检验结果，写出符合实际情况的答案，注明单位。 （二）例题讲解 类型一：行程问题（含相遇、追及、变速问题） 例 1 A、B 两地相距 360 千米，一辆轿车从 A 地开往 B 地，行驶 2 小时后，一辆货车从 B 地开往 A 地，货车的速度是轿车速度的。两车相遇时，轿车恰好行驶了全程的，求轿车与货车的速度。 解：设轿车的速度为x千米 / 小时，则货车的速度为千米 / 小时。 轿车行驶全程的即行驶的路程为，所用时间为小时。 货车行驶的路程为360 - 240 = 120千米，货车比轿车晚出发 2 小时， 所以可列数量关系式：轿车时间-2=货车时间 可列方程：____________________ 也可以由货车速度时间路程得到数量关系式：货车路程=速度×时间， 可列方程：____________________ 类型二：工程问题（含合作、效率变化问题） 例2首长到帐篷厂视察，布置赈灾生产任务，下面是首长与厂长的一段对话： 首长：为了支援灾区人民，组织上要求你们完成12000顶帐篷的生产任务． 厂长：为了尽快支援灾区人民，我们准备每天的生产量比原来多一半． 首长：这样能提前几天完成任务？ 厂长：请首长放心！保证提前4天完成任务！ 根据两人对话，问该厂原来每天生产多少顶帐篷？ 解：设该厂原来每天生产顶帐篷， 那么现在每天生产_______顶帐篷。 由保证提前4天完成任务！可得数量关系式：实际时间=计划时间-4 可列方程：________________________________ 类型三：销售问题（含折扣、利润率变化问题） 例 3某商厦进货员用80000元购进一定数量的A牌衬衫，非常畅销，后来又用176000元购进双倍数量的同品牌衬衫，只是单价比第一批贵了4元，商厦按每件58元销售，销路很好，最后剩下的150件按八折销售很快售完，问商厦这笔生意赚了多少元钱? 解：设第一次进了件衬衫，则第二次进了2件。 由“单价比第一批贵了4元”可得数量关系式：第二批单价-第一批单价=4元 可列方程：________________________________ 类型四：浓度问题（含稀释、混合问题） 例 4：现有浓度为 20% 的盐水 300 克，要将其配制成浓度为 15% 的盐水，需要加入多少克水？（浓度 = 溶质质量 / 溶液质量 ×100%） 解：设需要加入x克水。 原盐水中溶质（盐）的质量为 = 60克。 加入水后，溶液总质量为300 + x克，浓度为 15%，此时溶质质量仍为 60 克。 根据 “浓度公式”，可列方程:__________________________________ （三）课堂小结 1.列分式方程解应用题的核心是找准等量关系，需根据不同问题类型（行程、工程、利润等）梳理数量关系，常见的数量关系如行程问题中的 “路程 = 速度 × 时间”，工程问题中的 “工作量 = 工作效率 × 工作时间”。 2.不同类型应用题的解题技巧：行程问题、工程问题常常由“时间比什么多多少”作为等量关系列方程；利润问题需区分 “进价、售价、利润、利润率” 的关系，浓度问题紧扣 “溶质质量不变” 的核心。 4、 课堂练习 1.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的,这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快? 2.某次列车平均提速v km/h.在相同的时间内，列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度为多少? 3.八年级学生去距学校30 km的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了5 min,其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达.已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度. 4. 甲、乙两人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等.求甲、乙每小时各做零件多少个. 5. A,B两种机器都被用来搬运化工原料，A型机器比B型机器每小时多搬运30 kg,A型机器搬运900 kg所用时间与B型机器搬运600 kg所用时间相等，两种机器每小时分别搬运多少化工原料? 6. 王芳3h清点完一批图书的一半，刘伟加入清点另一半图书的工作，两人合作1.2h清点完另一半图书.刘伟单独清点这批图书需要几小时? 5、 课后练习 1. 李某承包了40亩菜地和15亩水田,根据市场信息,冬季瓜菜需求量大,他准备把水田改造为菜地,使改完后水田占菜地的10%，问应把多少水田改为菜地? 2．一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍,用这台机器收割10公顷小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用1小时,这台收割机每小时收割多少公顷小麦? 3. 两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快? 4. A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30Kg，A型机器人搬运900Kg所用时间与B型机器人搬运600Kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料? 5．甲、乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发, 甲、乙的速度比是3：4,结果甲比乙提前2 0分钟到达目的地. 求甲、乙的速度. 6. 某人骑自行车比步行每小时快8千米,坐汽车比骑自行车每小时快16千米,此人从A地出发,先步行4千米,然后乘坐汽车10千米就到在B地,他又骑自行车从B 地返回A地,结果往返所用的时间相等,求此人步行的速度. 7.　八年级学生去距学校10千米的博物馆参观,一部分同学骑自行车先走,过了20分钟后,其余同学乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍, 求骑车同学的速度. 8．上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元。 （1）求两批水果共购进了多少千克？ （2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $