1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版）

第一章　集合与常用逻辑用语 1.5 全称量词与存在量词 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　全称量词命题的否定 1．命题“实数都有算术平方根”的否定是____________________________． 解析：省略了全称量词“所有”，命题的否定是“存在一个实数没有算术平方根”． 存在一个实数没有算术平方根 1 2 3 4 5 6 知识对点练 4 2．写出下列全称量词命题的否定： (1)所有的长方形都是四边形； (2)任意实数x都是方程5x－12＝0的根； (3)对任意实数x，x2＋1≥0. 解：(1)命题的否定：存在一个长方形不是四边形． (2)命题的否定：存在实数x不是方程5x－12＝0的根． (3)命题的否定：存在实数x，使得x2＋1＜0. 1 2 3 4 5 6 知识对点练 5 3．写出下列全称量词命题p的否定，并判断其真假． (1)p：所有矩形的对角线相等； (2)p：不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实数根； (3)p：∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解． 1 2 3 4 5 6 知识对点练 6 知识点二　存在量词命题的否定 4．写出下列存在量词命题p的否定，并判断其真假． (1)p：∃x>1，x2－2x－3＝0； (2)p：有些自然数是奇数； (3)p：有些平行四边形不是矩形． 1 2 3 4 5 6 知识对点练 7 1 2 3 4 5 6 知识对点练 8 知识点三　利用全称量词命题的否定、存在量词命题的否定求参数的取值范围 6．已知命题p：∀1≤x≤2，x≤a＋1，命题q：∃1≤x≤2，一次函数y＝x＋a的图象在x轴下方． (1)若命题p的否定为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p为真命题，命题q的否定也为真命题，求实数a的取值范围． 1 2 3 4 5 6 知识对点练 9 解：(1)命题p的否定为∃1≤x≤2，x>a＋1， ∵命题p的否定为真命题，∴a＋1<2， ∴a<1，即实数a的取值范围为{a|a<1}． (2)若命题p为真命题，则a＋1≥2，即a≥1. ∵命题q的否定为真命题， ∴“∀1≤x≤2，一次函数y＝x＋a的图象在x轴或x轴上方”为真命题． ∴1＋a≥0，即a≥－1， ∴实数a的取值范围为{a|a≥1}． 1 2 3 4 5 6 知识对点练 10 40分钟综合练 一、单项选择题 1．命题“∃x<0，x2－3x＋1≥0”的否定是(　　) A．∃x<0，x2－3x＋1<0 B．∃x≥0，x2－3x＋1<0 C．∀x<0，x2－3x＋1<0 D．∀x≥0，x2－3x＋1<0 解析：命题“∃x<0，x2－3x＋1≥0”的否定是“∀x<0，x2－3x＋1<0”．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12 2．命题“方程x2－x－2＝0有正根”的否定是(　　) A．∃x＞0，x2－x－2≠0 B．∀x＞0，x2－x－2≠0 C．∃x＜0，x2－x－2＝0 D．∀x＜0，x2－x－2＝0 解析：原命题即“∃x>0，x2－x－2＝0”，其否定为“∀x＞0，x2－x－2≠0”．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14 4．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为(　　) A．对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn都没有正整数解 B．对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解 C．存在正整数n≤2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解 D．存在正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解 解析：“对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解”的否定为“存在正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解”．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16 6．下列命题的否定为假命题的是(　　) A．∃x∈Z，1＜4x＜3 B．∃x∈Z，5x＋1＝0 C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∀x∈R，x2＋x＋2＞0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18 8．已知命题p：∃x∈{x|－3≤x≤2}，x∉{x|a－4≤x≤a＋5}，且綈p是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－3≤a≤1} B．{a|－5≤a≤0} C．{a|2≤a≤4} D．{a|0≤a≤3} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 22 11．命题p：“∃x∈{x|1≤x≤2}，x2－a>0”的否定为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a>4 B．a≤4 C．a≥5 D．a<5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 23 三、填空题 12．命题“任意x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________________________． 存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24 13．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是____________． {m|3≤m<8} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 25 14．若命题“∃x∈R，(c－2)x＋1≤0”为假命题，则实数c的取值集合是_____． 解析：因为命题“∃x∈R，(c－2)x＋1≤0”为假命题，所以该命题的否定“∀x∈R，(c－2)x＋1>0”为真命题，故c－2＝0，即c＝2. {2} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 26 解析：因为命题“∃m∈R，A∩B≠∅”为假命题，所以命题“∀m∈R，A∩B＝∅”为真命题，因为集合A＝{x|0≤x≤a}，当a<0时，集合A＝∅，符合A∩B＝∅；当a≥0时，因为m2＋2≥2，所以由∀m∈R，A∩B＝∅，可得m2＋2>a对任意m∈R恒成立，所以0≤a<2.综上所述，实数a的取值范围为{a|a<2}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 27 16．[多选]若集合A＝{x|x－1>2}，B＝{x|x<－1，或x>2}，则下列命题的否定为假命题的是(　　) A．∀x∈B，x∈A B．∃x∈B，x∉A C．∃x∈A，x∉B D．∀x∈A，x∈B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 28 解析：因为A＝{x|x>3}，B＝{x|x<－1，或x>2}，所以A⊆B.对于A，原命题的否定为“∃x∈B，x∉A”，当x<－1时，满足x∈B，x∉A，即原命题的否定为真命题，故A不符合题意；对于B，原命题的否定为“∀x∈B，x∈A”，当x<－1时，x∈B，x∉A，即原命题的否定为假命题，故B符合题意；对于C，原命题的否定为“∀x∈A，x∈B”，因为A⊆B，所以原命题的否定为真命题，故C不符合题意；对于D，原命题的否定为“∃x∈A，x∉B”，因为A⊆B，所以原命题的否定为假命题，故D符合题意．故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 29 17．若“∃x∈R，x2＋2x＋2＝m”的否定是假命题，则实数m的取值范围是________． 解析：因为“∃x∈R，x2＋2x＋2＝m”的否定是假命题，所以“∃x∈R，x2＋2x＋2＝m”是真命题，因此关于x的方程x2＋2x＋2－m＝0有实根，所以Δ＝22－4×1×(2－m)≥0，解得m≥1. {m|m≥1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 33 19．设全集为R，集合A＝{x|a－1<x<2a}，B＝{x|2<x≤5}． (1)在①A∩B＝∅；②A∪B＝B；③A∩B＝B这三个条件中任选一个作为条件，并求在该条件下实数a的取值范围；(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) (2)命题p：∀x∈A，y∈B均有x≠y，若綈p为真命题，求实数a的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 37 　　　　　　　　　　　　　 R 解：(1)綈p：有的矩形的对角线不相等．假命题． (2)綈p：存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实数根．真命题． (3)綈p：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．真命题． 解：(1)綈p：∀x＞1，x2－2x－3≠0.假命题． (2)綈p：所有的自然数都不是奇数．假命题． (3)綈p：所有的平行四边形都是矩形．假命题． 5．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x，y∈Z，eq \r(2)x＋y＝3. 解：(1)命题的否定：“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题． (2)命题的否定：“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题． (3)命题的否定：“∀x，y∈Z，eq \r(2)x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，eq \r(2)x＋y＝3，因此命题的否定是假命题． 3．若命题“∃x∉A，使eq \r(2)x∉B”为假命题，则下列命题一定为真命题的是(　　) A．∀x∉A，都有eq \r(2)x∉B B．∀x∈A，都有eq \r(2)x∉B C．∀x∉A，都有eq \r(2)x∈B D．∀x∈A，都有eq \r(2)x∈B 解析：因为命题“∃x∉A，使eq \r(2)x∉B”为假命题，所以其否定为真命题，即“∀x∉A，都有eq \r(2)x∈B”为真命题．故选C. 5．对下列命题的否定，说法错误的是(　　) A．p：任何一个实数乘以0都等于0；綈p：存在一个实数乘以0不等于0 B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形 C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∃n∈N，2n≤100；綈p：∀n∈N，2n>100 解析：C中綈p：所有的三角形都不是正三角形，故C错误． 解析：如果命题的否定为假命题，那么该命题为真命题．对于A，由1＜4x＜3，得eq \f(1,4)＜x＜eq \f(3,4)，这样的整数x不存在，故A为假命题，其否定为真命题，故A不符合题意；对于B，由5x＋1＝0，得x＝－eq \f(1,5)∉Z，故B为假命题，其否定为真命题，故B不符合题意；对于C，由x2－1＝0，得x＝±1，故C为假命题，其否定为真命题，故C不符合题意；对于D，对任意实数x，都有x2＋x＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(7,4)＞0，故D为真命题，其否定为假命题，D符合题意．故选D. 7．已知命题p：∀x∈R，x2≠－x－1，命题q：∃x≥－1，x3＋x2<0，则(　　) A．綈p为真命题 B．綈q为假命题 C．綈p为假命题，綈q为真命题 D．綈p和綈q均为假命题 解析：綈p：∃x∈R，x2＝－x－1，由x2＋x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3<0，可知方程无解，故綈p为假命题；綈q：∀x≥－1，x3＋x2≥0，因为x≥－1，所以x3＋x2＝x2(1＋x)≥0，即綈q为真命题．故选C. 解析：因为綈p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且綈p是真命题，所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－4≤－3，,a＋5≥2，))解得－3≤a≤1，即实数a的取值范围是{a|－3≤a≤1}． 二、多项选择题 9．已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是(　　) A．p是真命题 B．綈p：∀x∈R，x＋2>0 C．綈p是真命题 D．綈p：∃x∈R，x＋2>0 解析：当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由全称量词命题的否定可知，p：∀x∈R，x＋2≤0的否定为綈p：∃x∈R，x＋2>0，故B错误，D正确；綈p是真命题，故C正确．故选CD. 10．下列命题的否定为假命题的是(　　) A．对任意的x∈R，x2－x＋eq \f(1,4)≥0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0 解析：对于A，命题的否定为“存在x∈R，x2－x＋eq \f(1,4)<0”，由于x2－x＋eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)≥0，故是假命题，所以A符合题意；对于B，命题的否定为“至少存在一个正方形不是矩形”是假命题，所以B符合题意；对于C，命题的否定为“∀x∈R，x2＋2x＋2>0”，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以是真命题，所以C不符合题意；对于D，命题的否定为“对任意的x∈R，x3＋1≠0”，因为当x＝－1时，x3＋1＝0，所以是假命题，所以D符合题意．故选ABD. 解析：由题意可知，綈p：“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题，即∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，则a≥4，故其充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选项可知A，C符合题意．故选AC. 解析：改变量词：“任意x∈R”改为“存在x∈R”，否定结论：“|x－2|＋|x－4|>3”的否定为“|x－2|＋|x－4|≤3”．故题中命题的否定为“存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3”． 解析：∵p(1)是假命题，p(2)是真命题，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－m≤0，,8－m＞0，))解得3≤m＜8. 15．已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|m2＋2≤x≤m2＋4}，如果命题“∃m∈R，A∩B≠∅”为假命题，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|a＜－1} B．{a|a＜2} C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1＜a＜\f(5,2))))) D．{a|a＞6} 18．已知命题p：∀1≤x≤2，x2＋x－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2a＋a2＝0. (1)若綈p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若p和綈q均为真命题，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意，得綈p：∃1≤x≤2，x2＋x－a<0， 当綈p为真命题时，(x2＋x－a)min<0， 当1≤x≤2时，二次函数y＝x2＋x－a的图象开口向上，对称轴为直线x＝－eq \f(1,2)， 故当x＝1时，函数取得最小值， 即(x2＋x－a)min＝2－a<0，解得a>2， 故实数a的取值范围是{a|a>2}． (2)由(1)知，p为真命题时，a≤2. q为真命题时，Δ＝4a2－4(2a＋a2)≥0， 解得a≤0，所以綈q为真命题时，a>0. 所以由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤2，,a>0，))解得0<a≤2， 即实数a的取值范围为{a|0<a≤2}． 解：(1)若选①，因为A＝{x|a－1<x<2a}，B＝{x|2<x≤5}． 当A＝∅时，a－1≥2a，即a≤－1，此时满足A∩B＝∅； 当A≠∅时，由A∩B＝∅，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1<2a，,2a≤2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1<2a，,a－1≥5，)) 解得－1<a≤1或a≥6. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤1，或a≥6}． 若选②，因为A∪B＝B，所以A⊆B， 又A＝{x|a－1<x<2a}，B＝{x|2<x≤5}， 当A＝∅时，a－1≥2a，即a≤－1，此时满足A∪B＝B； 当A≠∅时，由A⊆B，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1<2a，,a－1≥2，,2a≤5，)) 化简可得方程组无解． 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－1}． 若选③，因为A∩B＝B，所以B⊆A， 又A＝{x|a－1<x<2a}，B＝{x|2<x≤5}， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1<2a，,a－1≤2，,2a>5，))解得eq \f(5,2)＜a≤3. 所以实数a的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＜a≤3)))). (2)若綈p为真命题，即∃x∈A，y∈B，使得x＝y成立， 则A∩B≠∅， 根据(1)①知，当A∩B＝∅时，实数a的取值范围为{a|a≤1，或a≥6}， 所以当A∩B≠∅时，实数a的取值范围为{a|1<a<6}． $