1.1 第1课时 集合的含义-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版）

第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 第1课时　集合的含义 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　集合的概念 1．下列对象能组成集合的是(　　) A．中央电视台著名节目主持人 B．π的近似值 C．某医院所有医生 D．上海的高楼 解析：对于A，“著名”无明确标准；对于B，“近似”的标准不确定；对于D，“高”的标准不确定，因而A，B，D均不能组成集合．对于C，“某医院所有医生”是确定的，能组成集合． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 4 解析：由于A，D中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 5 解析：①②正确；③④⑤不正确． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 6 4．已知集合A中的元素y满足y＝x2＋1，集合B中的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　) A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B C．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B 解析：集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，当x＝3时，y＝32＋1＝10，故(3，10)∈B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 8 6．已知不等式3x＋2＞0的解集为M. (1)试判断元素－1，0与集合M的关系； (2)若a－1是集合M中的元素，求a的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 9 知识点三　集合中元素特性的应用 7．下列说法中正确的是(　　) A．x2＋4＝4x的解集中包含两个元素2，2 B．联合国安理会常任理事国可以组成一个集合 C．将小于100的自然数按不同的顺序排列，可以得到无数个集合 D．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是9 解析：根据集合中元素的互异性，x2＋4＝4x的解集中只包含一个元素2，故A错误；根据集合中元素的确定性，联合国安理会常任理事国是确定的，能组成集合，故B正确；根据集合中元素的无序性，小于100的自然数，无论按什么顺序排列，构成的集合都是同一集合，故C错误；根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母有7个，所以该集合中的元素个数是7，故D错误． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 8．已知集合P中有三个元素－1，2a＋1，a2－1，若元素0是集合P中的元素，则实数a的值为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 11 9．方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集中含有几个元素？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 12 40分钟综合练 一、单项选择题 1．下列各组对象中不能构成集合的是(　　) A．正三角形的全体 B．所有的无理数 C．2025年全国高考数学试卷中的所有难题 D．不等式2x＋3>1的解 解析：因为A，B，D三项可以确定其元素，而C中难题的标准无法确定．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 14 2．已知集合A中含有三个元素1，a，a－1，若－2∈A，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－1 C．－1或－2 D．－2或－3 解析：由题意可知a＝－2或a－1＝－2，即a＝－2或a＝－1.经检验，均符合题意．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 16 4．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是(　　) A．1∈M B．0∈M C．－1∈M D．－2∈M 解析：由2∈M知，2是方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2，所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一个解为－1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 17 5．下列说法中不正确的是(　　) A．若a∈N，则－a∉N B．若a∈Z，则a2∈Z C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则a3∈R 解析：当a＝0时，a∈N，且－a∈N，故A不正确；显然B，C，D正确． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 18 6．若以方程x2＋2x－15＝0和x2－5x＋6＝0的解为元素构成集合M，则M中元素的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：方程x2＋2x－15＝0的解为x＝－5或x＝3，方程x2－5x＋6＝0的解为x＝3或x＝2，所以集合M中有3个元素． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 20 8．已知集合M有2个元素x，2－x，若－1∉M，则下列说法一定错误的是(　　) A．x≠3 B．x≠－1 C．2∈M D．1∈M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 21 二、多项选择题 9．若以集合A中的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 解析：因为集合中的元素具有互异性，所以a，b，c，d互不相等，所以以a，b，c，d为边长可以构成四边都不相等的梯形，但是不可能构成平行四边形、菱形和矩形．故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 22 解析：①当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；②当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；③当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；④当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1，∴集合A由元素－1，3组成，∴－1∈A，3∈A.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 25 三、填空题 12．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2，7)与点集P的关系为(2，7)_____P(填“∈”或“∉ ”)． ∈ 解析：直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y具有y＝2x＋3的关系，即只要具备此关系的点就是集合P的元素．由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，故(2，7)∈P. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 26 13．若由a，b，2组成的集合A与由2a，2，b2组成的集合B是同一个集合，则a＋b＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 27 14．已知集合A由a，b，c三个元素组成，集合B由0，1，2三个元素组成，且集合A与集合B中的元素相同．下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝_______． 201 解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，易知a≠0，b≠0，所以a＝b＝1，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，符合集合中元素的互异性，所以a＝2，b＝0，c＝1.所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 30 ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 34 19．已知集合A由a，a＋b，a＋2b三个元素组成，集合B由a，ac，ac2三个元素组成，若集合A与集合B相等，求实数c的值． 解：分两种情况进行讨论： ①若a＋b＝ac，a＋2b＝ac2，消去b，得a＋ac2－2ac＝0. 当a＝0时，集合B中的三个元素均为0，与集合中元素的互异性矛盾，故a≠0. 所以c2－2c＋1＝0，即c＝1，但c＝1时， B中的三个元素相同，不符合题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 13 14 15 16 17 18 19 12 36 　　　　　　　　　　　　　 R 2．[多选]下列各组中，集合P与Q表示同一个集合的是(　　) A．P是由元素1，eq \r(3)，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－eq \r(3)|构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合 C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合 D．P是由满足不等式－1≤x≤1的整数构成的集合，Q是由方程x(x＋1)(x－1)＝0的解构成的集合 知识点二　元素与集合的关系 3．给出下列关系：①eq \f(1,2)∈R；②eq \r(2)∉Q；③|－3|∉N；④－5∉Z；⑤0∈N＋.其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5．[多选]由不超过5的实数组成集合A，若a＝eq \r(2)＋eq \r(3)，则(　　) A．a∈A B．a2∈A C.eq \f(1,a)∈A D．a＋1∈A 解析：因为a＝eq \r(2)＋eq \r(3)<eq \r(4)＋eq \r(4)＝4<5，所以a∈A，A正确；因为a2＝(eq \r(2)＋eq \r(3))2＝(eq \r(2))2＋2eq \r(2)×eq \r(3)＋(eq \r(3))2＝5＋2eq \r(6)>5，所以a2∉A，B错误；因为eq \f(1,a)＝eq \f(1,\r(2)＋\r(3))＝eq \f(\r(3)－\r(2),（\r(2)＋\r(3)）（\r(3)－\r(2)）)＝eq \r(3)－eq \r(2)<5，所以eq \f(1,a)∈A，C正确；因为a＋1＝eq \r(2)＋eq \r(3)＋1<eq \r(4)＋eq \r(4)＋1＝5，所以a＋1∈A，D正确．故选ACD. 解：(1)∵3×(－1)＋2＝－1<0， ∴－1不是集合M中的元素，即－1∉M. 又3×0＋2＝2>0， ∴0是集合M中的元素，即0∈M. (2)∵a－1∈M，∴3(a－1)＋2>0，即3a－1>0，∴a>eq \f(1,3). 解析：依题意，2a＋1＝0或a2－1＝0，解得a＝－eq \f(1,2)或a＝±1.当a＝－eq \f(1,2)时，a2－1＝－eq \f(3,4)，符合题意；当a＝1时，2a＋1＝3，符合题意；当a＝－1时，2a＋1＝－1，不满足元素的互异性，舍去．综上，实数a的值为－eq \f(1,2)或1. －eq \f(1,2)或1 解：因为x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0， 所以方程的解为x1＝1，x2＝a. 若a＝1，则方程的解集中只含有一个元素1； 若a≠1，则方程的解集中含有两个元素1，a. 3．已知关于x的不等式－ax－a＋5<0的解集构成集合A，若2∈A，则实数a的取值范围是(　　) A．a>eq \f(5,3) B．a<eq \f(5,3) C．a<5 D．a<3 解析：由题意，知－2a－a＋5<0，解得a>eq \f(5,3).故选A. 7．由实数－a，a，|a|，eq \r(a2)所组成的集合最多含有的元素个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：当a＝0时，四个数都是0，组成的集合中只有一个元素0；当a≠0时，eq \r(a2)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a>0），,－a（a＜0），))所以一定与a或－a中的一个一致，故组成的集合中最多含有2个元素．故选B. 解析：依题意及集合中元素的互异性得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≠－1，,2－x≠－1，,x≠2－x，))解得x≠－1，x≠1且x≠3，故A，B正确；当x＝2或2－x＝2，即x＝2或x＝0时，M中的元素为0，2，故C可能正确；当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中的元素为1，1，不满足互异性，故D错误．故选D. 10．已知x，y都是非零实数，z＝eq \f(x,|x|)＋eq \f(y,|y|)＋eq \f(xy,|xy|)可能的取值组成集合A，则(　　) A．2∈A B．3∈A C．－1∈A D．1∈A 11．已知M是同时满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，则x－y∈M；③若x∈M且x≠0，则eq \f(1,x)∈M.下列结论中正确的是(　　) A.eq \f(1,3)∈M B．－1∉M C．若x，y∈M，则x＋y∈M D．若x∈M，则x2∈M 解析：∵0∈M，1∈M，则0－1＝－1∈M，∴1－(－1)＝2∈M，2－(－1)＝3∈M，由③得eq \f(1,3)∈M，故A正确，B错误；由①知0∈M，又y∈M，∴0－y＝－y∈M，∴x－(－y)∈M，即x＋y∈M，故C正确；易知当x＝0或1时，x2∈M，当x≠0且x≠1时，∵x，1∈M，则x－1∈M，由③可得eq \f(1,x)∈M，eq \f(1,x－1)∈M，∴eq \f(1,x)－eq \f(1,x－1)∈M，则eq \f(1,x（1－x）)∈M，∴x(1－x)∈M，即x－x2∈M，∴x2∈M，故D正确．故选ACD. 解析：若eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2a，,b＝b2，))则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1，))其中eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0))不符合集合中元素的互异性，舍去；若eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b2，,b＝2a，))则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)，))其中eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0))不符合集合中元素的互异性，舍去．故a＋b＝1或a＋b＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,4). eq \f(3,4)或1 15．若集合A中的元素x满足eq \f(8,7－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为(　　) A．3，5 B．2，6 C．3，6 D．3，5，6 解析：当x＝0，1，2时，eq \f(8,7－x)∉N，∴x＝0，1，2不满足题意；当x＝3时，eq \f(8,7－x)＝2∈N，∴x＝3满足题意；当x＝4时，eq \f(8,7－x)∉N，∴x＝4不满足题意；当x＝5时，eq \f(8,7－x)＝4∈N，∴x＝5满足题意；当x＝6时，eq \f(8,7－x)＝8∈N，∴x＝6满足题意；当x＞7时，eq \f(8,7－x)＜0不满足题意．∴集合A中的元素为3，5，6. 解析：当x＝eq \r(2)，y＝eq \r(2)时，z＝0，所以A不正确．当x＝eq \r(2)，y＝1时，z＝1；当x＝eq \r(3)，y＝1时，z＝2；当x＝eq \r(3)，y＝eq \r(2)时，z＝1，所以集合C中有3个元素0，1，2，集合C中所有元素之和为3，B，C，D都正确．故选BCD. 16．[多选]已知集合A由eq \r(2)，eq \r(3)两个元素组成，集合B由1，eq \r(2)两个元素组成，若x∈A，y∈B，z＝(x＋y)×(x－y)的所有可能取值构成集合C，则(　　) A．当x＝eq \r(2)，y＝eq \r(2)时，z＝1 B．x可取2个值，y可取2个值，z＝(x＋y)×(x－y)有4个式子 C．集合C中有3个元素 D．集合C中所有元素之和为3 17．非空集合A具有下列性质：(1)若x，y∈A，则eq \f(x,y)∈A；(2)若x，y∈A，则x＋y∈A，下列判断一定成立的是________(填序号)． ①－1∉A；②eq \f(2025,2026)∈A；③若x，y∈A，则xy∈A；④若x，y∈A，则x－y∉A. 解析：对于①，若－1∈A，则eq \f(－1,－1)＝1∈A，因此－1＋1＝0∈A，而当x＝－1∈A，y＝0∈A时，eq \f(－1,0)无意义，不满足eq \f(x,y)∈A，故①成立；对于②，若x≠0，x∈A，则1＝eq \f(x,x)，∴2＝1＋1∈A，3＝2＋1∈A，…，依次类推，对任意n∈N＋，n∈A，∴2025∈A，2026∈A，∴eq \f(2025,2026)∈A，故②成立；对于③，若x，y∈A，则x≠0，y≠0，由②的解析过程可知，x，y∈A，1∈A，eq \f(1,y)∈A，∴eq \f(x,\f(1,y))＝xy∈A，故③成立；对于④，由②的解析过程可知，1，2∈A，取x＝2，y＝1，则x－y＝1∈A，故④不成立． 18．设S是由实数组成的集合，且满足下列两个条件：①1∉S；②若a∈S，则1－eq \f(1,a)∈S，问： (1)若2∈S，则S中一定还有哪几个数？ (2)集合S中能否只有一个元素？说明理由． 解：(1)若2∈S，则1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)∈S，1－eq \f(1,\f(1,2))＝－1∈S，1－eq \f(1,－1)＝2∈S， 所以S中一定还有eq \f(1,2)，－1. (2)若S中只有一个元素a， 则1－eq \f(1,a)＝a， 即a2－a＋1＝0， 因为Δ＝(－1)2－4＝－3<0， 所以方程a2－a＋1＝0无实数解，故S中不可能只有一个元素． ②若a＋b＝ac2，a＋2b＝ac，消去b，得2ac2－ac－a＝0. 由①知a≠0， 所以2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0， 解得c＝－eq \f(1,2)或c＝1(舍去)， 当c＝－eq \f(1,2)时，经验证，符合题意． 综上所述，c＝－eq \f(1,2). $