4.4.3 不同函数增长的差异-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 4．4.3　不同函数增长的差异 知识点　几类函数模型的增长差异 1．下列函数中随x的增大而增大且最终增长速度最快的是(　　) A．y＝ex B．y＝100ln x C．y＝x10 D．y＝100×2x 答案：A 解析：通过函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)，y＝kx(k>0)的图象观察可得，随着x的增大，y＝ax的增长速度最终大于y＝kx的增长速度，y＝kx的增长速度最终大于y＝logax的增长速度，又y＝ex中底数e>2，所以y＝ex的最终增长速度大于y＝100×2x.故选A. 2．有一组实验数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 y 4 13 28 49 76 下列所给函数模型较适合的是(　　) A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1) C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1) 答案：C 解析：通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变．故选C. 3．[多选]从今年起x(x∈[1，8]，x∈N)年内，小李的年薪y(单位：万元)与年数x的关系是y＝2＋0.2x，小马的年薪y(单位：万元)与年数x的关系是y＝0.5＋1.2x，则下列判断正确的是(　　) A．5年后小马的年薪超过小李 B．6年后小马的年薪超过小李 C．小马的年薪比小李的增长快 D．小马的年薪比小李的增长慢 答案：BC 解析：易知指数函数的增长速度更快，故C正确，D错误；画出函数y＝2＋0.2x(x≥0)和y＝0.5＋1.2x(x≥0)的图象，从图象中观察，可知在这8年内先是小马的年薪低，后来小马的年薪高，令f(x)＝2＋0.2x－0.5－1.2x＝1.5＋0.2x－1.2x，则f(5)＝2.5－≈0.012>0，f(6)＝2.7－≈－0.29<0，所以存在x0∈(5，6)，当x>x0时，2＋0.2x<0.5＋1.2x，由于x∈N，所以至少经过6年，小马的年薪超过小李的年薪，故A错误，B正确．故选BC. 4．下列四种说法中，正确的是(　　) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的x＞0，xa＞logax C．对任意的x＞0，ax＞logax D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax 答案：D 解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立；对于D，当a＞1时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax，但若去掉限制条件“a＞1”，则结论不成立．故选D. 5．四个变量y1，y2，y3，y4随自变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1024 32768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________． 答案：y2 解析：以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化，从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化． 6．在同一直角坐标系内分别作出下列各组函数的草图，比较它们在(0，＋∞)范围内增长的快慢． (1)y＝2x和y＝x2； (2)y＝x3和y＝3x2； (3)y＝和y＝； (4)y＝和y＝log2x. 解：(1)函数图象如图所示． 由图可知y＝2x在(0，＋∞)范围内增长得较快． (2)函数图象如图所示． 由图可知y＝x3在(0，＋∞)范围内增长得较快． (3)函数图象如图所示． 由图可知y＝在(0，＋∞)范围内增长得较快． (4)函数图象如图所示． 由图可知y＝在(0，＋∞)范围内增长得较快. 一、单项选择题 1．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是(　　) A．y＝50 B．y＝1000x C．y＝50x2 D．y＝ex 答案：D 解析：通过观察图象可知，随着x的增长，y＝ex的增长速度最快． 2．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为(　　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 答案：A 解析：随着自变量每增加1，函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．故选A. 3．卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国7岁以下女童身高的中位数y与年龄x之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国7岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是(　　) A．y＝ax＋b(a>0，b>0) B．y＝ax2＋b(a>0，b>0) C．y＝a＋b(a>0，b>0) D．y＝aex＋b(a>0，b>0) 答案：C 解析：由图可知，y随着x的增长，y的增长速度越来越慢，C中的函数模型较为合适．故选C. 4．下列是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是(　　) A．y＝10×1.05x B．y＝20＋x1.5 C．y＝30＋lg (x－1) D．y＝50 答案：A 解析：结合三类函数的增长差异可知A的预期收益最大． 5．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的变化情况的是(　　) 答案：C 解析：从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除A；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除B；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除D.故选C. 6．已知三个变量y1，y2，y3随变量x的变化数据如下表： x 1 2 4 6 8 … y1 2 4 16 64 256 … y2 1 4 16 36 64 … y3 0 1 2 2.585 3 … 则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是(　　) A．y1＝x2，y2＝2x，y3＝log2x B．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x C．y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x D．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x2 答案：B 解析：从题表可以看出，三个变量y1，y2，y3都随x的增大而增大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长呈指数函数型变化，变量y2的增长呈幂函数型变化，变量y3的增长呈对数函数型变化．此外，也可以使用第五组数据代入检验得到答案．故选B. 7．为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如图(四个选项)所示，其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是(　　) 答案：B 解析：由题意可知，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B满足．故选B. 8．对于任意x∈(m，＋∞)，不等式2x－1>x>log3x都成立，则m的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：当x>0时，令2x－1＝x，解得x＝1，结合函数y＝2x－1和y＝x的增长速度可知，当x>1时，2x－1>x恒成立；又y＝x的图象恒在y＝log3x图象的上方，即x>log3x恒成立，则m的最小值为1.故选A. 二、多项选择题 9．函数f(x)＝2x，g(x)＝logx，h(x)＝x－1，在区间(0，＋∞)上，(　　) A．f(x)的递增速度越来越快 B．g(x)的递减速度越来越慢 C．h(x)的递减速度越来越慢 D．g(x)的递减速度慢于h(x)的递减速度 答案：ABC 解析：作出三个函数在区间(0，＋∞)上的图象，根据指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质可知，在区间(0，＋∞)上，f(x)的递增速度越来越快，故A正确；g(x)的递减速度越来越慢，故B正确；h(x)的递减速度越来越慢，故C正确；g(x)的递减速度快于h(x)的递减速度，故D错误．故选ABC. 10．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是(　　) A．投资3天以内(含3天)，采用方案一 B．投资4天，不采用方案三 C．投资6天，采用方案一 D．投资15天，采用方案二 答案：ABC 解析：由题图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，采用方案一，A正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，不采用方案三，B正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，且方案一的回报高于方案二的回报，采用方案一，C正确；投资15天，明显方案三的回报远远高于方案一和方案二的回报，所以此时采用方案三，D错误．故选ABC. 11．某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y(单位：元)与打车里程x(单位：km)的函数关系大致如图所示，则(　　) A．当打车里程为8 km时，乘客选择甲方案更省钱 B．当打车里程为10 km时，乘客选择甲、乙方案均可 C．当打车里程在3 km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多 D．甲方案3 km内(含3 km)付费5元，打车里程大于3 km时，每增加1 km，费用增加0.7元 答案：ABC 解析：对于A，当3<x<10时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车里程为8 km时，乘客选择甲方案更省钱，故A正确；对于B，当打车里程为10 km时，甲、乙方案的费用均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，故B正确；对于C，当打车里程在3 km以上时，甲方案每千米增加的费用为＝1(元)，乙方案每千米增加的费用为＝(元)，故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，故C正确；对于D，由题图可知，甲方案3 km内(含3 km)付费5元，3 km以上时，甲方案每千米增加的费用为1元，故D错误．故选ABC. 三、填空题 12．当x∈(1，e)时，试探究三个函数y＝3x，y＝ln x，y＝x的增长差异，用“>”把它们的大小关系连接起来为________． 答案：3x>x>ln x 解析：易知三个函数y＝3x，y＝ln x，y＝x在(1，e)上均单调递增，所以当x∈(1，e)时，3<3x<3e，1<<x<3，0<ln x<1，故3x>3>x>1>ln x，故当x∈(1，e)时，三个函数的大小关系为3x>x>ln x. 13．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据： x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下四个模拟函数： ①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x. 请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)． 答案：④ 解析：画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数y＝log2x，故应选④. 14．函数y＝2x－x2的图象大致是________(填序号)． 答案：① 解析：在同一平面直角坐标系中作出y＝2x，y＝x2的图象(图略)．易知在(0，＋∞)上，当x∈(0，2)时，2x>x2，即此时y>0；当x∈(2，4)时，2x<x2，即y<0；当x∈(4，＋∞)时，2x>x2，即y>0.当x＝－1时，y＝2－1－1<0，据此可知只有①中的图象符合条件． 15．如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，在AB边上任取一点P，过P作斜边BC的垂线交BC于点Q，则当点P按B→A→C的方向移动时，图中阴影部分的面积S随BQ的长度h变化的函数关系S(h)的图象是(　　) 答案：D 解析：当点P在线段AB上时，如图1所示，在等腰直角三角形ABC中，BQ＝PQ＝h，所以阴影部分的面积S＝BQ·PQ＝h2；当点P在线段AC上时，如图2所示，在等腰直角三角形ABC中，CQ＝PQ＝4－h，所以阴影部分的面积S＝S△ABC－S△PQC＝×2×2－CQ·PQ＝4－(4－h)2，根据二次函数的图象，得P过点A前面积增加的速度先慢后快，P过点A后面积增加的速度先快后慢．故选D. 16．[多选]已知常数a>0，f(x)＝的图象经过点P，Q，且2p＋q＝36pq，则(　　) A．a＝6 B．f(x)的图象与y＝1无限接近但又不与该直线相交 C．∀x∈(2，＋∞)，不等式f(x)>恒成立 D．方程f(2x)＝f(x)有且只有一个实数解 答案：AC 解析：f(x)＝的图象经过点P，Q，所以＝，＝－，所以＋＝1，化简可得2p＋q＝a2pq，又2p＋q＝36pq，a>0，可得pq>0，由36pq＝a2pq，可得a＝6，故A正确；f(x)＝，f(0)＝＝1，所以(0，1)是f(x)的图象与直线y＝1的一个交点，即f(x)的图象与直线y＝1相交，故B不正确；∀x∈(2，＋∞)，不等式f(x)>恒成立，即∀x∈(2，＋∞)，不等式f(x)>恒成立，f(x)＝＝，设g(x)＝，则f(x)＝，因为当x∈(2，＋∞)时，y＝6x增长速度不变，而y＝2x增长速度越来越快，所以x越大，g(x)＝越小，所以当x∈(2，＋∞)时，g(x)<g(2)＝3，所以f(x)＝>＝，故C正确；因为f(2×0)＝f(0)，所以x＝0是f(2x)＝f(x)的一个解，又因为f(1)＝＝，f(2)＝＝，即f(2×1)＝f(1)，所以x＝1也是f(2x)＝f(x)的解，故D错误．故选AC. 17．某同学12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型：①f(x)＝p·qx，②f(x)＝logpx＋q，③f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p(其中p，q为正常数，且q>2)．若要较准确反映数学成绩与考试次序的关系，应选________作为模拟函数(填序号)；若f(1)＝4，f(3)＝6，则所选函数f(x)的解析式为________． 答案：③　f(x)＝(x－1)(x－4)2＋4 解析：由于指数型函数增长迅速，而对数型函数增长缓慢，因此满足先上升后下降再上升的是③f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p.∵f(1)＝4，f(3)＝6，且q>2，∴解得p＝q＝4，∴f(x)＝(x－1)(x－4)2＋4. 18．假设有一套住房从2015年的20万元上涨到2025年的40万元．下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2015年以来经过的年数． t 0 5 10 15 20 P1/万元 20 40 P2/万元 20 40 (1)求函数P1＝f(t)的解析式； (2)求函数P2＝g(t)的解析式； (3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异． 解：(1)因为P1是按直线上升的房价， 设f(t)＝kt＋b，t≥0， 由f(0)＝k×0＋b＝20，f(10)＝k×10＋b＝40， 可得k＝2，b＝20， 即P1＝2t＋20，t≥0. (2)因为P2是按指数增长的房价， 设g(t)＝a0at，t≥0， 由g(0)＝a0a0＝20，g(10)＝a0a10＝40， 可得a0＝20，a＝2， 即P2＝20×2t，t≥0. (3)由(1)和(2)知， 当t＝5时，P1＝30，P2＝20； 当t＝15时，P1＝50，P2＝40； 当t＝20时，P1＝60，P2＝80， 则表格如下： t 0 5 10 15 20 P1/万元 20 30 40 50 60 P2/万元 20 20 40 40 80 图象如图，根据表格和图象可知，房价按函数P1＝f(t)呈直线上升，每年的增加量相同，保持相同的增长速度；按函数P2＝g(t)呈指数增长，每年的增加量越来越大，开始增长慢，然后会越来越快，但保持相同的增长比例． 19．已知某批药品在2024年治愈效果的普姆克系数y(单位：pmk)与月份x(1≤x≤12，x∈N)的部分统计数据如下表： x/月 10 11 12 普姆克系数y/pmk 10240 20480 40960 (1)根据上表数据，从下列两个函数模型：①y＝max(m>0，a>1)，②y＝n＋m(n>0，m>0)中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2024年治愈效果的普姆克系数y与月份x之间的关系，并求出这个函数的解析式； (2)用(1)中的函数模型，试问哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在(1000，10000)内？ 解：(1)因为函数模型①是指数型函数，其增长速度较快，函数模型②的增长速度较为缓慢，所以根据表中数据，应选函数模型①更为恰当． 根据题意可得，当x＝11时，y＝20480； 当x＝12时，y＝40960，由 解得 故该函数模型的解析式为y＝10×2x(1≤x≤12，x∈N)． (2)函数y＝10×2x在其定义域内单调递增， 令1000<10×2x<10000， 得log2100<x<log21000， 又x∈N，所以7≤x≤9，且x∈N， 故7月份、8月份、9月份这三个月该批药品治愈效果的普姆克系数在(1000，10000)内． 12 学科网（北京）股份有限公司 $