3.2.1 第1课时 函数单调性的概念-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 3．2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数单调性的概念 知识点一　函数单调性的概念 1．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为(　　) A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定 答案：D 解析：由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．故选D. 2．已知函数f(x)的定义域为A，如果对于属于定义域内某个区间I上的任意两个不同的自变量x1，x2，都有＞0，则(　　) A．f(x)在这个区间上为增函数 B．f(x)在这个区间上为减函数 C．f(x)在这个区间上的增减性不确定 D．f(x)在这个区间上为常函数 答案：A 解析：①当x1＞x2时，x1－x2＞0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)；②当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．综合①②可知，f(x)在区间I上是增函数．故选A. 知识点二　函数单调性的判断 3.函数f(x)的图象如图所示，则(　　) A．函数f(x)在[－1，2]上是增函数 B．函数f(x)在[－1，2]上是减函数 C．函数f(x)在[－1，4]上是减函数 D．函数f(x)在[2，4]上是增函数 答案：A 解析：由图象知，函数f(x)在[－1，2]上是增函数，在(2，4]上是减函数．故选A. 4．[多选]下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　) A．y＝|x|＋1 B．y＝ C．y＝－ D．y＝x＋ 答案：CD 解析：对于A，y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上是减函数；对于B，y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；对于C，y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；对于D，y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上是增函数．故选CD. 知识点三　函数单调性的证明 5．证明：(1)函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数； (2)函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数． 证明：(1)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝x－－x＋＝(x1－x2). 因为0＜x1＜x2， 所以x1－x2＜0，x1＋x2＋＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数． (2)设x1，x2是R上的任意两个实数， 且x1＜x2，则x2－x1＞0， 而f(x2)－f(x1)＝(x＋x2)－(x＋x1) ＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x)＋(x2－x1) ＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x＋1) ＝(x2－x1). 因为＋x＋1＞0，x2－x1＞0， 所以f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)． 所以函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数． 知识点四　求函数的单调区间 6．求下列函数的单调区间： (1)y＝|2x－1|； (2)y＝x2－2x＋5，x∈[－4，3]； (3)y＝，其中k是常数且k≠0. 解：(1)y＝|2x－1|＝ 结合图象知函数的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)y＝x2－2x＋5，x∈[－4，3]， 函数图象的对称轴为直线x＝1，且开口向上， 故函数的单调递减区间为[－4，1]，单调递增区间为[1，3]． (3)y＝，其中k是常数且k≠0. 根据反比例函数的性质可知， 当k>0时，函数的单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当k<0时，函数的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． 知识点五　函数单调性的简单应用 7．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，1) C．(0，1) D．(0，1] 答案：D 解析：由f(x)＝－x2＋2ax在[1，2]上是减函数，得a≤1；由g(x)＝在[1，2]上是减函数，得a>0.综上，a的取值范围为(0，1]． 8．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(x2－2x)<f(3)的实数x的取值范围是(　　) A．[－1，3] B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－3，3) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案：B 解析：因为f(x)为R上的减函数，且f(x2－2x)<f(3)，所以x2－2x>3，即x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，所以满足f(x2－2x)<f(3)的实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．故选B. 一、单项选择题 1.如图所示，函数y＝f(x)(x∈[－4，4])的单调递减区间为(　　) A．[－4，4] B．[－4，－3]和[1，4] C．[－3，1] D．[－3，4] 答案：B 解析：由函数图象可知，函数y＝f(x)(x∈[－4，4])在[－4，－3]和[1，4]上单调递减，在[－3，1]上单调递增．故选B. 2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是(　　) A．y＝5－x B．y＝ C．y＝x2＋2 D．y＝－|x| 答案：C 解析：A，B，D中的函数在(0，2)上是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0，2)上是增函数． 3．函数y＝|x＋1|的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－1) B．(－∞，1) C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞) 答案：C 解析：y＝|x＋1|＝由图可知，函数的单调递增区间是(－1，＋∞)．故选C. 4．函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|在[2，＋∞)上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D.先减后增 答案：A 解析：因为f(x)＝|x－1|＋|x－2|＝所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增．故选A. 5．若二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，－2] C．[－1，＋∞) D．[－2，＋∞) 答案：B 解析：f(x)图象的对称轴方程为x＝－，由题意知－≥1，即a≤－2，故a的取值范围是(－∞，－2]．故选B. 6．下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0”的是(　　) A．f(x)＝－ B．f(x)＝3x－1 C．f(x)＝－x2－4x－3 D．f(x)＝x－ 答案：C 解析：∵对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减．对于A，易知f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，故A不符合题意；对于B，f(x)＝3x－1在R上单调递增，故B不符合题意；对于C，f(x)＝－x2－4x－3的图象的对称轴为直线x＝－2，∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，故C符合题意；对于D，f(x)＝x－，∵y1＝x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝－在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故D不符合题意．故选C. 7．已知函数f(x)是定义在R上的减函数，若a≠0，则(　　) A．f(a)>f(2a) B．f(a2)>f(a) C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋a)>f(a＋1) 答案：C 解析：∵函数f(x)是定义在R上的减函数，a≠0，∴当a＞0时，a＜2a，则f(a)＞f(2a)；当a＜0时，a＞2a，则f(a)＜f(2a)，故A错误．a2－a＝a(a－1)，当a>1或a＜0时，a2>a，则f(a2)＜f(a)；当0<a<1时，a2<a，f(a2)＞f(a)，故B错误．a2＋a－a＝a2>0，∴a2＋a>a，∴f(a2＋a)<f(a)，故C正确．a2＋a－a－1＝a2－1＝(a＋1)(a－1)，当a>1或a<－1时，a2＋a>a＋1，则f(a2＋a)＜f(a＋1)；当－1<a<0或0<a<1时，a2＋a<a＋1，则f(a2＋a)＞f(a＋1)，故D错误．故选C. 8．若函数f(x)＝是增函数，则实数a的取值范围为(　　) A．(－3，－2] B．(－3，－1] C．[－2，－1] D．(－2，－1] 答案：C 解析：由题意可知，当x>1时，y＝(a＋3)x＋a＋3单调递增，则a＋3>0　①，当x≤1时，y＝－x2＋(1－a)x的图象是对称轴为直线x＝，开口向下的抛物线，则≥1　②，因为函数f(x)＝是增函数，所以(a＋3)×1＋a＋3≥－12＋(1－a)×1　③，由①②③，解得－2≤a≤－1.故选C. 二、多项选择题 9．如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中错误的是(　　) A.＞0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 C．若x1<x2，则f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b) D．f(x1)＜f(x2) 答案：CD 解析：由函数单调性的概念可知A，B正确；若x1<x2，则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)，故C错误；x1与x2的大小无法确定，故无法确定f(x1)与f(x2)的大小关系，故D错误．故选CD. 10．函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2，对任意x1，x2∈(－∞，4)，且x1≠x2，恒有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0，则a的取值可以是(　　) A．－1 B．0 C. D. 答案：BC 解析：根据题意，对任意x1，x2∈(－∞，4)，且x1≠x2，恒有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则函数f(x)在(－∞，4)上单调递减，当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，符合题意；当a≠0时，二次函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2，其图象的对称轴为直线x＝，若f(x)在(－∞，4)上为减函数，必有解得0<a≤.综上，a的取值范围为.故选BC. 11．设函数f(x)＝(x－2)|x|，则(　　) A．直线x＝1是曲线y＝f(x)的对称轴 B．函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞) C．若函数f(x)在(0，m)上单调递减，则0<m≤1 D．当－1<x<2时，f(2－x)≥f(x) 答案：CD 解析：f(x)＝(x－2)|x|＝画出f(x)的图象如图所示．对于A，由图可知，直线x＝1不是曲线y＝f(x)的对称轴，故A错误．对于B，由图可知，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)，故B错误．对于C，若函数f(x)在(0，m)上单调递减，由图可知，0<m≤1，故C正确．对于D，当0<x<2时，－2<－x<0，0<2－x<2，因为y＝x(x－2)(0<x<2)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2－x)＝f(x)；当x＝0时，f(2－0)＝f(0)＝0；当－1<x<0时，0<－x<1，2<2－x<3，则f(2－x)>0>f(x)，综上所述，当－1<x<2时，f(2－x)≥f(x)，故D正确．故选CD. 三、填空题 12．函数y＝x|x－4|的单调递减区间是________． 答案：(2，4) 解析：当x<4时，y＝－x(x－4)＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，所以函数在(－∞，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减；当x>4时，y＝x(x－4)＝(x－2)2－4，即函数在(4，＋∞)上单调递增．综上，函数的单调递减区间为(2，4)． 13．已知函数f(x)＝3x2＋，若f(3a＋1)<f(16－2a)，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：f(x)＝3x2＋的定义域为[0，＋∞)，又y＝3x2，y＝在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，由f(3a＋1)<f(16－2a)，得0≤3a＋1<16－2a，解得－≤a<3，即实数a的取值范围是. 14．若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是________． 答案：(0，3] 解析：当x≥1时，函数f(x)＝x2＋1单调递增．要使f(x)＝在R上单调递增，则解得0＜a≤3，即实数a的取值范围是(0，3]． 15．已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，满足>0，且f(3)＝0，则不等式xf(x)≤0的解集为(　　) A．(－∞，0]∪[3，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞) C．[－1，0]∪[3，4] D．[－1，0)∪(3，4] 答案：C 解析：由题设，知函数f(x)在定义域[－1，4]上单调递减，且f(3)＝0，所以当－1≤x＜3时，f(x)＞0；当3＜x≤4时，f(x)＜0，由xf(x)≤0，得或解得－1≤x≤0或3≤x≤4.故选C. 16．[多选]若函数f(x)在(0，＋∞)上满足：对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时，恒有>0，则称函数f(x)为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的是(　　) A．f(x)＝－1 B．f(x)＝x3＋3x2－2x C．f(x)＝ D．f(x)＝x2＋x 答案：ABD 解析：不妨设x1>x2>0，则由题意可得x2f(x1)>x1f(x2)，即>，由单调性的定义可知，函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，即若y＝在(0，＋∞)上单调递增，则称函数f(x)为“理想函数”．对于A，y＝＝－，该函数在(0，＋∞)上单调递增，符合“理想函数”的定义；对于B，y＝＝x2＋3x－2，该函数在(0，＋∞)上单调递增，符合“理想函数”的定义；对于C，y＝＝＝，该函数在(0，＋∞)上单调递减，不符合“理想函数”的定义；对于D，y＝＝x＋1，该函数在(0，＋∞)上单调递增，符合“理想函数”的定义．故选ABD. 17．已知函数f(x)＝，∀x1，x2∈[1，＋∞)且x1≠x2，都有>0，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，4] 解析：∀x1，x2∈[1，＋∞)且x1≠x2，由>0，得>0，则＝x＋1＋在[1，＋∞)上单调递增，则∀x1，x2∈[1，＋∞)且x1<x2，有－＝x1＋1＋－＝(x1－x2)·<0，又x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，则(x1＋1)(x2＋1)－a>0，即a<(x1＋1)(x2＋1)对任意x1，x2∈[1，＋∞)恒成立，注意到(x1＋1)(x2＋1)>4，则a≤4，即实数a的取值范围是(－∞，4]． 18．已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|1<x<2}． (1)求不等式2cx2＋bx＋1>0的解集； (2)当g(x)＝f(x)＋mx在x∈[1，3]上单调时，求m的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝－x2＋bx＋c>0的解集为{x|1<x<2}，则1和2是－x2＋bx＋c＝0的两个根， ∴ 解得 由2cx2＋bx＋1>0，得－4x2＋3x＋1>0， 解得－<x<1，即不等式2cx2＋bx＋1>0的解集为. (2)g(x)＝－x2＋3x－2＋mx＝－x2＋(m＋3)x－2， g(x)图象的对称轴为直线x＝， ∵g(x)在x∈[1，3]上单调， ∴≤1或≥3， 解得m≤－1或m≥3， 即m的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 19．已知函数f(x)＝，且f(1)＝10，f(3)＝6. (1)求f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在[3，＋∞)上的单调性并用单调性的定义证明你的判断； (3)若不等式f(m2＋3)>10恒成立，求m的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)＝，且f(1)＝10，f(3)＝6， 所以解得 所以f(x)＝. (2)函数f(x)＝＝x＋在[3，＋∞)上单调递增．理由如下： ∀x1，x2∈[3，＋∞)，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝x1＋－＝(x1－x2)＋－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝(x1－x2)·， 因为x1，x2∈[3，＋∞)，x1<x2， 所以x1x2>9，x1－x2<0， 所以(x1－x2)·<0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 所以f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在[3，＋∞)上单调递增． (3)由f(x)＝＝10，即x2－10x＋9＝0， 解得x＝9或x＝1， 所以f(9)＝10，f(1)＝10， 又因为m2＋3≥3，f(m2＋3)>10， 所以f(m2＋3)>f(9)， 由(2)可知f(x)在[3，＋∞)上单调递增， 所以m2＋3>9，解得m<－或m>，所以m的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $